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《無限小》新書導讀

賴 以威
・2015/12/06 ・2748字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 558 ・八年級

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「我把這扇門掩上一半,再掩剩下的一半,不斷重複下去,這扇門也永遠不會被關上。」

國中時,老師站在教室前門旁解釋無限的概念。對現在的我來說這不難回答。

「不對,造成永遠的錯覺是『會重複無限次的掩門』,但到後來每次掩門的幅度都是無限小,門最終還是會被關上。」

但我永遠記得當時對老師的這項譬喻有多麼困擾,順著老師的邏輯,彷彿可以看到門就算被關上了,依然存在一道微微的縫隙。在那之前的數學課儘管複雜,可是只要遵循規則,按部就班就能理解。直到無限的出現,是第一次我覺得數學課裏也有「無法理解,只好先記起來」的觀念。

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Eye_of_Horus_square
想知道「1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 1」是如何證明的,可以參考wiki

現在,儘管能破解無限的矛盾,能解釋阿基里斯為什麼能追上烏龜,能知道一尺之棰,日取其半,必然有取完的那天。但那樣的理解就好像回答:

「為什麼天空是藍色的?」

「因為空氣折射的緣故。」

只是拿了一個名詞、一套道理來解釋,並沒有真正理解背後的原因。甚至可以說,是因為相處久了,在課本、考卷裏面出現夠多次,就習以為常,覺得無限的概念是理所當然了。

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不是的,無限小點都不理所當然,他是個在歷經了上百年激辯後,才正式被引入的數學概念,背後還牽扯了超出數學之外的宗教、政治糾葛。

《無限小:一個危險的數學理論如何形塑現代世界》這本書從馬丁路德的宗教改革開始,當時羅馬教廷勢力衰退,作為教廷忠誠部屬的耶穌會趁勢興起。以菁英份子組成的耶穌會在各地辦學,他們推崇階級與秩序。在 克里斯多佛•克拉維烏斯(Christopher Klau)的努力下,服膺於邏輯性的數學地位逐漸提高,作為耶穌會宣揚紀律性的強而有力工具。握有數學知識,他們便能宣稱握有真理。

數學也沒辜負他們的期待。

曆法過時一直是古人面臨的問題,西元500年左右,中國有祖沖之與祖恆父子兩代努力,推行大明曆。西元1700年左右,日本有澀川春海改良中國曆法,製成大和曆。曆法的制定需要豐富的天文、量測、以及不可或缺的數學知識。不論是祖氏父子或是澀川春海都是一時的數學名家。在西方,則由耶穌會的克里斯多佛•克 拉維烏斯領銜,協助教廷制定了全新的格里高理曆法。這套曆法相當精確,逼得歐洲各地儘管已經因為宗教改革而與教廷漸行漸遠,甚至反對,但還是得乖乖接受格里高理曆法,變相承認了頒布曆法的教宗權威性。

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數學可以強行讓人接受真理,並擊潰謬誤,建立起取代混亂與困惑的穩固秩序與確定性。

耶穌會以數學做武器,在宗教改革上打了一場漂亮勝戰,從此也更重視數學。正確地說,他們認為數學是個最好的例子,代表一切都該從定理出發,現實生活中的每件事都必須遵循一定的規則。數學提供了一個完美的理性模型,讓人們看清宇宙真理是如何統治世界。

然而,當時的數學世界裡尚未存在能夠解釋無窮小的定理,但數學家們已經從越來越多的地方發現這個無可迴避的概念。於是,數學家想從現實生活的觀察,反過來歸納出一個新的定理。推崇數學的耶穌會卻毫不猶豫地站到了打壓新知的那側。

從不同教派的宗教之爭,在一方執起數學獲得勝利後,手中的數學卻反噬主人,展開了另一場數學之爭。

許多耳熟能詳的科學家、數學家都參加了這場數學之爭,被尊為現代科學之父的伽利略(Galileo Galilei)帶領他的兩位徒弟卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri)與托里切利(Evangelista Torricelli),前仆後繼地提出對無限小、不可分量的詮釋。課本裡的托里切利是以發明了氣壓計而聞名,在這本書裡我們看到了他另一個偉大的貢獻, 他發表了一篇「拋物線面積(De dimensione parabola)」,裡面極其華麗地用上了21種不同方式去證明拋物線與一條直線相夾的面積,其中有10種用上了不可分量的概念。

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這篇論文的重點根本不在拋物線面積,而是在介紹不可分量、無限小。

儘管數學家看到了無限小的廣泛用途(有一半以上的證明需要靠引入無限小的概念才能完成),但耶穌會堅決反對。他們設立了「總校訂(Revisors General)」這個最高地位的學術審查機構,扮演著類似那個時代的「金盾」腳色,把所有對教會帶來混亂與不安的知識排除在耶穌會主導的教育機構之外, 無限小是數學界的新概念,他甚至推翻了一些傳統幾何的想法;從這個角度來看,他就像數學界的宗教改革,耶穌會無論如何都要將他的聲浪壓下來。

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當時所有的出版品,都要接受耶穌會「總效訂」的審核,圖為羅馬教廷所製作的《禁書目錄》(已廢除)。 Source: Wiki

這次對決中,耶穌會佔了上風,哪怕面對的是伽利略與銳眼協會(L’Accademia Nazionale dei Lincei,現今的義大利國家科學院),那個時代最強的宗教團體成功地馴服了數學,讓數學依然作為宗教秩序而存在。

然而,如果把格局拉大,這場數學的戰爭還沒結束,只是換了一個戰場,到英國重新開始。在差不多的時間,英國也上演了一場關於無限小的學術論戰,場上的選手 更是赫赫有名。站在否定無限小那方的是政治哲學名著《巨靈論》的作者托馬斯•霍布斯(Thomas Hobbes)。身為那個時代最有名的哲學家之一,他在過世前的自傳裡認為自己最偉大的成就竟然是解開了一題經典數學難題--化圓為方,畫出一個和圓一樣 面積大小的正方形。

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可惜的是,他解錯了。

連同這條錯誤的解答,他否定無限小的立場遭受到英國皇家學會(Royal Society)創辦人之一,約翰•沃利斯(John Wallis)的猛烈抨擊。當時英國學術界在培根的倡行下,實驗是驗證、發現科學知識的重要途徑。也因為這種想法,從現實狀況觀察到的無限小概念,自然能 較被接受,並且透過歸納法,成為了數學領域新的一份子。在沃利斯發明了「∞」的無限符號後,這個符號被他的晚輩牛頓(Isaac Newton)開花結果,建立出了微積分,成為現代許多科學、科技的基礎。

當然,在微積分的身上同樣少不了戰爭,屬於牛頓跟萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)的發明人之爭,不過那又是另一件故事了。

我想,這本書其實就很像托里切利的21道拋物線面積證明,名為介紹拋物線,實則宣揚無限小概念;名為介紹數學概念,實則介紹了整個中世紀錯綜複雜的學術、 宗教、信念之爭。我們現今認為很多理所當然的觀念,其實背後往往都有一長串故事,一群遠比我們聰明的人在努力。我有時候會想,如果說我們覺得課本裡的數學 無趣,那很可能不是知識本身的問題,而是我們學習的方法,將前人所有的努力濃縮成一行結果、一條式子,讓知識失去了靈魂,只剩下冰冷的軀殼。

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這本書重新替無限符號「∞」注入了靈魂。

本篇轉自:賴以威老師FB

getImage《無限小:一個危險的數學理論如何形塑現代世界》。Amir Alexander著,商周出版。

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賴 以威
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數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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上網也要有「技術」!從言論、隱私到國安,你我都該懂的界線
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/12/18 ・2366字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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本文由 國家通訊傳播委員會 委託,泛科學企劃執行。 

以為鍵盤俠天下無敵?小心一個不留神就觸法!人們常忽略「網路並非法外之地」這個重要事實。不只現實生活中的法律同樣適用於網路空間,隨著科技發展,更多應網路特性而生的法律規範也相繼出現。從基本的言論自由到隱私權保護,從智慧財產權到國家安全,法律體系正全面性地回應數位時代的種種挑戰。

在臺灣,網路上的言論自由權利源自《憲法》第 11 條的明確規定:「人民有言論、講學、著作及出版之自由。」釋字第 509 號則指出,「國家應給予最大限度之維護,俾其實現自我、溝通意見、追求真理及監督各種政治或社會活動之功能得以發揮。」網路快速傳播的特性放大了言論的影響力,而大法官的解釋將言論自由的邊際刻畫得更明確,這在數位時代裡顯得格外重要。

網路與社群媒體的快速傳播,放大了言論的影響力。圖/unsplash

網路上的性、暴力與未成年保護

顯然言論自由並非是毫無限制,2023 年 11 月的一起案件就展現其中一種界線的樣貌。當時,一名 36 歲男子將他和網友在網咖的性愛影片上傳至推特,還寫下「《網咖包廂實戰計 1》我跟某公司 OL 戰鬥」等文字。這段影片一經發布,當事女子立即採取法律行動。最終,法院依其以網際網路「供人觀覽猥褻影像」的罪名,判處該名男子拘役 30 日,得易科罰金。這個判決清楚說明了,即便在虛擬空間,散布猥褻影像仍須承擔實質的法律責任。

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特別是在保護未成年人方面,法律的規範更加嚴格。《刑法》第 235 條明文禁止散布、播送或販賣猥褻物品,無論形式是圖文、聲音還是影像。而《兒童及少年性剝削防制條例》第 36 條更進一步禁止任何形式的兒童色情製品被製造、散布和持有。2019年彰化縣曾層發生過這樣一起案件:一名陳姓中年男子將9歲女童帶往居所,不僅強迫她觀看色情影片,還對她進行猥褻行為,甚至將過程上傳至 Google 雲端。儘管他後來試圖以資助女童就學表達悔意,法院仍以加重強制猥褻等罪,判處他 4 年 4 個月有期徒刑。

不實言論的散布同樣可能觸犯法律。2021 年 9 月爆發的「台大狼師案」就是一個警示。一名女大生在網路上指控教師誘騙她發生關係並傳染性病,幾個月後又指控對方對她進行強制性行為。當她提出告訴時,檢方卻查無性侵事實,加上她反覆的說詞,不僅性侵告訴失敗,還因誹謗罪反被加重判刑。

當駭客、間諜都轉戰網路戰場

2013 年,一名退役空軍上校赴陸經商時被情治單位吸收,返台後透過人脈網絡發展組織、刺探軍事機密,並以空殼公司掩護非法報酬,這個情報網持續運作了 8 年之久。

在涉及國家安全的議題上,法律的態度更是嚴厲。根據《國家安全法》第 2 條的規定,任何人都不得為境外敵對勢力及其控制的組織、機構進行資助、主持、操縱、指揮或發展組織,更不能洩漏、交付或傳遞公務機密,違反者將面臨嚴厲的刑事處罰。《刑法》規定,意圖破壞國體、竊據國土,或以非法方法變更國憲、顛覆政府者,處7年以上有期徒刑,首謀更要判處無期徒刑。

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抄襲與轉貼的邊界在哪裡?

在智慧財產權的保護上,臺灣也經歷了數位時代的轉變。台灣第一個網路著作權相關判決,就發生在傳統出版與數位平台的碰撞之中。南方社區文化網路負責人陳豐偉等三人在中山大學 BBS 上發表的文章,未經同意就被《光碟月刊》收錄在隨刊光碟中發行。三人向台北地檢署提告後,《光碟月刊》發行人兼總經理黃俊義被判處七個月有期徒刑,緩刑三年。這個判決為數位時代的著作權保護樹立了重要典範。

臺灣首例網路著作權案判決,為數位時代智慧財產權保護樹立典範。圖/envato

近年來,影音平台的著作權爭議更趨複雜。2022 年,知名 YouTube 頻道「觸電網」就因為片商車庫娛樂檢舉七十多支未經授權的影片,導致經營 12 年的頻道被迫下架。車庫娛樂透過律師聲明,這是針對「未經合法授權影音內容」的標準處理,並表明將追究民事與刑事責任。

受害了怎麼辦?申訴管道報你知

當我們在網路上的權利受到侵害時,可以根據侵害類型尋求不同的救濟管道。最基本的言論自由權利受到侵犯時,可以先向社群平台提出檢舉。若遇到更嚴重的情況,如散布猥褻影像、非法性私密影片等,除了平台檢舉外,還可以向警方提告,或是尋求衛福部「性影像處理中心」的協助。

在面對網路霸凌、不實言論時,可以向台灣事實查核中心、MyGoPen 等組織求助,協助澄清真相。若發現有害兒少身心健康的不當內容,則可以向 iWIN 網路內容防護機構提出申訴。這個由國家通訊傳播委員會支持的組織,會在受理後進行查核、轉介業者改善或依法處理。

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智慧財產權的侵害在網路時代極為常見,就像「觸電網」遭片商檢舉下架的案例。這類情況可以透過平台既有的著作權保護機制處理,情節嚴重者也可以提起民事訴訟要求賠償。若發現可疑的廣告或不公平交易行為,則可以向公平交易委員會檢舉;若是特定領域的違規內容,則應該向各該主管機關反映,例如藥品廣告歸衛福部管轄、證券期貨廣告則由金管會負責。

網路時代的法律規範正不斷演進,從個人隱私到國家安全,從言論自由到智慧財產權,每個面向都在尋求數位環境下的最佳平衡點。作為網路使用者,我們必須理解並遵守這些法律界線,同時也要懂得運用各種救濟管道保護自身權益。唯有每個人都清楚了解並遵守這些規範,才能共同營造一個更安全、更有序的網路環境。

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當心網路陷阱!從媒體識讀、防詐騙到個資保護的安全守則
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/12/17 ・3006字 ・閱讀時間約 6 分鐘

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本文由 國家通訊傳播委員會 委託,泛科學企劃執行。 

網路已成為現代人生活中不可或缺的一部分,可伴隨著便利而來的,還有層出不窮的風險與威脅。從充斥網路的惡假害訊息,到日益精進的詐騙手法,再到個人隱私的安全隱憂,這些都是我們每天必須面對的潛在危機。2023 年網路購物詐欺案件達 4,600 起,較前一年多出 41%。這樣的數據背後,正反映出我們對網路安全意識的迫切需求⋯⋯

「第一手快訊」背後的騙局真相

在深入探討網路世界的風險之前,我們必須先理解「錯誤訊息」和「假訊息」的本質差異。錯誤訊息通常源於時效性考量下的查證不足或作業疏漏,屬於非刻意造假的不實資訊。相較之下,假訊息則帶有「惡、假、害」的特性,是出於惡意、虛偽假造且意圖造成危害的資訊。

2018 年的關西機場事件就是一個鮮明的例子。當時,燕子颱風重創日本關西機場,數千旅客受困其中。中國媒體隨即大肆宣傳他們的大使館如何派車前往營救中國旅客,這則未經證實的消息從微博開始蔓延,很快就擴散到各個內容農場。更令人遺憾的是,這則假訊息最終導致當時的外交部駐大阪辦事處處長蘇啟誠,因不堪輿論壓力而選擇結束生命。

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同年,另一則「5G 會抑制人體免疫系統」的不實訊息在網路上廣為流傳。這則訊息聲稱 5G 技術會影響人體免疫力、導致更容易感染疾病。儘管科學家多次出面澄清這完全是毫無根據的說法,但仍有許多人選擇相信並持續轉發。類似的例子還有 2018 年 2 月底 3 月初,因量販業者不當行銷與造謠漲價,加上媒體跟進報導,而導致民眾瘋狂搶購衛生紙的「安屎之亂」。這些案例都說明了假訊息對社會秩序的巨大衝擊。

提升媒體識讀能力,對抗錯假訊息

面對如此猖獗的假訊息,我們首要之務就是提升媒體識讀能力。每當接觸到訊息時,都應先評估發布該消息的媒體背景,包括其成立時間、背後所有者以及過往的報導記錄。知名度高、歷史悠久的主流媒體通常較為可靠,但仍然不能完全放下戒心。如果某則消息只出現在不知名的網站或社群媒體帳號上,而主流媒體卻未有相關報導,就更要多加留意了。

提升媒體識讀能力,檢視媒體背景,警惕來源不明的訊息。圖/envato

在實際的資訊查證過程中,我們還需要特別關注作者的身分背景。一篇可信的報導通常會具名,而且作者往往是該領域的資深記者或專家。我們可以搜索作者的其他作品,了解他們的專業背景和過往信譽。相對地,匿名或難以查證作者背景的文章,就需要更謹慎對待。同時,也要追溯消息的原始來源,確認報導是否明確指出消息從何而來,是一手資料還是二手轉述。留意發布日期也很重要,以免落入被重新包裝的舊聞陷阱。

這優惠好得太誇張?談網路詐騙與個資安全

除了假訊息的威脅,網路詐騙同樣令人憂心。從最基本的網路釣魚到複雜的身分盜用,詐騙手法不斷推陳出新。就拿網路釣魚來說,犯罪者通常會偽裝成合法機構的人員,透過電子郵件、電話或簡訊聯繫目標,企圖誘使當事人提供個人身分、銀行和信用卡詳細資料以及密碼等敏感資訊。這些資訊一旦落入歹徒手中,很可能被用來進行身分盜用和造成經濟損失。

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網路詐騙手法不斷進化,釣魚詐騙便常以偽裝合法機構誘取敏感資訊。圖/envato

資安業者趨勢科技的調查就發現,中國駭客組織「Earth Lusca」在 2023 年 12 月至隔年 1 月期間,利用談論兩岸地緣政治議題的文件,發起了一連串的網路釣魚攻擊。這些看似專業的政治分析文件,實際上是在臺灣總統大選投票日的兩天前才建立的誘餌,目的就是為了竊取資訊,企圖影響國家的政治情勢。

網路詐騙還有一些更常見的特徵。首先是那些好到令人難以置信的優惠,像是「中獎得到 iPhone 或其他奢侈品」的訊息。其次是製造緊迫感,這是詐騙集團最常用的策略之一,他們會要求受害者必須在極短時間內作出回應。此外,不尋常的寄件者與可疑的附件也都是警訊,一不小心可能就會點到含有勒索軟體或其他惡意程式的連結。

在個人隱私保護方面,社群媒體的普及更是帶來了新的挑戰。2020 年,一個發生在澳洲的案例就很具有警示意義。當時的澳洲前總理艾伯特在 Instagram 上分享了自己的登機證照片,結果一位網路安全服務公司主管僅憑這張圖片,就成功取得了艾伯特的電話與護照號碼等個人資料。雖然這位駭客最終選擇善意提醒而非惡意使用這些資訊,但這個事件仍然引發了對於在社群媒體上分享個人資訊安全性的廣泛討論。

安全防護一把罩!更新裝置、慎用 Wi-Fi、強化密碼管理

為了確保網路使用的安全,我們必須建立完整的防護網。首先是確保裝置和軟體都及時更新到最新版本,包括作業系統、瀏覽器、外掛程式和各類應用程式等。許多網路攻擊都是利用系統或軟體的既有弱點入侵,而這些更新往往包含了對已知安全漏洞的修補。

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在使用公共 Wi-Fi 時也要特別當心。許多公共 Wi-Fi 缺乏適當的加密和身分驗證機制,讓不法分子有機可乘,能夠輕易地攔截使用者的網路流量,竊取帳號密碼、信用卡資訊等敏感數據。因此,在咖啡廳、機場、車站等公共場所,都應該避免使用不明的免費 Wi-Fi 處理重要事務或進行線上購物。如果必須連上公用 Wi-Fi,也要記得停用裝置的檔案共享功能。

使用公共 Wi-Fi 時,避免處理敏感事務,因可能存在數據被攔截與盜取的風險。圖/envato

密碼管理同樣至關重要。我們應該為不同的帳戶設置獨特且具有高強度的密碼,結合大小寫字母、數字和符號,創造出難以被猜測的組合。密碼長度通常建議在 8~12 個字元之間,且要避免使用個人資訊相關的詞彙,如姓名、生日或電話號碼。定期更換密碼也是必要的,建議每 3~6 個月更換一次。研究顯示,在網路犯罪的受害者中,高達八成的案例都與密碼強度不足有關。

最後,我們還要特別注意社群媒體上的隱私設定。許多人在初次設定後就不再關心,但實際上我們都必須定期檢查並調整這些設定,確保自己清楚瞭解「誰可以查看你的貼文」。同時,也要謹慎管理好友名單,適時移除一些不再聯繫或根本不認識的人。在安裝新的應用程式時,也要仔細審視其要求的權限,只給予必要的存取權限。

提升網路安全基於習慣培養。辨識假訊息的特徵、防範詐騙的警覺心、保護個人隱私的方法⋯⋯每一個環節都不容忽視。唯有這樣,我們才能在享受網路帶來便利的同時,也確保自身的安全!

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【Gene思書齋】無限小如何形塑現代世界?
Gene Ng_96
・2016/11/22 ・3645字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 558 ・八年級

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我是數學白痴,真的。很多人以為唸理科的,數學一定很好,才怪。因為我數學不好,所以才選擇唸生命科學,只是唸了才發現,原來還是要面對不少數學,如生物統計、計算生物學、生態學、族群遺傳學、分子演化,都用了不少數學,更甭提大一大二還得要上的微積分、物理和物理化學。

https://www.youtube.com/watch?v=VjeHabZDWMk

2016 年有部電影《天才無限家》(The Man Who Knew Infinity),很值得看,連一個我超愛的說書脫口秀節目《一千零一夜》主持梁文道這位文人(請參見〈一千零一夜個經典〉),也在推薦了這部關於印度天才數學家斯里尼瓦瑟‧拉馬努金(Srinivasa Ramanujan,1887—1920)的電影,也談了《費馬最後定理》(Fermat’s Last Theorem)這本書,以及數學是什麼。

 

我就自不量力,來談本和數學有關的歷史書吧,就是這本《無限小:一個危險的數學理論如何形塑現代世界》(Infinitesimal:How a Dangerous Mathematic Theory Shaped the Modern World)。即使是外行,還是會覺得數學是極為優雅的,可是歷史學家與數學家艾米爾‧亞歷山大(Amir Alexander),卻要告訴我們,數學也有過混亂,中間涉及的不僅只有數學家,還有宗教家。

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ba8006

無限小》的故事,主要是發生在十六、十七世紀,爭論的是直線、平面圖形和固體,是否由無限的不可分量所構成?《無限小》中的各種爭論,要追溯到古希臘時期。公元前六世紀,畢達哥拉斯(Πυθαγόρας,約前580-前500)和追隨者,認為數學可以解釋世界上的一切事物,對數字癡迷到幾近崇拜,同時認為一切真理都可以用比例、平方及直角三角形去反映和證實。從他開始,希臘哲學開始產生了數學的傳統。

那些古代數學中的黑暗面

希帕索斯。圖/Public Domain
希帕索斯。圖/Public Domain

相傳無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希帕索斯(Ἵππασος)發現。他以幾何方法證明√2,無法用整數及分數表示,並引發了第一次數學危機。而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示,不相信無理數的存在。希帕索斯發現不可公度量(incommensurability),推論不同的量(magnitube)不是由獨立的微小原子,亦即無限小所構成。畢達哥拉斯派同道將其淹死滅口,然後他就死掉了。所以這批人,玩數學是超認真的,會鬧出人命的。

公元前五世紀,來自古希臘愛琴海北部海岸的自然派哲學家德謨克利特(Δημόκριτος,前460—前370或前356)利用無限小,計算圓錐體與圓筒體的體積。然而,伊利亞的芝諾(Ζήνων,約前490-前430),提出幾個矛盾問題,指出無限小引發的衝突,從此無限小遭到古代數學家規避。

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古希臘數學家,被稱為「幾何學之父」,亞歷山卓的歐幾里得(Ευκλειδης,前325—前265),在經典巨著《幾何原本》(Elements)中,謹慎地避開無限小。《幾何原本》一直是西方兩千年來的範本。但後來的古希臘數學家阿基米德(Αρχιμήδης,公元前287—公元前212),卻用無限小實驗,在幾何圖形的面積和體積上卓有成就。

宗教戰爭燒到數學的「無限小」

後來希臘被羅馬滅了,而羅馬因異族入侵和宗教愚昧而進入中世紀。《無限小》的故事開場,是文藝復興時的宗教戰爭。1517 年,德國基督教神學家,宗教改革運動的主要發起人,基督教新教信義宗教會(即路德宗)的開創者馬丁•路德(Martin Luther,1483-1546)在當地教會的門上貼出布告九十五條論綱,列出反對贖罪券的九十五條論點,徵求學術的辯論,拉開了天主教和新教長達兩世紀鬥爭的序幕。

1540 年,耶穌會(Societas Iesu)創建在一個天主教開始沒落的時代,羅耀拉的依納爵(San Ignacio de Loyola,1491-1556)和他的弟子們展開一連串復興天主教的行動,但其中最耀眼的成就,卻是在各地區建立的教育學院。

耶穌會的教育體系中,原本並不特別注重數學,但在克拉維烏斯神父(Christopher Clavius,1538-1612)持續努力下,終於成為耶穌會的教育重心。耶穌會重視數學,因為數學是一種以邏輯步驟說出真理、無人能否定其證明結果的學科,但這時的數學,仍以歐幾里得數學理論為主。

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1544 年,阿基米德作品的拉丁文版在瑞士巴賽爾出版,學者接觸到他對無限小的研究。十六世紀末至十七世紀初,歐洲數學家對無限小的興趣死灰復燃。

然而,耶穌會中負責裁決理論的「總校訂」(Revisors General)室,發表了一連串針對無限小的公開譴責。他們認為這個概念危險又具顛覆性,對世界是一個有秩序的地方,而且由一套嚴格而不變的規定所治理的這個信仰有威脅。如果接受了無限小,耶穌會害怕整個世界都將墮入混沌。

虔誠的教徒伽利略(Galileo Galilei,1564-1642),也是當時最偉大的科學家。他提出對無限小、不可分量的詮釋,槓上了耶穌會和教廷。伽利略的老友當上教宗烏爾班八世(Pope Urban VIII,1568-1644),他公開支持伽利略及其追隨者,1623-31年是伽利略在羅馬如魚得水的自由時期。然而1631年,瑞典新教國王古斯塔夫•阿道夫二世(Gustav II Adolf,1594-1632),與神聖羅馬帝國相爭開戰,節節獲勝,改變了歐洲勢力平衡。

在傳統主義者的節節進逼之下,烏爾班八世一改初衷,不再支持伽利略。耶穌會總校訂室,禁止了無限小的概念,宣布永遠不能教授這個理論,甚至連提都不准提。伽利略最終被送進宗教審判所,人生最後十幾年都在軟禁中度過。

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伽利略的弟子卡瓦列里(Bonaventura Francesco Cavalieri,1598- 1647)與托里切利(Evangelista Torricelli,1608-1647)持續提出不可分量和無限小的理論證明,更持續增強耶穌會想要壓制這個矛盾理論的決心,耶穌會和支持伽利略的銳眼學會(Accademia dei Lincei)之間,為了維持歐幾里得幾何學理論或迎接新的無限小方式而開戰。

支持歐幾里得幾何學論點的耶穌會數學家,與支持無限小與不可分量學說的耶穌教團,雙方舌戰和筆戰不休。表面上是數學論戰,實際上耶穌會數學家還為了護衛神學上的論點。《無限小》揭示了這種禁令背後的深刻背景,通過耶穌會和銳眼學會之間交戰的驚心動魄故事,說明耶穌會如何拼命努力帶領飽受戰爭蹂躪的歐洲回到維穩和諧和天主教專制秩序,可是卻犠牲了義大利的藝術、數學和科學發展。

英國的崛起

由於耶穌會成功地禁止在義大利教授無窮小的概念,《無限小》的故事舞台,轉到原本比義大利落後的英國去。《無限小》指出,在義大利,無限小的挫敗預告了這個國家主導歐洲文化的朝代已經結束;而在英國,無限小的勝利則幫助了這個原本落後的島國走向了世界首個現代國家之路。

英國內戰和空位期當時的民不聊生與內部動亂,令卡文迪許家族的家臣,威權主義的十七世紀的哲學家霍布斯(Thomas Hobbes,1588-1679),寫下哲學傑作《巨靈論》(Leviathan),是法律、秩序的有力倡導者。和天主教神權專制不同的,霍布斯的解決空位無政府狀態的方法,是要人民交出權力給專制君主,來保護他們免受戰爭和混亂。但與天主教的專制相同的,霍布斯的目標是維穩和諧以維護和平。無論霍布斯和耶穌,都把自己的政治理想訴諸歐幾里得幾何,試圖以其有序的演繹證明產生絕對真理。

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但在數學家瓦里斯(John Wallis,1616-1703)的眼中,數學毫無貴族氣息,徹頭徹尾就是一個得到有用結果的實用工具。瓦里斯是第一個使用 ∞ 這個符號的數學家。也因如此,他和「隱形大學」的夥伴使用數學的方式與霍布斯大相逕庭。「隱形大學」後來收到英王查理二世的許可狀,成為聲譽卓越非凡的「皇家學會」(Royal Society)。

《無限小》指出,歸納法和實驗數學,讓皇家學會的會員與英國菁英分子逐漸將這種開放討論與有彈性的態度應用到學術與政治立場上,無限小的理論終於成為微積分與許多現代數學、現在科學理論與科技的基礎。英國邁上君主立憲之途,各種科學研究和科技也不斷開花結果,於是英國成為歐洲最先現代化的國家。

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無限小的理論終於成為微積分與許多現代數學、現在科學理論與科技的基礎。圖 / By fdecomite @ flickr

牛頓(Sir Isaac Newton,1643-1727)以無限小的理論做實驗,發展出微積分的技法,和萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716)共同創立了微積分。牛頓出版了《自然哲學的數學原理》(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica),徹底改變了物理學的樣貌,也從此讓所有理科生飽受微積分的折磨。剛讀《無限小》時,我壓根兒忘光了微積分和無限小的關係,只有讀到後來才依稀想起老師提到的「極限」等等。

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雖然,我還是讀不懂《無限小》裡的數學,可是《無限小》仍是本很具啟發性的好書,從中可見我們人類在認識自然時,那些偏見與固執,是何等強大。政治師和宗教為了維穩及和諧干預學術發展,只能取得一時的和平,然後換來長久的落後。還有,科學的發展中,常常是柳暗花明又一村,保持一個開闊的心胸是多麼困難但重要的。

本文原刊登於閱讀‧最前線【GENE思書軒】,並同步刊登於The Sky of Gene

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Gene Ng_96
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來自馬來西亞,畢業於台灣國立清華大學生命科學系學士暨碩士班,以及美國加州大學戴維斯分校(University of California at Davis)遺傳學博士班,從事果蠅演化遺傳學研究。曾於台灣中央研究院生物多樣性研究中心擔任博士後研究員,現任教於國立清華大學分子與細胞生物學研究所,從事鳥類的演化遺傳學、基因體學及演化發育生物學研究。過去曾長期擔任中文科學新聞網站「科景」(Sciscape.org)總編輯,現任台大科教中心CASE特約寫手Readmoo部落格【GENE思書軒】關鍵評論網專欄作家;個人部落格:The Sky of Gene;臉書粉絲頁:GENE思書齋