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《無限小》新書導讀

賴 以威
・2015/12/06 ・2748字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 558 ・八年級

國小高年級科普文,素養閱讀就從今天就開始!!

「我把這扇門掩上一半,再掩剩下的一半,不斷重複下去,這扇門也永遠不會被關上。」

國中時,老師站在教室前門旁解釋無限的概念。對現在的我來說這不難回答。

「不對,造成永遠的錯覺是『會重複無限次的掩門』,但到後來每次掩門的幅度都是無限小,門最終還是會被關上。」

但我永遠記得當時對老師的這項譬喻有多麼困擾,順著老師的邏輯,彷彿可以看到門就算被關上了,依然存在一道微微的縫隙。在那之前的數學課儘管複雜,可是只要遵循規則,按部就班就能理解。直到無限的出現,是第一次我覺得數學課裏也有「無法理解,只好先記起來」的觀念。

Eye_of_Horus_square
想知道「1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 1」是如何證明的,可以參考wiki

現在,儘管能破解無限的矛盾,能解釋阿基里斯為什麼能追上烏龜,能知道一尺之棰,日取其半,必然有取完的那天。但那樣的理解就好像回答:

「為什麼天空是藍色的?」

「因為空氣折射的緣故。」

只是拿了一個名詞、一套道理來解釋,並沒有真正理解背後的原因。甚至可以說,是因為相處久了,在課本、考卷裏面出現夠多次,就習以為常,覺得無限的概念是理所當然了。

不是的,無限小點都不理所當然,他是個在歷經了上百年激辯後,才正式被引入的數學概念,背後還牽扯了超出數學之外的宗教、政治糾葛。

《無限小:一個危險的數學理論如何形塑現代世界》這本書從馬丁路德的宗教改革開始,當時羅馬教廷勢力衰退,作為教廷忠誠部屬的耶穌會趁勢興起。以菁英份子組成的耶穌會在各地辦學,他們推崇階級與秩序。在 克里斯多佛•克拉維烏斯(Christopher Klau)的努力下,服膺於邏輯性的數學地位逐漸提高,作為耶穌會宣揚紀律性的強而有力工具。握有數學知識,他們便能宣稱握有真理。

數學也沒辜負他們的期待。

曆法過時一直是古人面臨的問題,西元500年左右,中國有祖沖之與祖恆父子兩代努力,推行大明曆。西元1700年左右,日本有澀川春海改良中國曆法,製成大和曆。曆法的制定需要豐富的天文、量測、以及不可或缺的數學知識。不論是祖氏父子或是澀川春海都是一時的數學名家。在西方,則由耶穌會的克里斯多佛•克 拉維烏斯領銜,協助教廷制定了全新的格里高理曆法。這套曆法相當精確,逼得歐洲各地儘管已經因為宗教改革而與教廷漸行漸遠,甚至反對,但還是得乖乖接受格里高理曆法,變相承認了頒布曆法的教宗權威性。

數學可以強行讓人接受真理,並擊潰謬誤,建立起取代混亂與困惑的穩固秩序與確定性。

耶穌會以數學做武器,在宗教改革上打了一場漂亮勝戰,從此也更重視數學。正確地說,他們認為數學是個最好的例子,代表一切都該從定理出發,現實生活中的每件事都必須遵循一定的規則。數學提供了一個完美的理性模型,讓人們看清宇宙真理是如何統治世界。

然而,當時的數學世界裡尚未存在能夠解釋無窮小的定理,但數學家們已經從越來越多的地方發現這個無可迴避的概念。於是,數學家想從現實生活的觀察,反過來歸納出一個新的定理。推崇數學的耶穌會卻毫不猶豫地站到了打壓新知的那側。

從不同教派的宗教之爭,在一方執起數學獲得勝利後,手中的數學卻反噬主人,展開了另一場數學之爭。

許多耳熟能詳的科學家、數學家都參加了這場數學之爭,被尊為現代科學之父的伽利略(Galileo Galilei)帶領他的兩位徒弟卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri)與托里切利(Evangelista Torricelli),前仆後繼地提出對無限小、不可分量的詮釋。課本裡的托里切利是以發明了氣壓計而聞名,在這本書裡我們看到了他另一個偉大的貢獻, 他發表了一篇「拋物線面積(De dimensione parabola)」,裡面極其華麗地用上了21種不同方式去證明拋物線與一條直線相夾的面積,其中有10種用上了不可分量的概念。

這篇論文的重點根本不在拋物線面積,而是在介紹不可分量、無限小。

儘管數學家看到了無限小的廣泛用途(有一半以上的證明需要靠引入無限小的概念才能完成),但耶穌會堅決反對。他們設立了「總校訂(Revisors General)」這個最高地位的學術審查機構,扮演著類似那個時代的「金盾」腳色,把所有對教會帶來混亂與不安的知識排除在耶穌會主導的教育機構之外, 無限小是數學界的新概念,他甚至推翻了一些傳統幾何的想法;從這個角度來看,他就像數學界的宗教改革,耶穌會無論如何都要將他的聲浪壓下來。

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當時所有的出版品,都要接受耶穌會「總效訂」的審核,圖為羅馬教廷所製作的《禁書目錄》(已廢除)。 Source: Wiki

這次對決中,耶穌會佔了上風,哪怕面對的是伽利略與銳眼協會(L’Accademia Nazionale dei Lincei,現今的義大利國家科學院),那個時代最強的宗教團體成功地馴服了數學,讓數學依然作為宗教秩序而存在。

然而,如果把格局拉大,這場數學的戰爭還沒結束,只是換了一個戰場,到英國重新開始。在差不多的時間,英國也上演了一場關於無限小的學術論戰,場上的選手 更是赫赫有名。站在否定無限小那方的是政治哲學名著《巨靈論》的作者托馬斯•霍布斯(Thomas Hobbes)。身為那個時代最有名的哲學家之一,他在過世前的自傳裡認為自己最偉大的成就竟然是解開了一題經典數學難題--化圓為方,畫出一個和圓一樣 面積大小的正方形。

可惜的是,他解錯了。

連同這條錯誤的解答,他否定無限小的立場遭受到英國皇家學會(Royal Society)創辦人之一,約翰•沃利斯(John Wallis)的猛烈抨擊。當時英國學術界在培根的倡行下,實驗是驗證、發現科學知識的重要途徑。也因為這種想法,從現實狀況觀察到的無限小概念,自然能 較被接受,並且透過歸納法,成為了數學領域新的一份子。在沃利斯發明了「∞」的無限符號後,這個符號被他的晚輩牛頓(Isaac Newton)開花結果,建立出了微積分,成為現代許多科學、科技的基礎。

當然,在微積分的身上同樣少不了戰爭,屬於牛頓跟萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)的發明人之爭,不過那又是另一件故事了。

我想,這本書其實就很像托里切利的21道拋物線面積證明,名為介紹拋物線,實則宣揚無限小概念;名為介紹數學概念,實則介紹了整個中世紀錯綜複雜的學術、 宗教、信念之爭。我們現今認為很多理所當然的觀念,其實背後往往都有一長串故事,一群遠比我們聰明的人在努力。我有時候會想,如果說我們覺得課本裡的數學 無趣,那很可能不是知識本身的問題,而是我們學習的方法,將前人所有的努力濃縮成一行結果、一條式子,讓知識失去了靈魂,只剩下冰冷的軀殼。

這本書重新替無限符號「∞」注入了靈魂。

本篇轉自:賴以威老師FB

getImage《無限小:一個危險的數學理論如何形塑現代世界》。Amir Alexander著,商周出版。

文章難易度
賴 以威
32 篇文章 ・ 8 位粉絲
數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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烘焙東西軍,有添加麵包 vs. 無添加麵包,今天想吃哪一道?
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2022/09/20 ・2178字 ・閱讀時間約 4 分鐘

本文由 家樂福食物轉型計畫 委託,泛科學企劃執行。

  • 文 / 陳彥諺

《烘焙東西軍》熱映開播啦!這一集真的很「熱」,因為節目邀請到了兩位烘焙達人來到現場熱烘烘的烤!麵!包!

第一位華麗登場的,是有著亮麗小鬍子、動作咻咻咻超有效率的「有添加師傅」,另外一位古意老實、動作慢條斯理的,則是近年來越來越被看重的「無添加師傅」——這是一場「有添加」與「無添加」的世紀大對決!

《烘焙東西軍》這次邀請了「有添加師傅」和「無添加師傅」來烤麵包。圖/家樂福提供

「有添加」與「無添加」的世紀大對決

外表亮麗的有添加師傅,其實早已憑著「三好」稱霸市場多年。所謂的三好,是好快、好吃、好美!為何會這麼說呢?

食品添加物存在於食品中許久,早期因為食物加工技術不夠精良,為了食品安全無虞,便添加可以讓食物安定的添加物,延長保存期限。又因為食品添加物可以改變食品的外觀、口感、縮短製作時程等,因此,長期以來受到業者及消費者的偏愛。

有添加師傅憑著「好快、好吃、好美」稱霸市場多年。圖/家樂福提供

不過,近來由於食安事件頻繁,食品添加物早已偏離了原先讓食物安全的初衷,在追求好吃、好快、好美的背後,卻可能造成身體上的負擔與健康風險!製造過程是否安全合理?乾淨衛生?也是打了許多問號。

再加上現在因健康養生的意識抬頭,消費者們越來越注重吃下肚子的食物成份,開始努力追求簡單無添加。也因為隨著食品加工技術越來越棒,能夠透過改善製程,有效減少添加物的必要性。終於,在消費者意識抬頭、技術成熟等各方條件皆備下,古意老實、耗費工時的無添加師傅,多年以後,開始受到矚目啦!

在這場世紀對決中,有添加師傅在民眾都還來不及反應時,就已經做好了熱騰騰的麵包,每一個麵包都飽滿好看、香氣濃郁,簡直是施了魔法一樣!但見到這麼多食品化工添加物做出來的麵包,難道就不能有更健康的材料選擇或做法嗎?

反觀無添加師傅,他按部就班的從麵粉開始精心挑選,接著再逐一加入可以溯源的材料,接下來,順應麵包的特性自然發酵。即使有添加師傅已經端出熱騰騰的麵包了,無添加師傅仍然不為所動,他循序漸進,寧可耗時製作,堅持做自己的無添加麵包。

無添加師傅之所以堅持,那是因為他秉持著麵包不用任何添加物,不講求快速便利,用純淨的原料配方、遵循傳統法國工法,做出來的麵包也可以照樣香氣四溢、美味好吃,更重要的是每一口都吃的健康又安心!

無添加師傅堅持不用任何添加物,不講求快速便利,用純淨的原料配方、遵循傳統工法。圖/家樂福提供

當兩位師傅的麵包端上評審桌⋯⋯

有添加師傅的麵包外表金黃澎潤漂亮,無添加師傅的則是外表非常質樸。

不過,當評審們吃下麵包後,外表質樸的無添加師傅,竟然擄獲了評審們的心!

怎麼辦到的呢?這是因為花了較多時間製作的無添加麵包,保濕度較佳,口感也較有層次。當評審一口接著一口品嚐,會發現吃的都是食物的鮮甜原味—無添加麵包是名為「裸麵包」的寶藏男孩啊!他不同於外表上看起來質樸敦厚,只要用心切開,裏頭包裹著滿滿新鮮在地的果乾和堅果,是誠心誠意的美味。

烘焙界的寶藏男孩「裸麵包」,是怎麼來的?

堪稱烘焙界的寶藏男孩「裸麵包」,是來自於家樂福自製的烘焙產品。長期關注食物真實性與為顧客把關健康的家樂福,2014 年就開始著手了「無添加驗證計畫」,也在 2019 年取得了「A.A. 無添加驗證標章」,更透過第三方專業機構親赴產線檢驗、不定期抽查等層層審核程序,取得了嚴謹認可。

要打造寶藏男孩般的「裸麵包」,並不是容易的事。許多標榜安心安全的麵包,都只能做到製程及配料上的無添加;而追求極致的家樂福,自製白吐司則從特製 100% 的無添加麵粉開始,掌握源頭,做最純淨、最真實且赤裸的麵包。

這是一款依循歐盟規範,取得 A.A. 無添加標章,第三方驗證後可信賴的麵包。

這是關注在地的暖心麵包,嚴選在地好食材、講求動物福利,選用當季水果、非籠飼雞蛋、透明鮮奶、以安佳奶油取代人造奶油⋯⋯。

這是減塑又減廢,以醜蔬果製作配料,減少食材浪費,更導入環保包材,友善環境的麵包。

烘焙東西軍「有添加師傅」與「無添加師傅」的對決,我們看到了,天公疼憨人,穩扎穩打、工法較繁複的無添加製程,受到消費者的青睞——這一場對決,由純粹、誠實、充滿善意的裸麵包,「無添加師傅」獲勝。

【家樂福食物轉型計畫】烘焙東西軍「有添加麵包」v.s.「無添加麵包」的世紀對決,今天你選哪一邊?影/YouTube
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鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
146 篇文章 ・ 268 位粉絲
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【Gene思書齋】無限小如何形塑現代世界?
Gene Ng_96
・2016/11/22 ・3645字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 558 ・八年級

我是數學白痴,真的。很多人以為唸理科的,數學一定很好,才怪。因為我數學不好,所以才選擇唸生命科學,只是唸了才發現,原來還是要面對不少數學,如生物統計、計算生物學、生態學、族群遺傳學、分子演化,都用了不少數學,更甭提大一大二還得要上的微積分、物理和物理化學。

2016 年有部電影《天才無限家》(The Man Who Knew Infinity),很值得看,連一個我超愛的說書脫口秀節目《一千零一夜》主持梁文道這位文人(請參見〈一千零一夜個經典〉),也在推薦了這部關於印度天才數學家斯里尼瓦瑟‧拉馬努金(Srinivasa Ramanujan,1887—1920)的電影,也談了《費馬最後定理》(Fermat’s Last Theorem)這本書,以及數學是什麼。

 

我就自不量力,來談本和數學有關的歷史書吧,就是這本《無限小:一個危險的數學理論如何形塑現代世界》(Infinitesimal:How a Dangerous Mathematic Theory Shaped the Modern World)。即使是外行,還是會覺得數學是極為優雅的,可是歷史學家與數學家艾米爾‧亞歷山大(Amir Alexander),卻要告訴我們,數學也有過混亂,中間涉及的不僅只有數學家,還有宗教家。

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無限小》的故事,主要是發生在十六、十七世紀,爭論的是直線、平面圖形和固體,是否由無限的不可分量所構成?《無限小》中的各種爭論,要追溯到古希臘時期。公元前六世紀,畢達哥拉斯(Πυθαγόρας,約前580-前500)和追隨者,認為數學可以解釋世界上的一切事物,對數字癡迷到幾近崇拜,同時認為一切真理都可以用比例、平方及直角三角形去反映和證實。從他開始,希臘哲學開始產生了數學的傳統。

那些古代數學中的黑暗面

希帕索斯。圖/Public Domain
希帕索斯。圖/Public Domain

相傳無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希帕索斯(Ἵππασος)發現。他以幾何方法證明√2,無法用整數及分數表示,並引發了第一次數學危機。而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示,不相信無理數的存在。希帕索斯發現不可公度量(incommensurability),推論不同的量(magnitube)不是由獨立的微小原子,亦即無限小所構成。畢達哥拉斯派同道將其淹死滅口,然後他就死掉了。所以這批人,玩數學是超認真的,會鬧出人命的。

公元前五世紀,來自古希臘愛琴海北部海岸的自然派哲學家德謨克利特(Δημόκριτος,前460—前370或前356)利用無限小,計算圓錐體與圓筒體的體積。然而,伊利亞的芝諾(Ζήνων,約前490-前430),提出幾個矛盾問題,指出無限小引發的衝突,從此無限小遭到古代數學家規避。

古希臘數學家,被稱為「幾何學之父」,亞歷山卓的歐幾里得(Ευκλειδης,前325—前265),在經典巨著《幾何原本》(Elements)中,謹慎地避開無限小。《幾何原本》一直是西方兩千年來的範本。但後來的古希臘數學家阿基米德(Αρχιμήδης,公元前287—公元前212),卻用無限小實驗,在幾何圖形的面積和體積上卓有成就。

宗教戰爭燒到數學的「無限小」

後來希臘被羅馬滅了,而羅馬因異族入侵和宗教愚昧而進入中世紀。《無限小》的故事開場,是文藝復興時的宗教戰爭。1517 年,德國基督教神學家,宗教改革運動的主要發起人,基督教新教信義宗教會(即路德宗)的開創者馬丁•路德(Martin Luther,1483-1546)在當地教會的門上貼出布告九十五條論綱,列出反對贖罪券的九十五條論點,徵求學術的辯論,拉開了天主教和新教長達兩世紀鬥爭的序幕。

1540 年,耶穌會(Societas Iesu)創建在一個天主教開始沒落的時代,羅耀拉的依納爵(San Ignacio de Loyola,1491-1556)和他的弟子們展開一連串復興天主教的行動,但其中最耀眼的成就,卻是在各地區建立的教育學院。

耶穌會的教育體系中,原本並不特別注重數學,但在克拉維烏斯神父(Christopher Clavius,1538-1612)持續努力下,終於成為耶穌會的教育重心。耶穌會重視數學,因為數學是一種以邏輯步驟說出真理、無人能否定其證明結果的學科,但這時的數學,仍以歐幾里得數學理論為主。

1544 年,阿基米德作品的拉丁文版在瑞士巴賽爾出版,學者接觸到他對無限小的研究。十六世紀末至十七世紀初,歐洲數學家對無限小的興趣死灰復燃。

然而,耶穌會中負責裁決理論的「總校訂」(Revisors General)室,發表了一連串針對無限小的公開譴責。他們認為這個概念危險又具顛覆性,對世界是一個有秩序的地方,而且由一套嚴格而不變的規定所治理的這個信仰有威脅。如果接受了無限小,耶穌會害怕整個世界都將墮入混沌。

虔誠的教徒伽利略(Galileo Galilei,1564-1642),也是當時最偉大的科學家。他提出對無限小、不可分量的詮釋,槓上了耶穌會和教廷。伽利略的老友當上教宗烏爾班八世(Pope Urban VIII,1568-1644),他公開支持伽利略及其追隨者,1623-31年是伽利略在羅馬如魚得水的自由時期。然而1631年,瑞典新教國王古斯塔夫•阿道夫二世(Gustav II Adolf,1594-1632),與神聖羅馬帝國相爭開戰,節節獲勝,改變了歐洲勢力平衡。

在傳統主義者的節節進逼之下,烏爾班八世一改初衷,不再支持伽利略。耶穌會總校訂室,禁止了無限小的概念,宣布永遠不能教授這個理論,甚至連提都不准提。伽利略最終被送進宗教審判所,人生最後十幾年都在軟禁中度過。

伽利略的弟子卡瓦列里(Bonaventura Francesco Cavalieri,1598- 1647)與托里切利(Evangelista Torricelli,1608-1647)持續提出不可分量和無限小的理論證明,更持續增強耶穌會想要壓制這個矛盾理論的決心,耶穌會和支持伽利略的銳眼學會(Accademia dei Lincei)之間,為了維持歐幾里得幾何學理論或迎接新的無限小方式而開戰。

支持歐幾里得幾何學論點的耶穌會數學家,與支持無限小與不可分量學說的耶穌教團,雙方舌戰和筆戰不休。表面上是數學論戰,實際上耶穌會數學家還為了護衛神學上的論點。《無限小》揭示了這種禁令背後的深刻背景,通過耶穌會和銳眼學會之間交戰的驚心動魄故事,說明耶穌會如何拼命努力帶領飽受戰爭蹂躪的歐洲回到維穩和諧和天主教專制秩序,可是卻犠牲了義大利的藝術、數學和科學發展。

英國的崛起

由於耶穌會成功地禁止在義大利教授無窮小的概念,《無限小》的故事舞台,轉到原本比義大利落後的英國去。《無限小》指出,在義大利,無限小的挫敗預告了這個國家主導歐洲文化的朝代已經結束;而在英國,無限小的勝利則幫助了這個原本落後的島國走向了世界首個現代國家之路。

英國內戰和空位期當時的民不聊生與內部動亂,令卡文迪許家族的家臣,威權主義的十七世紀的哲學家霍布斯(Thomas Hobbes,1588-1679),寫下哲學傑作《巨靈論》(Leviathan),是法律、秩序的有力倡導者。和天主教神權專制不同的,霍布斯的解決空位無政府狀態的方法,是要人民交出權力給專制君主,來保護他們免受戰爭和混亂。但與天主教的專制相同的,霍布斯的目標是維穩和諧以維護和平。無論霍布斯和耶穌,都把自己的政治理想訴諸歐幾里得幾何,試圖以其有序的演繹證明產生絕對真理。

但在數學家瓦里斯(John Wallis,1616-1703)的眼中,數學毫無貴族氣息,徹頭徹尾就是一個得到有用結果的實用工具。瓦里斯是第一個使用 ∞ 這個符號的數學家。也因如此,他和「隱形大學」的夥伴使用數學的方式與霍布斯大相逕庭。「隱形大學」後來收到英王查理二世的許可狀,成為聲譽卓越非凡的「皇家學會」(Royal Society)。

《無限小》指出,歸納法和實驗數學,讓皇家學會的會員與英國菁英分子逐漸將這種開放討論與有彈性的態度應用到學術與政治立場上,無限小的理論終於成為微積分與許多現代數學、現在科學理論與科技的基礎。英國邁上君主立憲之途,各種科學研究和科技也不斷開花結果,於是英國成為歐洲最先現代化的國家。

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無限小的理論終於成為微積分與許多現代數學、現在科學理論與科技的基礎。圖 / By fdecomite @ flickr

牛頓(Sir Isaac Newton,1643-1727)以無限小的理論做實驗,發展出微積分的技法,和萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716)共同創立了微積分。牛頓出版了《自然哲學的數學原理》(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica),徹底改變了物理學的樣貌,也從此讓所有理科生飽受微積分的折磨。剛讀《無限小》時,我壓根兒忘光了微積分和無限小的關係,只有讀到後來才依稀想起老師提到的「極限」等等。

雖然,我還是讀不懂《無限小》裡的數學,可是《無限小》仍是本很具啟發性的好書,從中可見我們人類在認識自然時,那些偏見與固執,是何等強大。政治師和宗教為了維穩及和諧干預學術發展,只能取得一時的和平,然後換來長久的落後。還有,科學的發展中,常常是柳暗花明又一村,保持一個開闊的心胸是多麼困難但重要的。

本文原刊登於閱讀‧最前線【GENE思書軒】,並同步刊登於The Sky of Gene

Gene Ng_96
295 篇文章 ・ 23 位粉絲
來自馬來西亞,畢業於台灣國立清華大學生命科學系學士暨碩士班,以及美國加州大學戴維斯分校(University of California at Davis)遺傳學博士班,從事果蠅演化遺傳學研究。曾於台灣中央研究院生物多樣性研究中心擔任博士後研究員,現任教於國立清華大學分子與細胞生物學研究所,從事鳥類的演化遺傳學、基因體學及演化發育生物學研究。過去曾長期擔任中文科學新聞網站「科景」(Sciscape.org)總編輯,現任台大科教中心CASE特約寫手Readmoo部落格【GENE思書軒】關鍵評論網專欄作家;個人部落格:The Sky of Gene;臉書粉絲頁:GENE思書齋

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《無限小》新書導讀
賴 以威
・2015/12/06 ・2748字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 558 ・八年級

「我把這扇門掩上一半,再掩剩下的一半,不斷重複下去,這扇門也永遠不會被關上。」

國中時,老師站在教室前門旁解釋無限的概念。對現在的我來說這不難回答。

「不對,造成永遠的錯覺是『會重複無限次的掩門』,但到後來每次掩門的幅度都是無限小,門最終還是會被關上。」

但我永遠記得當時對老師的這項譬喻有多麼困擾,順著老師的邏輯,彷彿可以看到門就算被關上了,依然存在一道微微的縫隙。在那之前的數學課儘管複雜,可是只要遵循規則,按部就班就能理解。直到無限的出現,是第一次我覺得數學課裏也有「無法理解,只好先記起來」的觀念。

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現在,儘管能破解無限的矛盾,能解釋阿基里斯為什麼能追上烏龜,能知道一尺之棰,日取其半,必然有取完的那天。但那樣的理解就好像回答:

「為什麼天空是藍色的?」

「因為空氣折射的緣故。」

只是拿了一個名詞、一套道理來解釋,並沒有真正理解背後的原因。甚至可以說,是因為相處久了,在課本、考卷裏面出現夠多次,就習以為常,覺得無限的概念是理所當然了。

不是的,無限小點都不理所當然,他是個在歷經了上百年激辯後,才正式被引入的數學概念,背後還牽扯了超出數學之外的宗教、政治糾葛。

《無限小:一個危險的數學理論如何形塑現代世界》這本書從馬丁路德的宗教改革開始,當時羅馬教廷勢力衰退,作為教廷忠誠部屬的耶穌會趁勢興起。以菁英份子組成的耶穌會在各地辦學,他們推崇階級與秩序。在 克里斯多佛•克拉維烏斯(Christopher Klau)的努力下,服膺於邏輯性的數學地位逐漸提高,作為耶穌會宣揚紀律性的強而有力工具。握有數學知識,他們便能宣稱握有真理。

數學也沒辜負他們的期待。

曆法過時一直是古人面臨的問題,西元500年左右,中國有祖沖之與祖恆父子兩代努力,推行大明曆。西元1700年左右,日本有澀川春海改良中國曆法,製成大和曆。曆法的制定需要豐富的天文、量測、以及不可或缺的數學知識。不論是祖氏父子或是澀川春海都是一時的數學名家。在西方,則由耶穌會的克里斯多佛•克 拉維烏斯領銜,協助教廷制定了全新的格里高理曆法。這套曆法相當精確,逼得歐洲各地儘管已經因為宗教改革而與教廷漸行漸遠,甚至反對,但還是得乖乖接受格里高理曆法,變相承認了頒布曆法的教宗權威性。

數學可以強行讓人接受真理,並擊潰謬誤,建立起取代混亂與困惑的穩固秩序與確定性。

耶穌會以數學做武器,在宗教改革上打了一場漂亮勝戰,從此也更重視數學。正確地說,他們認為數學是個最好的例子,代表一切都該從定理出發,現實生活中的每件事都必須遵循一定的規則。數學提供了一個完美的理性模型,讓人們看清宇宙真理是如何統治世界。

然而,當時的數學世界裡尚未存在能夠解釋無窮小的定理,但數學家們已經從越來越多的地方發現這個無可迴避的概念。於是,數學家想從現實生活的觀察,反過來歸納出一個新的定理。推崇數學的耶穌會卻毫不猶豫地站到了打壓新知的那側。

從不同教派的宗教之爭,在一方執起數學獲得勝利後,手中的數學卻反噬主人,展開了另一場數學之爭。

許多耳熟能詳的科學家、數學家都參加了這場數學之爭,被尊為現代科學之父的伽利略(Galileo Galilei)帶領他的兩位徒弟卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri)與托里切利(Evangelista Torricelli),前仆後繼地提出對無限小、不可分量的詮釋。課本裡的托里切利是以發明了氣壓計而聞名,在這本書裡我們看到了他另一個偉大的貢獻, 他發表了一篇「拋物線面積(De dimensione parabola)」,裡面極其華麗地用上了21種不同方式去證明拋物線與一條直線相夾的面積,其中有10種用上了不可分量的概念。

這篇論文的重點根本不在拋物線面積,而是在介紹不可分量、無限小。

儘管數學家看到了無限小的廣泛用途(有一半以上的證明需要靠引入無限小的概念才能完成),但耶穌會堅決反對。他們設立了「總校訂(Revisors General)」這個最高地位的學術審查機構,扮演著類似那個時代的「金盾」腳色,把所有對教會帶來混亂與不安的知識排除在耶穌會主導的教育機構之外, 無限小是數學界的新概念,他甚至推翻了一些傳統幾何的想法;從這個角度來看,他就像數學界的宗教改革,耶穌會無論如何都要將他的聲浪壓下來。

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當時所有的出版品,都要接受耶穌會「總效訂」的審核,圖為羅馬教廷所製作的《禁書目錄》(已廢除)。 Source: Wiki

這次對決中,耶穌會佔了上風,哪怕面對的是伽利略與銳眼協會(L’Accademia Nazionale dei Lincei,現今的義大利國家科學院),那個時代最強的宗教團體成功地馴服了數學,讓數學依然作為宗教秩序而存在。

然而,如果把格局拉大,這場數學的戰爭還沒結束,只是換了一個戰場,到英國重新開始。在差不多的時間,英國也上演了一場關於無限小的學術論戰,場上的選手 更是赫赫有名。站在否定無限小那方的是政治哲學名著《巨靈論》的作者托馬斯•霍布斯(Thomas Hobbes)。身為那個時代最有名的哲學家之一,他在過世前的自傳裡認為自己最偉大的成就竟然是解開了一題經典數學難題--化圓為方,畫出一個和圓一樣 面積大小的正方形。

可惜的是,他解錯了。

連同這條錯誤的解答,他否定無限小的立場遭受到英國皇家學會(Royal Society)創辦人之一,約翰•沃利斯(John Wallis)的猛烈抨擊。當時英國學術界在培根的倡行下,實驗是驗證、發現科學知識的重要途徑。也因為這種想法,從現實狀況觀察到的無限小概念,自然能 較被接受,並且透過歸納法,成為了數學領域新的一份子。在沃利斯發明了「∞」的無限符號後,這個符號被他的晚輩牛頓(Isaac Newton)開花結果,建立出了微積分,成為現代許多科學、科技的基礎。

當然,在微積分的身上同樣少不了戰爭,屬於牛頓跟萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)的發明人之爭,不過那又是另一件故事了。

我想,這本書其實就很像托里切利的21道拋物線面積證明,名為介紹拋物線,實則宣揚無限小概念;名為介紹數學概念,實則介紹了整個中世紀錯綜複雜的學術、 宗教、信念之爭。我們現今認為很多理所當然的觀念,其實背後往往都有一長串故事,一群遠比我們聰明的人在努力。我有時候會想,如果說我們覺得課本裡的數學 無趣,那很可能不是知識本身的問題,而是我們學習的方法,將前人所有的努力濃縮成一行結果、一條式子,讓知識失去了靈魂,只剩下冰冷的軀殼。

這本書重新替無限符號「∞」注入了靈魂。

本篇轉自:賴以威老師FB

getImage《無限小:一個危險的數學理論如何形塑現代世界》。Amir Alexander著,商周出版。

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賴 以威
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數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室