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如何用方程式寫春聯

活躍星系核_96
・2015/02/22 ・2285字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 434 ・四年級

AS-2-25文/ Simbol 1

如何在春節坐在電腦前也很有過年氣氛?尤其是面對著家裡還是 Windows XP 的桌電。我翻到了一篇文章,介紹 GrafEq 這套付費但可無限試用且只支持到 Windows XP 和 OS 9.2 的古董級數學繪圖軟體。

我們這就拿它來做一點實驗。

首先打入 x^2+y^2<25。會看到一個半徑為 5 的圓

AS-2-1

若想要這個圓方一點,可以打 x^6+y^6<25,不過這就太方了

AS-2-2

x^4+y^4<25 倒是剛剛好

AS-2-3

現在我想在它身上挖個洞,於是想到要在不等式左邊減掉一個在原點值很大、但是出原點就迅速變小的函數

例如 1/(x^4+y^4) 就是這樣的函數,它在 x, y 很小的時候有很小的分母、所以函數值很大,但是 x, y 變大之後四次方會讓分母變大得很快,所以函數值就變得微不足道地小。

現在 x^4+y^4+1/(x^4+y^4)<25 的圖案長這樣

AS-2-4

能不能讓洞大一些呢?當然可以,把分子的 1 改成 100 就好
x^4+y^4+100/(x^4+y^4)<25 的圖案長這樣

AS-2-5

能不能讓洞只出現在上半部呢?當然也可以,將分母的 y 用 2y-2 取代
現在的式子是 x^4+y^4+100/(x^4+(2y-2)^4)<25

AS-2-6

不過看起來有點勉強啊,畢竟 100/(x^4+(2y-2)^4) 在左上角和右上角的地方降得不夠快,和正在變大的 x^4+y^4 相加之後,函數值比 25 小的地方顯得有點細(快不見得右上角和左上角)。我們可以從下面這張圖看到在該函數在 x=y 這條線上的行為,因為我們要看沿著斜45度角這條線上的筆畫粗細。

AS-2-7

我們現在考慮的是 f(x,y)= x^4+y^4+100/(x^4+(2y-2)^4) 這個函數,要把它畫出來需要三維空間,這裡卻只有兩維,不得已只好取函數在 x=y 這條線上面的樣子,於是上圖的縱坐標代表 f(x,y)= x^4+y^4+100/(x^4+(2y-2)^4) 函數的值,橫坐標則是 x=y 這條線,往左是原圖的左下角往右是原圖的右上角,至於淺淺那條橫線代表不等號右邊的 25,於是在該線下方的函數值對應到被塗黑的部分,該線上方的函數值對應到留白的部分。

當然,縮放過了,你知道如何用 GrafEq 畫出這張圖嗎?
我的答案是 (-5y+2(x/4)^4+100/((x/4)^4+(2(x/4)-2)^4))(-5y+25)=0

為了讓那個地方粗一些,我們決定在分母動手腳,讓它在左上角和右上角不要增加太快,方法是讓 y=1 附近的分母變大,例如把分母 x^4+(2y-2)^4 再加上 (2y-1)^2,這會讓 x=y 上的行為變成
(-5y+2(x/4)^4+100/((x/4)^4+(2(x/4)-2)^4+(2(x/4)-1)^2))(-5y+25)=0

AS-2-8

而 x^4+y^4+100/(x^4+(2y-2)^4+(2y-1)^2)<25 則變成

AS-2-9

可愛多了,忍不住想再戳第二個洞
x^4+y^4+100/(x^4+(2y-2)^4+(2y-1)^2)+100/(x^4+(2y+2)^4+(2y+1)^2)<25
一個「日字」就完成了

AS-2-10

可以再畫其他筆畫嗎?沒有問題,只要調整 x, y 前面的係數與常數,我們可以在任何位置畫上任意長度
例如 -1/((y+3)^4+(x/15)^4)-1/((y+4)^4+(x/15)^4)-1/((y+5)^4+(x/15)^4)<-100
(知道這三條分別對應到哪一項嗎?)

AS-2-11

將上式的左邊放到還沒挖洞的函數裡
x^4+y^4-1/((y+3)^4+(x/15)^4)-1/((y+4)^4+(x/15)^4)-1/((y+5)^4+(x/15)^4)<25
會發現這三條的粗細和長度都變了,離原點越遠也就是越下面的筆畫就會越細。這是因為離原點越遠的話   x^4+y^4 就越大,所以扣掉XX分之一之後就越容易超出 25(不等式右式給的邊界),筆畫就縮水了。

AS-2-12

話又說回來,這像不像旭日東昇呢?
還是說象形字看起來比較有感覺?
x^4+y^4+100/(x^4+(2y-2)^4+(2y-1)^2)+100/(x^4+(2y+2)^4+(2y+1)^2)-1/((y+3)^4+(x/15)^4)-1/((y+4)^4+(x/15)^4)-1/((y+5)^4+(x/15)^4)<25

AS-2-13
抑或是 x=0 的截面比較有啟發性?
(-50x+y^4+100/((2y-2)^4+(2y-1)^2)+100/((2y+2)^4+(2y+1)^2)-1/((y+3)^4)-1/((y+4)^4)-1/((y+5)^4))(-50x+25)=0

AS-2-14

下一題:要怎麼畫出斜的筆畫?畢竟調常數只會平移圖形,調整係數頂多讓矮胖的變瘦高的,那要怎麼調整「角度」呢?
這就要用到所謂「線性變換」的概念了,例如將 -1/(4(x+4)^4+((y+1)/5)^4)<-100

AS-2-15

套用變換「 x ⟼ x+y 、 y ⟼ x-y 」會得到
-1/(4(x+y+4)^4+((x-y+1)/5)^4)<-100

AS-2-16

那麼再下一個問題:要怎麼畫出彎的筆畫?

這可是再多線性變換都做不到的事,窮途末路的我們回想起圓弧是彎的 (x-19)^2+(y+12)^2=400 ,所以我們只要設定「到圓弧的距離夠小」,或者說「到圓心的距離界在某兩個數中間」就好了吧!((x-19)^2+(y+12)^2-400)^2<100

不過等等,這筆一畫下去可就是整個圓了,能不能只取其中一段呢?

AS-2-18

我想只靠一個圓大概不夠,那你有沒有試第二個?
((x-4)^2+(y+5)^2-13)((x-19)^2+(y+12)^2-400)=0

AS-2-19

也許設定「到兩個圓的距離都夠小」會有意外收穫
((x-4)^2+(y+5)^2-13)^2+((x-19)^2+(y+12)^2-400)^2<100

AS-2-20

唉呀,為了把這筆畫整合到本來的圖形裡,我們需要把「夠靠近零」的部分放到分母,變成一個「夠大」的條件
-100/(((x-4)^2+(y+5)^2-13)^2+((x-19)^2+(y+12)^2-400)^2)<-1
(需要看看它的樣子嗎?我猜是不用。)

不過它其實還是有點脆弱,根據努力嘗試的結果,我建議狠下心來將分子分母同時平方四次,這樣該大的才會大 ,該小的才會小。
-100^16/(((x-4)^2+(y+5)^2-13)^2+((x-19)^2+(y+12)^2-400)^2)^16<-100

AS-2-22

(這個圖形和前一個一樣嗎?)
(如果不,那它為什麼和前一個那麼像?)

 

最後將所有這些東西通通加在一起
x^4+y^4+100/(x^4+(2y-2)^4+(2y-1)^2)+100/(x^4+(2y+2)^4+(2y+1)^2)-1/((y+3)^4+(x/15)^4)-1/((y+4)^4+(x/15)^4)-1/((y+5)^4+(x/15)^4)-1/(4(x+y+4)^4+((x-y+1)/5)^4)-100^16/(((x-4)^2+(y+5)^2-13)^2+((x-19)^2+(y+12)^2-400)^2)^16<25
就得到了

AS-2-23

至於紅色的春聯紙怎麼畫呢?我希望字出現在正中間,所以應該要有些平移,我希望它夠尖,所以指數部分應該夠大,我希望它是 45 度的,所以需要線性變換,就決定是你了   (x+y+2)^100+(x-y-2)^100<7^100

AS-2-24

這就是結果啦
AS-2-25

最後,就來道規規矩矩的練習題讓大家試試吧:

AF-2-1

祝福各位新年快樂!

 

編按:如果以上這串你有看沒有懂沒關係,為了犒賞你能夠閱讀這篇文章到底,把以下式子貼入 google 搜尋,會有意想不到的驚喜喔!

x^4+y^4+100/(x^4+(2y-2)^4+(2y-1)^2)+100/(x^4+(2y+2)^4+(2y+1)^2)-1/((y+3)^4+(x/15)^4)-1/((y+4)^4+(x/15)^4)-1/((y+5)^4+(x/15)^4)-1/(4(x+y+4)^4+((x-y+1)/5)^4)-100^16/(((x-4)^2+(y+5)^2-13)^2+((x-19)^2+(y+12)^2-400)^2)^16-25

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活躍星系核_96
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活躍星系核(active galactic nucleus, AGN)是一類中央核區活動性很強的河外星系。這些星系比普通星系活躍,在從無線電波到伽瑪射線的全波段裡都發出很強的電磁輻射。 本帳號發表來自各方的投稿。附有資料出處的科學好文,都歡迎你來投稿喔。 Email: contact@pansci.asia


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大數據配對:《戀愛是科學》婚姻必勝公式,存在嗎?

雞湯來了
・2021/09/30 ・3771字 ・閱讀時間約 7 分鐘
  • 文/雞湯來了實習生蔡加柔
  • 校稿/雞湯來了陳世芃、張芷晴、榮淑媚
  • 製圖/雞湯來了特派員黃子芸
  • 編輯/雞湯來了蕭子喬

單身靠實力,結婚就靠大數據-《戀愛是科學》

《戀愛是科學》劇照。圖/雞湯來了 提供

「先將設立的理想型條件列出來,然後用電腦分析、引用大數據配對、清查身家背景,最後再簽訂婚前協議,進而快速鎖定「需要」的而非「想要」的伴侶,是避免浪費彼此時間的相親模式。」這是《戀愛是科學》女主角顏霏主張的戀愛 SOP,在劇中 ,她開設一間名為「戀愛科學婚姻仲介所」的公司,藉由大數據的分析,會員配對成功率達到八成之高。

如果這間公司真實存在,你想要加入嗎?你同意她提出「婚姻就是找一個適合你的合夥人」的說法嗎?

我們的匹配指數-「愛情」等於「合適」嗎?

當「勝女」如同「剩女」

「三高女」為何是婚姻市場釘子戶?

《戀愛是科學》劇照。圖/雞湯來了 提供

劇中年齡高、薪資高、學歷高的「三高女」卓乃慧,是一位事業有成的霸道女總裁,卻因為年齡偏大、學歷高又個性強勢等等所謂「死亡組合」,導致沒有願意與她牽手的對象,最後到戀愛科學婚姻仲介所尋求協助,並有了出乎意料的發展。

有一種好,是朋友都是為你好。有一種幸福,是別人覺得你幸福!

我稱它為亞洲壓力。-《戀愛是科學》

相較於乃慧清楚知道自己想要的對象,學歷必須在碩士以上,另外一位林小姐是朋友陪伴而來的。朋友打著幫她尋找幸福的名號,花了半小時洋洋灑灑地列了一堆條件,但是這樣真的是林小姐想要的嗎?

以上兩位角色其實有個共同點,就是她們為自己設下「十分明確且詳細的前提」,無論是否這些條件出自門當戶對的文化或是他人意見。這時我們可以思考一個被討論已久的議題:究竟我們要選擇的是「我愛的人」還是「適合我的人」?換個角度來看,這個問題本身便是感性與理性之間的角逐。

系統的誤差值-當感性破解大數據

系統不會出錯,幫我配對出來的,一定都是條件、能力、價值觀各方面都相當適合我結婚的對象,可是系統它不會知道誰能讓我心情好, 誰會逗我笑。-《戀愛是科學》

我才不管什麼大數據,我 27歲,我選妳。就算妳離過婚,我都選妳。-《戀愛是科學》

《戀愛是科學》劇照。圖/雞湯來了 提供

儘管使用科學輔助,與乃慧設立條件相差甚遠的有福,仍然走進乃慧的心。劇中的另一對,男主角王軒宇也突破大數據,無視一切不利條件也鍾情於女主角顏霏。他們的情感都是突破大數據的存在,確實稱不上理性,而這又是為什麼呢?

事實上,儘管科學上確實能部分證實,我們的心動軌跡有跡可循,但至今依然沒有任何理論或是學者,能完整詮釋愛情的全貌。或許你也曾發現,無論再怎麼理性抉擇,你的暗戀對象或是伴侶,可能依然與你在心裡設定的理想型不太相同,究竟為何「直覺的喜歡」有時會讓人忽略所謂公認的「客觀擇偶條件」呢?學者曾證實,這樣莫名的吸引力其來有自。

當愛來臨時-5大吸引力來源

人類皆是感性與理性的綜合體,所以要做到完全拋卻感性是近乎不可能的。因此劇中除了女主角顏霏使用的科學數據相親法之外,仍有許多「不可測因素」悄然牽動著每位角色的情感,其中,就包含許多「吸引力來源」。以下統整幾項研究,與大家分享超乎理性、多半來自潛意識的五項吸引力來源:

來源 1|時常遇見的「熟悉感」

學者曾在大學課程進行調查,發現在學期結束後,同學與座位附近的同學較有機會成為朋友、建立親密連結。另外一位研究者也在麻省理工學院學生宿舍,詢問一群學生的大學生活中三位親密好友,結果顯示 65% 來自同一棟宿舍。

《戀愛是科學》劇中,在沁藍送了 27 次宵夜之後,軒宇對她漸漸產生情感,可見情感連結或多或少與「熟悉感」相關。但在現實生活要注意的是,勇敢追愛和死纏爛打往往只有一線之隔喔!

《戀愛是科學》劇照。圖/雞湯來了 提供

相關推薦:《當男人戀愛時》啥款 ㄟ告白 ㄟ成功?論告白與追求的務實策略

來源 2|價值觀念具「相似感」

心理學家 Heider 提出的平衡理論指出,人會追求平衡的認知,例如相似的價值觀、意見、政治傾向等。其他學者也在研究中指出,伴侶婚後價值觀的相似性,對於關係滿意度的影響非常大!

然而這也不能過度追求。例如顏霏的客戶 Jason,就堅持他的對象必須熟讀金庸的武俠小說,因為他希望有人能一起討論感興趣的事物。儘管我們認同伴侶間是需要相似感的,但是太過在意相同,反而會讓關係終止。

來源 3|本能追求的「安全感」

人類會因為過往經驗、個人性格等種種原因,漸漸影響對於感情中安全感的需求,進而影響擇偶。因此討論戀愛關係時,我們常提及三種親密依附類型:焦慮型、逃避型、安全型。簡單來說,容易缺乏安全感者多屬於焦慮型,逃避型的人則傾向封閉心房,並且注重隱私與關係界線,至於安全型,則是普遍認為的理想類型。

男主角軒宇和他的前女友沁藍,前者就偏向逃避型、後者則偏向焦慮型。軒宇始終不善於表達心意,而沁藍缺乏安全感,這也成為他們分開的致命傷。

相關測驗:你的安全感是哪一種愛情依附風格?

相關連結:老天爺啊!另一半總是說自己沒安全感,我該怎麼辦?

來源 4|能被喜歡的「認同感」

我們容易被「表現出喜歡我們自己」的對象吸引。社會心理學者觀察進行快速約會(speed-Dating)的雙方並進行訪談後,部分受訪者表示,若感受到對方對自己有興趣,那麼自身會容易被對方吸引。

《戀愛是科學》角色裡,並沒有明顯的感情線來自於此。但我們能觀察到,顏霏在之前將軒宇視作小弟弟,在得知軒宇之前暗戀過自己之後,才轉換想法慢慢地察覺自己的心意。

來源 5|直觀感受上的「容貌」

亞里斯多德曾表示:「美貌是勝過任何介紹信的推薦函。」以生物本能來說,不可否認我們會被美麗的人事物吸引,可能是偏好對稱的五官、大眼睛等。然而每個世代的審美也都有變化,每個人看待容貌條件的想法都不同,最重要的是,有意識的思考容貌對於自己的意義即可。

相關連結:臺灣人的8大愛情風格

幸福的交叉點-戀愛是「感性」與「理性」的交匯

有一些爸媽的觀念也是很奇怪,小時候學生時期不讓小孩談戀愛, 但是長大後卻直接催婚,這不是很不符合邏輯嗎?就等於是從來不考模擬考,就直接學測一樣恐怖。-《戀愛是科學》

《戀愛是科學》劇照。圖/雞湯來了 提供

所以,選擇伴侶之時除了考慮種種條件,最為重要的其實是回歸自我本身。勇於面對心裡的真實情感,梳理清楚這樣的吸引力從何而來、程度為何。

像是劇中的大數據聯誼法,近乎是絕對理性且公認可靠的存在。然而,這樣的客觀條件僅是輔助我們的工具,我們依然要依靠探索與自主思考。如此尋找出結合感性與理性的交匯之處,很可能就是一段幸福關係的起點!

相關連結:現在的孩子都在談什麼戀愛?

參考資料

  • 林奕丞(2015)。夫妻間依附類型配對組合、休閒興趣的相似程度與婚姻滿意度之關係。國立政治大學輔導與諮商碩士學位學程研究所碩士論文。
  • 劉文琴(2006)。夫妻性格的相似性及互補性與婚姻滿意度及親密度的關係。佛光大學心理學研究所碩士論文。
  • Festinger, L. (1950). Informal social communication. Psychological Review, 57, 271-282.
  • Eastwick, P.W., Finkel, E.J. (2008). An in-depth speed-dating exploration of sex differences in romantic partner preferences and the disconnect between stated and in-vivo preferences.

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