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如何用方程式寫春聯

活躍星系核_96
・2015/02/22 ・2285字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 434 ・四年級

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AS-2-25文/ Simbol 1

如何在春節坐在電腦前也很有過年氣氛?尤其是面對著家裡還是 Windows XP 的桌電。我翻到了一篇文章,介紹 GrafEq 這套付費但可無限試用且只支持到 Windows XP 和 OS 9.2 的古董級數學繪圖軟體。

我們這就拿它來做一點實驗。

首先打入 x^2+y^2<25。會看到一個半徑為 5 的圓

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AS-2-1

若想要這個圓方一點,可以打 x^6+y^6<25,不過這就太方了

AS-2-2

x^4+y^4<25 倒是剛剛好

AS-2-3

現在我想在它身上挖個洞,於是想到要在不等式左邊減掉一個在原點值很大、但是出原點就迅速變小的函數

例如 1/(x^4+y^4) 就是這樣的函數,它在 x, y 很小的時候有很小的分母、所以函數值很大,但是 x, y 變大之後四次方會讓分母變大得很快,所以函數值就變得微不足道地小。

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現在 x^4+y^4+1/(x^4+y^4)<25 的圖案長這樣

AS-2-4

能不能讓洞大一些呢?當然可以,把分子的 1 改成 100 就好
x^4+y^4+100/(x^4+y^4)<25 的圖案長這樣

AS-2-5

能不能讓洞只出現在上半部呢?當然也可以,將分母的 y 用 2y-2 取代
現在的式子是 x^4+y^4+100/(x^4+(2y-2)^4)<25

AS-2-6

不過看起來有點勉強啊,畢竟 100/(x^4+(2y-2)^4) 在左上角和右上角的地方降得不夠快,和正在變大的 x^4+y^4 相加之後,函數值比 25 小的地方顯得有點細(快不見得右上角和左上角)。我們可以從下面這張圖看到在該函數在 x=y 這條線上的行為,因為我們要看沿著斜45度角這條線上的筆畫粗細。

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AS-2-7

我們現在考慮的是 f(x,y)= x^4+y^4+100/(x^4+(2y-2)^4) 這個函數,要把它畫出來需要三維空間,這裡卻只有兩維,不得已只好取函數在 x=y 這條線上面的樣子,於是上圖的縱坐標代表 f(x,y)= x^4+y^4+100/(x^4+(2y-2)^4) 函數的值,橫坐標則是 x=y 這條線,往左是原圖的左下角往右是原圖的右上角,至於淺淺那條橫線代表不等號右邊的 25,於是在該線下方的函數值對應到被塗黑的部分,該線上方的函數值對應到留白的部分。

當然,縮放過了,你知道如何用 GrafEq 畫出這張圖嗎?
我的答案是 (-5y+2(x/4)^4+100/((x/4)^4+(2(x/4)-2)^4))(-5y+25)=0

為了讓那個地方粗一些,我們決定在分母動手腳,讓它在左上角和右上角不要增加太快,方法是讓 y=1 附近的分母變大,例如把分母 x^4+(2y-2)^4 再加上 (2y-1)^2,這會讓 x=y 上的行為變成
(-5y+2(x/4)^4+100/((x/4)^4+(2(x/4)-2)^4+(2(x/4)-1)^2))(-5y+25)=0

AS-2-8

而 x^4+y^4+100/(x^4+(2y-2)^4+(2y-1)^2)<25 則變成

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AS-2-9

可愛多了,忍不住想再戳第二個洞
x^4+y^4+100/(x^4+(2y-2)^4+(2y-1)^2)+100/(x^4+(2y+2)^4+(2y+1)^2)<25
一個「日字」就完成了

AS-2-10

可以再畫其他筆畫嗎?沒有問題,只要調整 x, y 前面的係數與常數,我們可以在任何位置畫上任意長度
例如 -1/((y+3)^4+(x/15)^4)-1/((y+4)^4+(x/15)^4)-1/((y+5)^4+(x/15)^4)<-100
(知道這三條分別對應到哪一項嗎?)

AS-2-11

將上式的左邊放到還沒挖洞的函數裡
x^4+y^4-1/((y+3)^4+(x/15)^4)-1/((y+4)^4+(x/15)^4)-1/((y+5)^4+(x/15)^4)<25
會發現這三條的粗細和長度都變了,離原點越遠也就是越下面的筆畫就會越細。這是因為離原點越遠的話   x^4+y^4 就越大,所以扣掉XX分之一之後就越容易超出 25(不等式右式給的邊界),筆畫就縮水了。

AS-2-12

話又說回來,這像不像旭日東昇呢?
還是說象形字看起來比較有感覺?
x^4+y^4+100/(x^4+(2y-2)^4+(2y-1)^2)+100/(x^4+(2y+2)^4+(2y+1)^2)-1/((y+3)^4+(x/15)^4)-1/((y+4)^4+(x/15)^4)-1/((y+5)^4+(x/15)^4)<25

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AS-2-13
抑或是 x=0 的截面比較有啟發性?
(-50x+y^4+100/((2y-2)^4+(2y-1)^2)+100/((2y+2)^4+(2y+1)^2)-1/((y+3)^4)-1/((y+4)^4)-1/((y+5)^4))(-50x+25)=0

AS-2-14

下一題:要怎麼畫出斜的筆畫?畢竟調常數只會平移圖形,調整係數頂多讓矮胖的變瘦高的,那要怎麼調整「角度」呢?
這就要用到所謂「線性變換」的概念了,例如將 -1/(4(x+4)^4+((y+1)/5)^4)<-100

AS-2-15

套用變換「 x ⟼ x+y 、 y ⟼ x-y 」會得到
-1/(4(x+y+4)^4+((x-y+1)/5)^4)<-100

AS-2-16

那麼再下一個問題:要怎麼畫出彎的筆畫?

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這可是再多線性變換都做不到的事,窮途末路的我們回想起圓弧是彎的 (x-19)^2+(y+12)^2=400 ,所以我們只要設定「到圓弧的距離夠小」,或者說「到圓心的距離界在某兩個數中間」就好了吧!((x-19)^2+(y+12)^2-400)^2<100

不過等等,這筆一畫下去可就是整個圓了,能不能只取其中一段呢?

AS-2-18

我想只靠一個圓大概不夠,那你有沒有試第二個?
((x-4)^2+(y+5)^2-13)((x-19)^2+(y+12)^2-400)=0

AS-2-19

也許設定「到兩個圓的距離都夠小」會有意外收穫
((x-4)^2+(y+5)^2-13)^2+((x-19)^2+(y+12)^2-400)^2<100

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AS-2-20

唉呀,為了把這筆畫整合到本來的圖形裡,我們需要把「夠靠近零」的部分放到分母,變成一個「夠大」的條件
-100/(((x-4)^2+(y+5)^2-13)^2+((x-19)^2+(y+12)^2-400)^2)<-1
(需要看看它的樣子嗎?我猜是不用。)

不過它其實還是有點脆弱,根據努力嘗試的結果,我建議狠下心來將分子分母同時平方四次,這樣該大的才會大 ,該小的才會小。
-100^16/(((x-4)^2+(y+5)^2-13)^2+((x-19)^2+(y+12)^2-400)^2)^16<-100

AS-2-22

(這個圖形和前一個一樣嗎?)
(如果不,那它為什麼和前一個那麼像?)

 

最後將所有這些東西通通加在一起
x^4+y^4+100/(x^4+(2y-2)^4+(2y-1)^2)+100/(x^4+(2y+2)^4+(2y+1)^2)-1/((y+3)^4+(x/15)^4)-1/((y+4)^4+(x/15)^4)-1/((y+5)^4+(x/15)^4)-1/(4(x+y+4)^4+((x-y+1)/5)^4)-100^16/(((x-4)^2+(y+5)^2-13)^2+((x-19)^2+(y+12)^2-400)^2)^16<25
就得到了

AS-2-23

至於紅色的春聯紙怎麼畫呢?我希望字出現在正中間,所以應該要有些平移,我希望它夠尖,所以指數部分應該夠大,我希望它是 45 度的,所以需要線性變換,就決定是你了   (x+y+2)^100+(x-y-2)^100<7^100

AS-2-24

這就是結果啦
AS-2-25

最後,就來道規規矩矩的練習題讓大家試試吧:

AF-2-1

祝福各位新年快樂!

 

編按:如果以上這串你有看沒有懂沒關係,為了犒賞你能夠閱讀這篇文章到底,把以下式子貼入 google 搜尋,會有意想不到的驚喜喔!

x^4+y^4+100/(x^4+(2y-2)^4+(2y-1)^2)+100/(x^4+(2y+2)^4+(2y+1)^2)-1/((y+3)^4+(x/15)^4)-1/((y+4)^4+(x/15)^4)-1/((y+5)^4+(x/15)^4)-1/(4(x+y+4)^4+((x-y+1)/5)^4)-100^16/(((x-4)^2+(y+5)^2-13)^2+((x-19)^2+(y+12)^2-400)^2)^16-25

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活躍星系核_96
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活躍星系核(active galactic nucleus, AGN)是一類中央核區活動性很強的河外星系。這些星系比普通星系活躍,在從無線電波到伽瑪射線的全波段裡都發出很強的電磁輻射。 本帳號發表來自各方的投稿。附有資料出處的科學好文,都歡迎你來投稿喔。 Email: contact@pansci.asia

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伺服器過熱危機!液冷與 3D VC 技術如何拯救高效運算?
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2025/04/11 ・3194字 ・閱讀時間約 6 分鐘

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本文與 高柏科技 合作,泛科學企劃執行。

當我們談論能擊敗輝達(NVIDIA)、Google、微軟,甚至是 Meta 的存在,究竟是什麼?答案或許並非更強大的 AI,也不是更高速的晶片,而是你看不見、卻能瞬間讓伺服器崩潰的「熱」。

 2024 年底至 2025 年初,搭載 Blackwell 晶片的輝達伺服器接連遭遇過熱危機,傳聞 Meta、Google、微軟的訂單也因此受到影響。儘管輝達已經透過調整機櫃設計來解決問題,但這場「科技 vs. 熱」的對決,才剛剛開始。 

不僅僅是輝達,微軟甚至嘗試將伺服器完全埋入海水中,希望藉由洋流降溫;而更激進的做法,則是直接將伺服器浸泡在冷卻液中,來一場「浸沒式冷卻」的實驗。

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但這些方法真的有效嗎?安全嗎?從大型數據中心到你手上的手機,散熱已經成為科技業最棘手的難題。本文將帶各位跟著全球散熱專家 高柏科技,一同看看如何用科學破解這場高溫危機!

運算=發熱?為何電腦必然會發熱?

為什麼電腦在運算時溫度會升高呢? 圖/unsplash

這並非新問題,1961年物理學家蘭道爾在任職於IBM時,就提出了「蘭道爾原理」(Landauer Principle),他根據熱力學提出,當進行計算或訊息處理時,即便是理論上最有效率的電腦,還是會產生某些形式的能量損耗。因為在計算時只要有訊息流失,系統的熵就會上升,而隨著熵的增加,也會產生熱能。

換句話說,當計算是不可逆的時候,就像產品無法回收再利用,而是進到垃圾場燒掉一樣,會產生許多廢熱。

要解決問題,得用科學方法。在一個系統中,我們通常以「熱設計功耗」(TDP,Thermal Design Power)來衡量電子元件在正常運行條件下產生的熱量。一般來說,TDP 指的是一個處理器或晶片運作時可能會產生的最大熱量,通常以瓦特(W)為單位。也就是說,TDP 應該作為這個系統散熱的最低標準。每個廠商都會公布自家產品的 TDP,例如AMD的CPU 9950X,TDP是170W,GeForce RTX 5090則高達575W,伺服器用的晶片,則可能動輒千瓦以上。

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散熱不僅是AI伺服器的問題,電動車、儲能設備、甚至低軌衛星,都需要高效散熱技術,這正是高柏科技的專長。

「導熱介面材料(TIM)」:提升散熱效率的關鍵角色

在電腦世界裡,散熱的關鍵就是把熱量「交給」導熱效率高的材料,而這個角色通常是金屬散熱片。但散熱並不是簡單地把金屬片貼在晶片上就能搞定。

現實中,晶片表面和散熱片之間並不會完美貼合,表面多少會有細微間隙,而這些縫隙如果藏了空氣,就會變成「隔熱層」,阻礙熱傳導。

為了解決這個問題,需要一種關鍵材料,導熱介面材料(TIM,Thermal Interface Material)。它的任務就是填補這些縫隙,讓熱可以更加順暢傳遞出去。可以把TIM想像成散熱高速公路的「匝道」,即使主線有再多車道,如果匝道堵住了,車流還是無法順利進入高速公路。同樣地,如果 TIM 的導熱效果不好,熱量就會卡在晶片與散熱片之間,導致散熱效率下降。

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那麼,要怎麼提升 TIM 的效能呢?很直覺的做法是增加導熱金屬粉的比例。目前最常見且穩定的選擇是氧化鋅或氧化鋁,若要更高效的散熱材料,則有氮化鋁、六方氮化硼、立方氮化硼等更高級的選項。

典型的 TIM 是由兩個成分組成:高導熱粉末(如金屬或陶瓷粉末)與聚合物基質。大部分散熱膏的特點是流動性好,盡可能地貼合表面、填補縫隙。但也因為太「軟」了,受熱受力後容易向外「溢流」。或是造成基質和熱源過分接觸,高分子在高溫下發生熱裂解。這也是為什麼有些導熱膏使用一段時間後,會出現乾裂或表面變硬。

為了解決這個問題,高柏科技推出了凝膠狀的「導熱凝膠」,說是凝膠,但感覺起來更像黏土。保留了可塑性、但更有彈性、更像固體。因此不容易被擠壓成超薄,比較不會熱裂解、壽命也比較長。

OK,到這裡,「匝道」的問題解決了,接下來的問題是:這條散熱高速公路該怎麼設計?你會選擇氣冷、水冷,還是更先進的浸沒式散熱呢?

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液冷與 3D VC 散熱技術:未來高效散熱方案解析

除了風扇之外,目前還有哪些方法可以幫助電腦快速散熱呢?圖/unsplash

傳統的散熱方式是透過風扇帶動空氣經過散熱片來移除熱量,也就是所謂的「氣冷」。但單純的氣冷已經達到散熱效率的極限,因此現在的散熱技術有兩大發展方向。

其中一個方向是液冷,熱量在經過 TIM 後進入水冷頭,水冷頭內的不斷流動的液體能迅速帶走熱量。這種散熱方式效率好,且增加的體積不大。唯一需要注意的是,萬一元件損壞,可能會因為漏液而損害其他元件,且系統的成本較高。如果你對成本有顧慮,可以考慮另一種方案,「3D VC」。

3D VC 的原理很像是氣冷加液冷的結合。3D VC 顧名思義,就是把均溫板層層疊起來,變成3D結構。雖然均溫板長得也像是一塊金屬板,原理其實跟散熱片不太一樣。如果看英文原文的「Vapor Chamber」,直接翻譯是「蒸氣腔室」。

在均溫板中,會放入容易汽化的工作流體,當流體在熱源處吸收熱量後就會汽化,當熱量被帶走,汽化的流體會被冷卻成液體並回流。這種利用液體、氣體兩種不同狀態進行熱交換的方法,最大的特點是:導熱速度甚至比金屬的熱傳導還要更快、熱量的分配也更均勻,不會有熱都聚集在入口(熱源處)的情況,能更有效降溫。

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整個 3DVC 的設計,是包含垂直的熱導管和水平均溫板的 3D 結構。熱導管和均溫板都是採用氣、液兩向轉換的方式傳遞熱量。導熱管是電梯,能快速把散熱工作帶到每一層。均溫板再接手將所有熱量消化掉。最後當空氣通過 3DVC,就能用最高的效率帶走熱量。3DVC 跟水冷最大的差異是,工作流體移動的過程經過設計,因此不用插電,成本僅有水冷的十分之一。但相對的,因為是被動式散熱,其散熱模組的體積相對水冷會更大。

從 TIM 到 3D VC,高柏科技一直致力於不斷創新,並多次獲得國際專利。為了進一步提升 3D VC 的散熱效率並縮小模組體積,高柏科技開發了6項專利技術,涵蓋系統設計、材料改良及結構技術等方面。經過設計強化後,均溫板不僅保有高導熱性,還增強了結構強度,顯著提升均溫速度及耐用性。

隨著散熱技術不斷進步,有人提出將整個晶片組或伺服器浸泡在冷卻液中的「浸沒式冷卻」技術,將主機板和零件完全泡在不導電的特殊液體中,許多冷卻液會選擇沸點較低的物質,因此就像均溫板一樣,可以透過汽化來吸收掉大量的熱,形成泡泡向上浮,達到快速散熱的效果。

然而,因為水會導電,因此替代方案之一是氟化物。雖然效率差了一些,但至少可以用。然而氟化物的生產或廢棄時,很容易產生全氟/多氟烷基物質 PFAS,這是一種永久污染物,會對環境產生長時間影響。目前各家廠商都還在試驗新的冷卻液,例如礦物油、其他油品,又或是在既有的液體中添加奈米碳管等特殊材質。

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另外,把整個主機都泡在液體裡面的散熱邏輯也與原本的方式大相逕庭。如何重新設計液體對流的路線、如何讓氣泡可以順利上浮、甚至是研究氣泡的出現會不會影響元件壽命等等,都還需要時間來驗證。

高柏科技目前已將自家產品提供給各大廠商進行相容性驗證,相信很快就能推出更強大的散熱模組。

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