不用數學就可以解釋——相對論的著名想像實驗「雙胞胎悖論」

• 文／賴昭正 前清大化學系教授、系主任、所長；合創科學月刊

你聽過「雙胞胎悖論」嗎？

我有時會問自己，我是如何發展相對論的。我認為其原因是：一個正常的成年人從不去思考空間和時間的問題——這些都是他小時候就想到的；但我的智力發育遲緩，因此長大後才開始思考空間和時間。

——愛因斯坦（Albert Einstein)），1921年諾貝爾物理獎得主

1905 年，愛因斯坦在題為「關於運動物體之電動力學」的論文裡，從兩個簡單的假設，得到結論謂如果張三與李四相對運動，則張三會認為李四的手錶跑得比較慢。在證明這一稱為「時間膨脹」（time dilation）的現象後，寫道：

由此產生以下奇怪結果。如果（開始時）A 點和 B 點在（靜止坐標）K 中觀察是同步的（即同一時刻），但 A 處的時鐘以速度 v 沿 AB 線到 B，則在到達 B 時，兩個時鐘將不再是同步：移動到 B 後的 A 時鐘將落後於保持不動的 B 時鐘…。我們得出這樣的結論：如果兩個 A 處同步的時鐘，其中一個以恆定速度沿閉合曲線移動 t 秒後返回 A 處，則保持靜止的時鐘將發現剛返回的時鐘慢了 tv²/（2c²）秒（c 為光速）。

或許是怕像筆者這樣智力發育遲緩的讀者難懂，愛因斯坦於 1911 年重申並詳細說明這一現象如下：

如果我們把一個活的有機體放在一個盒子裡……我們可以安排這個有機體在經過任意長時間的飛行後，在幾乎沒有改變的情況下返回到它原來的位置。此時保持在原來位置的相應有機體已經早已讓位於新一代，但對於移動的有機體來說，只要運動以接近光速進行，漫長的旅程只是一瞬間而已。

名物理教科書作者雷斯尼克（Robert Resnick）更清楚地解讀謂：

如果靜止的有機體是一個人，而旅行的是他的雙胞胎，那麼旅行者回到家時會發現他的雙胞胎兄弟比自己老得多。但在相對論中，任何一個雙胞胎都可以將另一個視為旅行者，因此再碰面時將比他自己年輕。這在邏輯上看來是一個矛盾的現象，因此被稱為「雙胞胎悖論」（twin paradox）。

「雙胞胎悖論」可以說是相對論中最著名的想像實驗，為許多教科書與通俗科學文章所討論的對象；但筆者卻發現在「泛科學」裡只有一篇書評的文章中提到它！

難道真如諾貝爾獎得主普朗克（Max Planck）所說的：「一個新的科學真理之所以勝利，不是因為說服了它的對手，讓他們看到了光明，而是因為它的對手最終會死去，而熟悉它的新一代會成長起來」？在習以為常的熏陶下，現在的「新一代」已經不再認為「雙胞胎悖論」是值得討論的悖論？

如果你不是這樣的「新一代」，那本文是為你所寫的，相信你在這裡將讀到在其它地方找不到之「雙胞胎悖論」的白話文解讀（不用任何數學）。

同步與同時的「相對性」

普朗克謂：「光速之於相對論就像基本的作用量子之於量子論：光速是相對論的絕對核心。」

可是如何測量光速呢？從甲處發一道光到乙處，將甲乙之距離除以光旅行的時間就得到光速。當然，要能精確地測得光速，甲乙兩處的時鐘必須是互相校正過的、同步（synchronized）的。如何校正甲乙的時鐘呢？相信很多人小時候就已經知道了：將兩個時鐘帶到同一處，然後像電影中之突擊隊，在出發前由隊長發命令說：「讓我們校正時間，現在是……」 。

可是愛因斯坦不知道為什麼竟然沒有想到這一點？或許真的是「智力發育遲緩」，他竟然建議在乙處放一面鏡子來反射甲處在零時刻所發的光，如果乙處接到光的時刻正是甲處光來回所需之時間的一半，我們便說甲乙兩處的時鐘同步化了。用這種方法來同步化時鐘，很顯然在邏輯上我們便不可能測單方向的光速是否為定值了，所以愛因斯坦增加了一個假設，即光是在真空中的傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值 c！

如果我們將同步化的甲乙兩個時鐘分別放在火車月台的兩端，讓它們在同一時刻（零點）往月台中心發射一道激光，則站在月台中心的賴教授應該「同時」收到來自甲乙兩端的激光（圖一 a）。

但坐在從乙往甲方向以等速 v 行駛之車廂內的李教授，卻發現甲、乙激光發射後一直在以同一速度 c 逼近賴教授（圖一 c）；但因賴教授在往乙方向運動，因此如果光同時到達賴教授處（任何人都同意的「事件」，否則賴教授不是說謊就是頭腦有問題），李教授將下結論謂：甲乙兩個時鐘並不同步，甲時鐘顯然先發射，因此比乙時鐘快（甲的零點比乙的零點早）！

所以「同時」將因觀察者之運動而異：賴教授說甲乙兩激光是同時發射的，李教授卻說甲激光先發射的！如果李教授坐的火車是由甲往乙方向行駛呢？他將發現乙激光是先發射的！

這似乎是很明顯的結論，為什麼要等愛因斯坦告訴我們、難道牛頓沒想到嗎？牛頓不是沒想到，而是他認為宇宙中有一獨立於任何觀察者的時鐘，稱為「絕對時間」，所以「同時」是絕對，不會因觀察者之相對運動而異。

但事實上這結論與絕對時間無關，而是因愛因斯坦之假設—光的傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值—造成的！如果不是這一假設，則光的傳播速率將與發射體運動狀態有關（古典力學），李教授會認為乙激光是以 c-v 逼近、而甲激光則是以 c+v 追趕以 v 速運動的賴教授（圖一 b），因此兩道激光當然還是同時到達賴教授處！所以李教授和賴教授都同意時鐘是同步的。

所以很明顯地應是愛因斯坦的「同時相對性」改變了人類根深蒂固的「絕對同時性」觀念。如果我們將「發射激光」改成孿生子（雙胞胎）的「生日慶典」，則賴教授將說他們是同時出生的；但是李教授則會因其運動狀態而說甲孿生子先出生（比較老）或乙孿生子先出生。這不正是「雙胞胎悖論」的一個影本嗎？我們在這裡事實上還看到一個很重要的現象：參考坐標（運動方向）的改變，可能顛倒兩個不同事件的「先後次序」！

雙胞胎悖論

假設雙胞胎張四決定乘坐等速高速太空船去旅行。因他決定一去不回，故在旅行前與張三痛哭擁抱，答應在死前一刻依自己的時鐘將年齡紀錄下來，「寄」回地球。

依照經驗，如果兩人的生理機能完全不受外界的影響，則兩人的壽命應該一樣長；但是依照相對論，張三認為張四是在運動，其（生理）時鐘跑得較慢【稱為「時間膨脹」現象】，因此活得較長；同樣地，張四認為張三是在運動，其（生理）時鐘跑得較慢，因此活得較長！誰對呢？智力發育遲緩的筆者認為這是矛盾的，一定有一個人錯，但愛因斯坦說兩人都沒錯，要筆者耐心地等一等……。

歲月如梭，張四的信終於抵達地球了；打開一看，怎麼？他的壽命竟然與張三一樣！筆者一個頭兩個大，顯然是不應該學物理—尤其是相對論！請讀者幫幫忙吧！

假設張四離開10年（他的時間）時突然想家，於是緊急剎車，將太空船轉個方向，緊急加速到原來的速度（為了方便，我們可以假設整個過程是「瞬間」），10 年後終於又回到地球，跟雙胞胎張三重新會合，正要擁抱時卻發現張三已經比他老多了！這正是上面愛因斯坦及雷斯尼克所說的結果。

這看似矛盾的結果事實上是很容易理解的：張四在太空中的「緊急剎車、將太空船轉個方向、緊急加速到原來的速度」破壞了兩人運動的對稱性。我們雖然沒有辦法感受到自己是在靜止狀態或者是在等速運動，但我們卻可以知道自己是在加速。所以張四在太空中的急轉彎，不但破壞了兩人運動的對稱性，也應該是造成他們年齡差異的原因。我們可以從兩方面來看為什麼改變速度（加速）造成年齡差異。

從相對論來看，在去程及回程的等速運動時，張四應該一直認為張三比他年輕。但在前面的火車站實驗中，我們發現李教授的火車行駛方向改變會造成「先後次序」的顛倒，因此張四在太空急（「瞬間」）轉彎的過程中會發現張三（「瞬間」）老了許多（不怕數學讀者，可參見附錄二）：多得超過了剛提到之等速運動時的年輕數，因此張四在相會時將發現張三比他老！從張三的角度來看，他從未加速，因此認為在運動的張四一直比他年輕！不止如此，他依相對論所算出來的年齡差距，也正是張四依他自己之坐標（包括等速與改速）所算出來的！

相信某些讀者要問：「老」是生理現象，張四的坐標轉換怎麼會使張三變老呢？火車站實驗中的「先後次序」顛倒，只是李教授的觀點而已，並沒有實質的物理意義，賴教授不是不同意嗎？1905年的相對論沒有回答這個問題，這答案 10 年後才在廣義相對論中出現（詳見愛因斯坦一生中最幸運的靈感-廣義相對論的助產士）：加速可以視為是一種重力現象，時間在重力場中跑得比較慢【稱為「重力時間膨脹」（gravitational time dilation）】。

所以張四在太空中急速的減速及加速將造成強大的重力場，使得其（生理）時鐘變得非常慢，因此在這期間老得也非常慢（在黑洞附近的人—如果不被吸進去的話—幾乎可以長生不老）！

• 延伸閱讀：跌入黑洞的瞬間，會發生什麼事？——《高手相對論》

長度收縮

特殊相對論還預測一個稱為「長度收縮」（length contraction）的怪現象，謂：一位快跑健將拿著一根棍子沿著棍子方向以速度v飛跑,旁觀人會認為棍子長度變短。這一個怪現象事實上在月台的實驗上已經看到了：要決定兩點之間的距離，我們必須「同時」測兩點的坐標；李教授認為甲的零點比乙的零點早，因此必須「稍等」甲一下才能「同時」記錄甲、乙兩點的坐標，但這一「稍等」，因為甲在往乙方向運動，不是使得測得的距離變短嗎^註？

如果讀者不怕數學，讓我們在這裡用點數學來看「長度收縮」這一怪現象，希望能幫助讀者更進一步了解。

圖二是旁觀者的坐標，顯示在 t=a 時，棍子的前端進入原點 x=0，然後沿軌跡 x=v(t-a) 繼續前進；棍子的後端則在 t=b 時進入原點，然後沿軌跡 x=v(t-b) 繼續前進。

圖二中的 bc 是棍子後端剛進入原點時，旁觀者的「同時」線，即線上每一點的時間都是 t=b（同步化）。測量棍子的長度必須「同時」觀察其前端及後端的位置，因此他測量得到的棍子長度為 be（他不知道那個時刻棍子前端事實上已經到達 d 點了）！bd 是快跑健將的同時線，其 x 坐標 (x_d-x_b) 則是 他測量的棍子長度，比 be 長；所以旁觀者說「棍子變短了」。

如果快跑健將的速度不快，則前、後端軌跡將趨近於成垂直，不同運動狀態的「同時」便趨近於相同，我們便又回到我們所熟知的牛頓世界了！

結論

愛因斯坦1905年的相對論中之「光傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值」假設徹底地毀滅了物理學中「同時」的觀念，因之產生了一些與日常經驗不符的奇怪現象，如「長度收縮」及著名的「雙胞胎悖論」。

希望本文的解釋不但能讓讀者見怪不怪，甚至發現其實不怪；了解相對論裡所有「矛盾」現象都是因為不同觀察者在「自說自話」造成的：例如在棍子的例子裡，靜止觀察者談論的是他（靜止觀察者）在某個時刻測量得到的長度，而移動觀察者談論的則是他自己（移動觀察者）在另一個瞬間測量的長度。

時間及空間是人類製造出來便利溝通的語言，如果李教授不認為甲地先發射，他沒辦法解釋為什麼賴教授同時看到甲乙兩地發射出來的光（實際經驗到的物理現象）；所以「自說自話」原來是為了保持物理定律的不變性（物理定律是用來解釋我們實際經驗到的物理現象）。這些「自說自話」事實上也不是隨便說的，而是靠「洛倫茲轉換」（Lorentz transformation）連接在一起的。

附錄一：「後見之明」輕鬆地推導「洛倫茲（坐標）轉換」公式

K’ 坐標以 + v 速度相對於 K 坐標運動。如果坐標在 t=0 時重合，加上時、空的均勻性（變數沒有二次方）：

…………………………………………………………(1)

β 為待解的常數。如果在 t=0 時發射一道光，則光的軌跡為 x=ct；代入上式，得

…………………………………………………………(2)

因為 K’ 坐標及 K 坐標的對稱性：

…………………………………………………………(3)

將 (3) 代入 (2) 解得

…………………………………………………………(4)

從 x = β ( x’ + vt’ ) 解 x’ ，然後代入(1)，化簡可得到

…………………………………………………………(5)

公式(1) 、(5), 及(4)就是「洛倫茲（坐標）轉換」公式。長度收縮中之快跑健將棍子的同時線方程式為公式(5) :

附錄二：雙胞胎悖論的數學

假設雙胞胎甲留在地球，雙胞胎乙決定以 v 速度往太空地球 S 旅遊，則甲（x , t）、乙( x’ , t’）兩人的坐標轉換為（為了方便，將光速定為 1，所以 v 應該小於 1 ）：

圖三為甲的坐標圖：太空地球 S 的位置為（ x_s , t_s）。依照上面公式轉換，對乙來說，其坐標為( x’_s , t’_s ）。去程時，乙在 S 時的同時線（該線上每一點的時鐘都「同步」） t₁s 為：

在到達 S 時，乙瞬間改變方向，其同時線瞬間變為 t₂s ：

這兩個方程式的時間零點分別為 t₀ 及 t₃ ，因此不能直接用它們來算去程及回程的同時點 t₁ 及 t₂ ；但因為對稱的關係，我們可以將 t₁s 延長到 x=2x_s 處，用  t’_s=β ( t-vx ) 解得：

所以乙的回程坐標轉換一下子讓甲老了

t₂ – t₁ = v2x_s

……舉個實際的例子：如果 v=0.6, x_s=6，則 β=1.25，所以對甲來說，乙需要 10（=6/0.6） 年才能到達 S ，也需要 10 年才能回來，因此乙回來時，甲應該已經 20 歲了（為了說明方便，假設他們一出生，乙就到太空旅行）。甲的 S 坐標為（6 , 10），透過坐標轉換，乙的 S 坐標為（0 , 8）；所以甲認為乙的時鐘比較慢，只要花 8 年（乙時鐘）的時間就可以到達 S，同樣地也只要花 8 年時間回來，所以乙回來時應該只有 16 歲！

透過乙在 S 時的同時線，可以解得當 x=0 時，t₁=6.4。所以對乙來說，他已經 8 歲了，但甲才 6.4 歲，顯然比他年輕（老得慢）！同樣地，在回程時，乙也應該認為他老了 8 歲，但甲才老了 6.4 歲，所以乙回到老家時，乙應該已經 16 歲，但甲才 12.8 歲，比他年輕！

但前面不是說過甲應該已經 20 歲了嗎？矛盾？不！我們忘了乙坐標轉換時的「時差」 ：7.2 年！將這「時差」加進去，乙也計算出甲的年齡應該是 20 歲（=6.4+7.2+6.4）！

甲、乙兩個人的結論相同，沒有矛盾！愛因斯坦沒有騙我們！

註：

要決定兩點之間的距離，我們必須「同時」測兩點的坐標；同樣地，要決定兩個事件發生的時差（時間），我們必須在「同點」測兩個事件發生的時刻。相對論不但毀滅了物理學中「同時」的觀念，事實上也摧殘了「同點」的觀念：沒有絕對的空間，「同點」因運動者而異。所以我們也應該可以在類似月台的簡單實驗上尋找到「時間膨脹」的現象（請讀者幫幫忙吧）。

延伸閱讀

愛因斯坦一生中最幸運的靈感-廣義相對論的助產士（科學月刊，2021 年 5 月號）。