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《從「開門見山」到「通行無阻」—探討愚公移山所需的時間》——2019數感盃 / 高中職組專題報導類佳作

數感實驗室_96
・2019/05/16 ・2437字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 506 ・六年級
相關標籤: 愚公移山 (1)

「數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 國中職組專題報導類佳作 之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:彭士瑋、許庭愷
圖/该图片由fxxu在Pixabay上发布

話說愚公在那黃河北面兒挖山,一挖就挖了兩、三年,竟也沒人敢再恥笑質疑他,倒是圍觀湊熱鬧的人真不少,每人幫忙挖個一兩下,嘿!這山是不怎麼減少,卻別有一番團結的情味兒。

這日風煙俱淨、萬里無雲,愚公依舊起了個大早,背著鋤頭、十字鎬幹活去了。推開大門,迎面而來的是那巍峨聳立的山峰,俊秀的線條如山水畫般舒衝展開來,愚公心想:「這山要是能佇於道旁,倒也是幅天下獨絕的奇景,就怪它佔住了道路的衝要,給前去趕市集的村人添了不少苦頭。」於是又在山前踅了一會兒,像是在測量高度,又像在欣賞這山的俊峭,突然,一個熱悉的聲音打斷了他。

「愚公啊!你挖山都來不及了,還有時間欣賞山啊?」是智叟,臉上仍掛著那不屑的神色,原來多年前他曾當著眾人被愚公羞辱了一番,心裡很不是滋味,總想要反撲一口,今天的他有備而來,希望能好好打贏這場舌戰。

「哦?是智叟啊!早安,早安!」愚公面對充滿殺氣的智叟,仍堆了滿臉笑容,「愚公啊!不是我愛說你,你也這麼一大把年紀了,做這麼費力的工作能多有效率?從戊戌年算起,都挖了三年半載,而那山頭有少一丁點兒嗎?像你這樣冥頑不靈的老頭,天帝賜你長壽實在是浪費啊!」被智叟這麼轟了一回,愚公也不生氣,他收起以往的笑容,嚴肅地說:「老朋友啊!我也只是想為大家開條方便的道路,我這樣慢慢地挖,固然那砂石沒什麼增減,但就像之前和你說的,我死後還有兒子啊!還有孫子啊!而我的孫子也會再有兒子,再有孫子,像這樣一代一代地傳下去,即使速度再慢,但只要家世不斷,挖山的工程也是不會斷掉的啊!」

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智叟輕哼了一聲,這句話他早就聽膩了,還記得上次被這句話堵住了嘴,狼狽而歸,現在他可要好好地攻破這句話。

「說代代相傳嘛!但天災人禍誰也料不著,你的子孫說不定很快就要搬離此處,更別說萬世都遵守挖山的祖訓了。要不然,請問高明的您,預估何時貴子孫能將山完全移走呢?」「呃…大概是在我的曾孫的曾孫的……等等!不對!是在我孫子的兒子的玄孫的……!!」

這個問題問得真好,我們也來幫愚公算算好了!

首先,我們得先弄清楚愚公的身世。在《列子‧湯問篇》中記有詳細的故事,藉此我們可推知,愚公應該是西周時期的人(因為《列子》內大都記載西周時期的故事),其中第一句就點出了地點:「太行、王屋二山,方七百里,高萬仞,本在冀州之南,河陽之北」為了方便計算,我們姑且只取太行一山來算吧!(光是一座就要搬超久了)

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現今的資料中,太行山最高峰為 2882 公尺的小五台山,我們先將它化作 2970 公尺以利計算,但太行山畢竟是「山脈」,而不是單一山峰的山,因此我們暫時將此山假設成高為 2970 公尺的正四角錐。

至於人的壽命,雖說資料顯示西周人平均 23 歲,但那是因為幼兒死亡率過高的關係,我們且看愚公家傳了四代,愚公都 90 幾歲了,而春秋時期的孔子也活到了 70 歲,這不正代表著長壽的人大有人在?因此,我們把平均年齡設為 65 歲,而生育率從原來 9 個,縮減成 7 個。(平均死亡兩個幼兒)

以下是歸納出的條件:

山為正四角錐
山高為2970m
樹底面積 9×10-2m2

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幼年人一天搬 1 m3的土,搬 10 年 (5歲到15歲)
壯年人一天搬 3 m3的土,搬 30 年 (15歲到45歲)
老年人一天搬 2 m3的土,搬 20 年 (45歲到65歲)

平均壽命 65 歲
人平均在 23 歲生孩子
一個人平均生7個

每棵樹需要燃燒 1 小時(hr)

1.焚林

山的四面都有樹

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樹的分布如下:

頂端一棵
第二層有8 棵(每面2棵,2×4=8)
第三層有12 棵(每面3棵,3×4=12)
.
.
.

第 n 層有 4n 棵(每面n棵,n×4=4n)

山的底邊=a

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a2=29702+((√2/2)×a)2
解a≈4200m

山的側面積=42002×√3(四面)

容納=(山的側面積/樹的底面積)=(42002×√3)/ 9×10-2=339481958.3棵

1+4×(2+3+……+n)=1+4×((n+2)(n-1)/2)=339481958.3
解n≈13038

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一棵樹燃燒需要 1 hr,且火勢會蔓延
假設同一層的樹在同一小時內同步燒完
所以燒了 13038小時
相當於 13038÷24÷365≈1.5年
焚林花了1.5年

2 .移山

人一生搬了1×10×365+3×30×365+2×20×365=51100 m3的土
山的體積=42002×2970×1/3≈1.7×1010
一共花了 1.7×1010÷51100=332681.0176≈3.3×105 個人力

假設到 m+1 代的人挖完 (或還有剩,但不需用上所有m+2代的人力)

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70+71+72+73+…..+7m<=3.3×105 個人力
得 m=6

70+71+72+73+…..+7m=137257個人<=3.3×105 個人力

故到第 7 代尚未挖完

共搬了 137257×51100≈7×109
剩下 1.7×1010-7×109=1×1010

第 8 代共有77個

1×1010÷77=12142.65679(平均每人搬)

1×10×365(幼年人搬的土)<12142.65679

設壯年搬了 t 年

1×10×365+t×3×365=12142.65679

得t≈8

第8代的人共搬了 15+8=23年

一代的間隔23年

注意當第n代結束後的四年,第 n+2 代剛好滿 23 歲

65+23×(5)+4=184
184+1.5=185.5年

所以共移了185.5年,也就是傳到第 8 代

西周始於西元前 1111 年,滅於前 770 年,如果愚公幸運地生在西周前期,挖山的工程應該能在安定且鼎盛的西周中期結束,但如果他生在中、後期,他的子孫可能就要飽受外族入侵之苦了(西元前771年犬戎入侵,隔年西周滅亡)

§ § §

回到愚公和智叟這邊,正當愚公不知如何應對之際,他那七歲的小曾孫突然朝著他們衝了過來,「曾祖父!曾祖父!我告訴你喔!只要185年又半載就能把山搬走了!」愚公驚訝萬分,趕緊問道:「乖孫啊!這麼大的數字你是怎麼算出來的?」「這不是我算的,是那兒有個奇怪的人告訴我的,他身上的衣服好奇怪喔!而且……」這麼一聽,愚公不禁欣慰地想:「這莫非是神明下凡指點? 看來我得更專注於挖山的事情上了。」想著,便牽起小曾孫,往前頭的山爬了上去,只留下仍搞不清楚狀況的智叟,愣在原地……

噓!可別透露出我的身分啊!

更多2019數感盃青少年寫作競賽內容,歡迎參考 2019數感盃特輯、數感實驗室官網及粉絲頁喔。

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文章難易度
數感實驗室_96
76 篇文章 ・ 55 位粉絲
數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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不是不會髒,而是更難沾:耐污馬桶的表面科學
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2026/09/22 ・3364字 ・閱讀時間約 7 分鐘

本文與 Panasonic 合作,泛科學撰文 

●以下科學研究內容作為知識分享,不直接與Panasonic A La Uno全自動洗淨馬桶產品功能連結

在做家務的痛苦排行榜上,「刷馬桶」絕對名列前茅。明明天天都在沖水,但過不了幾天,馬桶內壁邊角總會浮現黃黃的水垢、角落發黑的霉斑,甚至是那些刷掉又長出來的粉紅色污垢(黏質沙雷氏菌)。

許多市售衛浴設備常標榜「神奇抗污」或「永久不沾」,讓人誤以為安裝後便能永保潔淨。然而從材料科學的角度來看,世上並無能使污垢憑空消失的魔法。所謂「耐污」的實質機制,並非打造完全不沾染髒污的材質,而是調整表面的物理與化學屬性,使水垢和微生物難以強力附著。一旦降低了污垢與內壁之間的附著力,透過日常水流沖刷,便能輕易地將髒污帶走。

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為什麼污垢「黏不住」? 

要搞懂為什麼某些特殊表面能做到「耐污」,我們得先像偵探一樣,拆解馬桶裡的髒污究竟是怎麼「抓緊」材料表面的。馬桶內壁的污垢主要有兩大難纏的元兇:

  1. 水垢與礦物沉積*1:我們日常使用的自來水中含有鈣、鎂等金屬離子。當水滴在表面經歷反覆的濕潤與蒸發乾燥循環時,這些離子會逐漸結晶析出,變成硬度極高、緊緊「卡」在微觀縫隙裡的礦物質水垢。
  2. 生物膜與有機物*2:包含尿液中的無機鹽、油脂殘留,以及細菌入侵後分泌出像超強膠水一般的聚合物,所組成的黏滑防禦大本營。
關鍵不是沖水,而是「這些污垢如何抓住表面」

這兩大類污垢想要在材料上「落腳」,前提是它們必須能在表面找到足夠的附著點與黏合力。那麼,材料科學家是如何讓這些髒污「站不穩」的呢?答案就藏在「表面能(Surface Energy)」與「濕潤性(Wettability)」這兩個核心概念中。

當我們把水滴在某個表面上時,水滴會聚成一顆圓滾滾的水珠,還是迅速攤平開來?這取決於表面的特性:

  • 疏水路線(Hydrophobic)*1:具備低表面能的疏水表面,能顯著減少水分子或污染物與表面之間的極性作用力與氫鍵。水滴在這種表面上會因為表面張力而收縮成水珠,當水珠滾動滑落時,就能順便把表面的灰塵與礦物質顆粒帶走,這就是著名的「自清潔效應」。
  • 親水路線(Hydrophilic / Superhydrophilic)*2:相反地,極度親水的超親水表面則會強烈地吸引水分子,在材料最外層形成一層薄薄的「水化層(Hydration Layer)」。這層水化層就像是實體的液體盾牌,讓油污、蛋白質或細菌無法直接接觸到材料基底,只能漂浮在水膜上方。

如果要用攀岩來比喻:傳統粗糙的表面就像是有許多凹槽的攀岩牆,髒污就像攀岩者,需要找到落腳點並用力撐住才能攀附;而我們做的是抽掉把手點,或是在把手上塗上潤滑油,讓髒污找不到施力點,自然難以停留。

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材料科學的核心:想辦法讓污垢「抓不住」

不給細菌「握手」的機會

解決了水垢,下一個更棘手的對手是「細菌」。

馬桶內壁那些黑黑粉粉、摸起來滑滑的污垢,在微生物學中被稱為「生物膜(Biofilm)」。細菌並不是孤立生長的,當單顆細菌落在表面後,如果覺得環境舒適,它就會開始分泌胞外聚合物(EPS),這是一種天然的超強膠水。細菌們用這種膠水把自己與同伴緊緊黏在一起,並築起堅固的防禦堡壘,這時一般的沖水就很難把它們沖洗乾淨了。

根據《Nature Communications》與《Microsystems & Nanoengineering》的學術期刊研究指出,要阻止生物膜形成,除了化學上的抗菌,材料的「表面微幾何結構」扮演了至關重要的角色。

材料科學領域中有一個著名的「附著點理論(Attachment Point Theory)」:

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  1. 粗糙與微孔洞表面:如果材料表面存在許多微小的裂縫、氣孔或微米級凹洞,細菌(體積通常約 1 到 3 微米)就會興高采烈地鑽進這些小凹槽裡。這些凹槽不僅提供了極佳的機械咬合支點,還能幫細菌擋掉水流的沖刷。
  2. 極致平滑與微結構表面:相反地,如果材料表面做到極致平滑,完全沒有微米級的缺陷;或者反過來設計出尺寸遠小於細菌的奈米結構,細菌的足跡構造(如鞭毛或纖毛)就無法在表面找到穩固的「接觸附著點(Contact Points)」。

當細菌發現自己在這個表面上連「手都握不緊」、隨時會被水流吹走時,它就無法順利定殖並分泌膠水築巢。此外,現代衛浴結構在設計時,也越來越強調「一體成形」與「無接縫工藝」。消除接縫與死角,等於直接拔除了細菌與水垢最喜歡的避風港。

阻止細菌、生物膜找不到「落腳點」

當材料、結構與流體科技組隊聯防 

了解了材料化學與微觀幾何,我們就能勾勒出一座現代耐污馬桶的完整防禦體系:【材料層(低附著力)】+【結構層(無縫平滑)】+【動態流體層(泡沫與水流剪切力)】= 高效清潔!

以市面上備受矚目的 Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶為例,就是將材料科學、結構工程與流體力學發揮到極致的典型代表:

1. 材料層:有機玻璃系新素材

A La Uno 全自動洗淨馬桶採新開發的「有機玻璃系新素材」(以壓克力高分子為基礎研發的衛浴專用材料,這類高分子成形技術亦被廣泛運用於大型水族館高壓觀景窗與飛機機艙罩)。這種材料表面具備極佳的疏水性與耐水垢特性,水滴不易長時間攤平停留;材質堅固、不易破裂,耐刮、不易造成細小傷痕。通過實驗測試,這種素材配合泡沫洗淨,在沖洗後能有效沖刷掉高達 99.99% 的大腸桿菌,從源頭阻斷細菌定殖。

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2. 結構層:無接縫工藝與三重防濺防護

在宏觀結構上,A La Uno 全自動洗淨馬桶採用無水箱沖水與便器、溫水洗淨便座一體成型設計,減少傳統水箱與座體之間的結構層次及接縫,並搭配可動迴轉式排水系統完成沖洗。更貼心的是其「三重防護」設計:

  • 泡沫防護:在水面上製造一層充沛的泡沫緩衝層,有效抑制男性站立小便時的尿液與污水飛濺;
  • 外圍防護:馬桶邊界特別設計了高約 3mm 的水檔,防止液體延著外壁滴落至地板;
  • 測漏防護:便座與馬桶本體採用不外露的防護設計,避免液體從縫隙飛濺滲漏。
Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶

3. 動態流體層:雙效泡沫洗淨、漩渦水流與 nanoe™ X

當污垢降落在馬桶內壁時,A La Uno全自動洗淨馬桶 的動態流體科技便接手進行徹底打掃。其「雙效泡沫洗淨」會先釋放直徑約 5mm 的「毫米泡沫」包裹並帶走大塊髒污,再透過直徑約 60微米的「微米泡沫」深入微觀縫隙,徹底溶解殘餘的油脂與細微污垢。接著,配合高度清潔力的「漩渦型強力水流」,利用旋轉產生的流體剪切力,一口氣將附著力已被削弱的污垢剝離並沖走。此外,Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶還搭襯了 nanoe™ X 健康科技,釋放氫氧離子有效抑制異味與髒污,維持空氣與內壁的良好衛生狀態。

科技讓生活變輕鬆,但物理法則依然誠實

從材料化學的低表面能設計,到微觀幾何的附著點控制,再到流體力學的水流沖刷,一座現代抗污馬桶的演進,縮影了人類如何運用基礎科學來解決日常生活痛點的智慧。

我們習慣將衛生清潔想像成一場與細菌髒污的硬碰硬死鬥。然而,A La Uno全自動洗淨馬桶 等現代衛浴技術的突破,展示了材料科學的另一種聰明思維:不靠強酸強鹼硬打,而是透過物理與化學邏輯,將「污垢固著」的機率降到最低。

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當材料科學與現代衛浴技術結合,刷馬桶不再是一件令人頭痛的辛苦瑣事。透過這些前沿科技的加持,我們得以從繁重的家務勞動中解放,享受更加乾淨、舒適且有品質的日常生活。

*1 參考論文:A metallic anti-biofouling surface with a hierarchical topography containing nanostructures on curved micro-riblets

*2 參考論文:Brushing up functional materials

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