卡普雷卡爾常數——名為「6174」的數學黑洞

黑洞是目前宇宙中最神秘的存在,有無限的引力,一旦經過被吸入就永遠出不來。你知道數學的計算也可以嗎?⠀⠀

以你的生日星球做為起站

數感宇宙的星球編號是從 0001~9999。NUMNUM 於 3 月 14 日誕生,今天他便從 0314 星球出發,據說只要按照某個特殊的步驟前往不同星球,就會抵達傳說中變成黑洞的特殊星球,再也離不開那裡。

步驟是這樣的:

  1. 將目前的星球號碼「位數」重新排列,分別排出最大的數(位數的數字由大到小)與最小的數(位數的數字由小到大)。比方說,0314 重排後,可以得到的最大數字是 4310,最小的數字是 0134。
  2. 將最大數減去最小數,得到一個新的數字,例如 4310 – 0134 = 4176。
  3. 反覆前兩個步驟。

NUMNUM 下一個停靠的是 4176 星球,再下一站 7641 – 1467 = 6174。

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接下來就再也出不去了。因為 7641 – 1467 = 6174。

同樣的步驟,只會讓我們繼續被困在 6174。而這裡,就是數學黑洞。

不信的話,可以換用你的生日做為起點,或是隨便再拿幾個數字來算算看。都會有一樣的結果。事實上呢,早有人真的把所有的四位數都驗證過,發現除了 1111、2222、3333…9999 能逃過一劫,其他所有的 4 位數都會被吸入名為 6174 的黑洞中。

事實上,不只是 4 位數,找個 3 位數,比方 520
520 – 025 = 495
954 – 459 = 495

嗯,好像有點既視感,如果換成 314
431 – 134 = 297
972 – 279 = 693
963 – 369 = 594
954 – 459 = 495

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果然,又有一個名為 495 的小黑洞在 3 位數的數感宇宙中等著我們。

你可以再試試看,其他不同的位數宇宙,也有類似的黑洞嗎?

無法抵擋的魅力

如此簡單的規則,如此簡單的計算,卻造就出這麼不凡的結果。6174 是由印度的一位老師發現的。這位老師的興趣就是觀察、把玩數字,他曾說過:「醉漢喝起酒來會一杯接著一杯,不醉不休。對我來說,數字就是我的酒。

1949 年,他在印度的一場數學會議上,分享了 6174 的奧妙。儘管當時沒得到太多注意,但「不管怎麼算都會卡在 6174」這個數學結果媲美強大迷因,在沒有社群網路的時代也迅速擴散出去,聞名全世界數學界。連美國知名的科普作家葛能登(Gardner)也在《科學人》雜誌上讚頌此數的神奇。

因此,6174 便以這位老師命名,也就是我們文章開頭的太空站之名——卡普雷卡爾常數

卡普雷卡爾常數是個非常神奇的數字,不只背後的原理很奇妙,人們也好奇起「最多要走幾次才能抵達 6174」,然後把每個數字走的步數用顏色表示,畫出一幅畫,結果發現圖畫中有著美麗的對稱與規律。而當有人發現最多需要走 7 步,剛好跟 7 個音階相同時,又有把它拿來譜成一首曲子。

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進到 6174 黑洞中,裡面不是一片黑暗,而是更多有趣的數學等著探索。現在,換你來走一趟 6174 啦!

印度數學家卡普雷卡爾(D. R. Kaprekar)發現了 6174 這組數字的奧妙。圖/Alchetron
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數感實驗室

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