一票也是關鍵！從權力指數看投票的影響力——《生而為人的13堂數學課》

• 作者／ 蘇宇瑞
• 原文作者／ Francis Su
• 譯者／ 畢馨云

權力指數是能夠量化的

政治體系中的權力影響到我們的日常生活，所以數學家與政治科學家已經發展出量化權力的模型，應該就不令人意外了。夏普力―舒比克權力指數（Shapley-Shubik power index）就是這樣的模型。

假設你有一個100人組成的決策團體，分成A組（50人）、B組（49人）、C組（僅1人）。為了通過某項法案，需要51人贊成，但由三組人馬共同投票。如果仔細想想，C組儘管只有1人，但對結果有可能產生相當大的影響。

美國在2017年就發生過這種情況，在50位參議員聲稱會反對廢除，49位聲稱會贊成廢除之後，參議員約翰．馬侃（John McCain）的一票保住了歐巴馬總統的健保法案。

量化這種影響的方法之一，是想像各組投票人按某種順序走進房間，然後形成一個不斷變大的聯盟；當這個聯盟的大小剛好大到通過一項法案，我們就稱進入房間的這個投票組為關鍵組。一個投票組的夏普力―舒比克指數，就是讓那一組成為關鍵組的排序分數。

關鍵組的影響

在我們的例子中，三組有六種排序：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA（關鍵組以粗體字表示）。舉例來說，A組在四種排序中是關鍵組，包括BAC（因為B組自己沒有51票）與BCA（因為B、C兩組加起來沒有51票）。

B組只有在ABC中是關鍵組，而C組只有在ACB中是關鍵組。因此，A組的夏普力―舒比克指數是4/6，B組是1/6，C組也是1/6。根據這種衡量權力的標準，C組裡的1人執掌的權力跟B組裡的49人合起來的權力一樣大。

如果A組有48人，B組有49人，C組有3人，三個組的權力指數會變成多少？請試一試。在分析2017年發生的事情時，如果你想把蘇珊．柯林斯（Susan Collins）、麗莎．穆考斯基（Lisa Murkowski）、馬侃三位共和黨參議員視為一個聯盟，在進行表決時未配合黨團投票廢除健保法案，這就會是另一種分析方式。

艾倫．泰勒（Alan Taylor）和艾莉森．帕切里（Allison Pacelli）在他們合著的《數學與政治》（Mathematics and Politics）一書中，分析美國總統（在包括眾議院和參議院的聯邦體系中）的權力，發現大約是16%。你也會在書裡看到關於其他國家政治體系及其他權力概念的討論。^a

註釋

a. Alan D. Taylor and Allison M. Pacelli, Mathematics and Politics: Strategy, Voting, Power, and Proof (New York: Springer, 2009). 三組分別有49人、50人與1人的例子，出現在另一本書中：Steven Brams, Game Theory and Politics (New York: Free Press, 1975)，頁158–64。