發現混沌系統：龐加萊誕辰│科學史上的今天：4/29

從十九世紀末到二十世紀初的世紀交替之際，出現許多極具天賦之科學家，造就現代科學的風起雲湧。其中法國數學龐加萊（或譯龐卡赫）是個異數，不但在代數、數論、微分方程、幾何、拓樸學等不同領域都做出開創性的成果，又能思考其物理意義而提出超越時代的深刻洞見，是難得一見的全面性天才。

龐加萊於 1887 年針對瑞典國王的懸賞而著手研究三體問題（三個天體在相互重力作用下如何運動）。他發現即使將問題簡化為其中一個天體為質量近乎零的質點，微分方程組仍太過複雜而無法求解，不過他卻成為史上最先發現混沌系統的人。混沌系統對於初始條件極為敏感，以致於「差之毫釐，失之千里」；正如他在 1908 年發表的著作《科學方法》中所寫的：

「有時初始條件的微小差異，將造成最終現象的極大改變。前者的小誤差，會造成後者極大的錯誤。預測將成為不可能的事。」

三體就是混沌系統。因此無法預測其軌道如何運行。不用等到海森堡祭出測不準原理，龐加萊就將拉普拉斯的惡魔打回原形。不過龐加萊窺見的是來自未來的理論，一直要到七、八十年後，科學家們才注意到他早就揭櫫的混沌現象而開始研究，並且仍要藉助於他的一些方法與概念。

愛因斯坦的狹義相對論是以勞倫茲轉換為基礎推演而來，然而勞倫茲轉換其實得助於龐加萊的不少貢獻。他早在 1898 年就建議應該將光速視為恆定不變，甚至在愛因斯坦發表論文之前，就闡述了類似的相對性原理，只是龐加萊的理論架構還是以以太存在為前提，才未能捷足先登。

龐加萊於 1904 年提出的「龐加萊猜想」更是高懸百年的數學難題[註]。這個猜想涉及四維空間的拓樸學，在眾多數學家試圖證明其真偽的過程中，竟也發展出物理中的弦論在處理高維空間時所需的數學工具。

龐加萊一生發表的論文近五百篇，著作三十部，幾乎涵蓋數學所有領域以及原來沒有的領域。而他跨足的物理也涵蓋廣闊，包括天體力學、流體力學、電磁學、熱力學、……等等。難怪他會被譽為繼高斯之後，對於純數學及其應用均具有全面知識之最後一人。

• 註：龐加萊猜想最後終於在 2006 年確認俄國數學家佩雷爾曼（Grigori Perelman）在 2002 至 2003 年所完成的證明正確無誤。但此人卻隱居起來，還拒領一百萬美元的獎金。

 

本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。