「無重力」就能讓人飛高高？《Princess principal》裡的 C-ball 是會讓牛頓發火的黑科技？

• 文／關旭佑

所謂無重力的奧妙之處，就是可以讓一個好像肥豬那麽重的人飛到半空之中，而且還可以叫得像殺豬一樣 。二次元世界早已實現能控制重力的黑科技，並運用在動畫中了（如下圖）。

2017 的夏季動畫佳作《Princess principal》裡，有個神奇的 C-ball 可以使重力無效化。那沒有重力的作用後真的可以如動畫中一樣，簡簡單單就飛到空中嗎？

在分析動畫中的無重力效應之前，我先簡介一下《Princess principal》的 C-ball 是啥玩意。《Princess principal》的故事發生在蒸氣機的時代，架空世界裡的阿爾比昂王國提煉出了一種可遮斷周圍重力，名為凱鉑萊¹的礦石，並利用了這種礦石成為世界霸權。但是之後的革命使得國家分裂為共和國與王國。主角們就以女高中生身分，在分裂的倫敦裡暗地進行諜報活動。

而擁有稍高科技的共和國開發出了使凱鉑萊機構微小化的裝置，稱為 C-ball。 C-ball 約大概一個手掌的大小，因此方便蘿莉間諜們出任務時攜帶。如同特務電影裡都有各種神奇的機關一樣，這 C-ball 在動畫裡不僅可以遮斷重力場，它還能充當閃光彈，煙霧彈，傳暗碼，還可以拿來分析微物跡證XD

簡短介紹完了世界觀，我們先考慮如果女主角安潔啟動 C-ball，擺脫重力的束縛後，會發生什麼事。空氣的壓力差將給安潔一個上升力，估算後這力量最多有 0.12 公斤重²，依牛頓第二運動定律

F = m x a   合力=質量 x 加速度

這樣上升力將可以產生 0.02 m/s² 的加速度，這加速度小的可憐，安潔不會明顯地飄起來。另一個也能夠讓人離開地球表面的效應是慣性。在倫敦隨地球自轉的切線速率大概是 290 m/s，這速度是很快，但跟倫敦所在的圓周半徑 3983 公里比起來，一秒鐘只會離開地球表面 1.7 公分³，即使加上剛計算的浮力效果也不過讓安潔起動 C-ball的第一秒飄起 3 公分左右。所以單單只是無重力是沒法讓人飛到半空中的，必須還要跳起來才行。

既然知道了無重力狀態下還是要施力才能飛行，那可以開始在動畫裡找碴看看有沒有不合理的地方了。 動畫第1集中的開頭，安潔一跳就在 3、4 秒鐘往上飛越了 4 層樓。如果不考慮空氣阻力的影響，那麼安潔起動 C-ball跳起之後可以視為不受力。依照牛頓第一運動定律，安潔會一直以起跳的速度等速移動，以一層樓大概 3 公尺來說，動畫中的上升速度大概是 4 m/s，這其實就約等於人類的起跳速度，看來這動畫一開始可是硬科幻啊。

而在第 3 集中有一段是安潔為了入侵而在空中戰艦上奔跑。由於已經使用了 C-ball，所以安潔沒有重量，這時候與戰艦的接觸面之間不會有作用力，因此是沒有辦法產生跑步時所需要的摩擦力的。但是戰艦本身也是利用了凱鉑萊而漂浮在空中⁴，因此不會有重量過重的問題，所以極有可能會用強度很高的鋼鐵來製作船體。身為一個 007，安潔可能已經料想到在空中戰艦上的危機，所以鞋底裡藏塊強力磁鐵也不是太奇怪。靠著磁鐵的吸引力，也能夠合理解釋為什麼安潔可以在戰艦的垂直面上奔跑了。

沒辦法用物裡解釋的現象出現在第 5 集。在追趕火車的一幕中，安潔抓著小蘿莉千世一起跳，約 0.1 秒內飛了 3 公尺，然後還無事的踩在前進的火車上。根據動畫，安潔大約只花了也是 0.1 秒的時間就加速到 30 m/s  ⁵，這樣的加速度是 300m/s²，約是重力加速度的 30 倍，人體是沒辦法承受的。而且安潔還拎著千世，從

F = m x a

千世雖然小隻但也應該超過 30 公斤，這樣計算後，安潔得用出一公噸重以上的力量拉著她才行，這除非安潔是生化人還是魔鬼終結者啥的，不然是不可能。（大河內⁶這該不會是你埋的梗正在等二期爆炸吧）

因此根據分析，C-ball 只可以讓人飄飄然。而《Princess principal》裡除了小部分以外，關於無重力下運動的描寫還算是滿合理。（牛頓可安心繼續睡覺）

註解：

1. 凱鉑萊出處為 H.G.Wells 1901 年的小說《The First Men in the Moon》（編按：裡面出現了反重力物質叫 cavorite ）
2. 我們不清楚凱鉑萊的作用範圍，但以動畫中的畫面，可以推測出這個範圍約有 2 公尺。如下圖，假設在綠球的空間內無重力，而外部重力加速度為 g，那麼綠球外頂部 A 點的壓力如果是 P，則底部 B 點壓力將為 P+ρgH （ρ 為氣體密度，g 為重力加速度，H 為高度差 2 公尺）。而綠球內外的空氣互相碰撞，因此球內部空氣壓力差的最大值就是A與B的壓力差 ρgH，這壓力差作用在身高158公分安潔的截面積上，造成的上升力 F = ρx g x H x A ≈ ρ x g x 1.5V，V 是安潔的體積。安潔的身高約 158 公分，標準體重約 50 kg。依人體密度 1.07g/cm³，空氣密度 1.2kg/m³來算，V約為 0.047 m³。
   這樣可算出上升力最大約為 0.12 公斤重。
3. 在倫敦隨地球自轉的切線速度將是赤道的切線速度乘以緯度 q 的餘弦（如下左示意圖）。赤道的切線速度約為 465 m/s，安潔所在位置倫敦北緯 51 度，可算出在倫敦切線速度為 290 m/s
   
   因為失去重力後，人沒有作圓周運動所需的向心力，所以會依當時的速度作等速直線運動（牛頓第一運動定律）。所以從北極往下看（如上右示意圖），在一秒鐘內會飛過藍色箭頭的距離，這與地球表面將有紅色線段的高度差。而一秒中地球轉過的角度 φ將是360/（24x60x60）=1/240 度，這是一個很小的角度。所以紅色線段長可近似為 = R/（cosφ） – R = 1.7 cm
4. 奇怪的是在動畫中，戰艦內看起來好像有重力。
5. 動畫中這一幕瞬間就過了，利用軟體計時後可以看出 0.1 秒大約跳起了兩個安潔的身高，約 3 公尺，因此算出 30 m/s的速度。
6. 本作（前十集）編劇為大河內一樓，以不按牌理出牌的無法預測的故事展開聞名，因此他的作品中有不少神作，但也有爆炸的作品（雖然有一些其實是背了黑鍋 XD）。總而言之大河內還是可以相信的。

本文轉載自《物理雙月刊》〈動畫Princess Principal 裡的無重力球Cball真能讓人飛高高嗎?〉