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以程式人的想法為「油價公式」除錯

程式人雜誌
・2013/06/13 ・3781字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 556 ・八年級

文 / 陳鍾誠 (國立金門大學資工系助理教授)


近來、每當中油油價要調漲時,很多新聞都會報導或批評,例如我們常常會聽到以下說法:

「甚麼都漲、就是薪水不漲」

等等的抱怨。

但是、您瞭解中油油價調漲的基準與方式是甚麼嗎?其中是否藏有某些您不知道的秘密呢?

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在本文中,我們將透過「程式人的專業角度」,為您解讀油價公式內所隱藏的秘密!

但是在此之前,先讓我們介紹一下這個祕密背後所需要的「數學背景」。

遞歸關係

在「資訊類科系」(Computer Science) 的課程當中,「離散數學」(Discrete Mathematics) 是一們重要的數學課, 其中有個「遞歸關係式」 (Recurrence Equation) 的數學函數,可以用來計算程式 (或演算法) 的執行效能, 但是在本文中,我們將改用「遞歸關係」來為「中油的油價公式」進行除錯,證明「中油的油價公式會造成幾何暴漲」。

首先讓我們來看看甚麼是「遞歸關係」,先從一個比較簡單的例子開始:

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問題 1. 假如有隻母雞,從成年開始他每天下一個蛋,那麼在成年後第 n 天他總共下了幾個蛋呢?

解答:關於這個問題,答案非常簡單,很多人一看就知道是 n 個蛋了。

但是讓我們姑且用遞歸關係來寫出這個問題的數學式:

T(n) = T(n-1) + 1
T(1) = 1

為了求解這樣的算式,我們可以將 n 代入 1, 2, 3, ….,然後列表如下:

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T(1) = 1
T(2) = T(1) + 1
T(3) = T(2) + 1
T(4) = T(3) + 1
…..
T(n) = T(n-1) + 1

於是、您可以透過由上而下的計算方式,算出這個「遞歸關係」的解答,如下所示:

T(2) = T(1) + 1 = 1 + 1 = 2
T(3) = T(2) + 1 = 2 + 1 = 3
T(4) = T(3) + 1 = 3 + 1 = 4
….

很直覺的,您應該會猜測 T(n) 的解答就是 n,這個猜測是沒錯的!

上述遞歸關係的解答 T(n) 是個線性函數,也就是國中課程當中所說的「算術級數」。

接著、讓我們再來看看一種會造成「幾何級數」的遞歸關係,同樣的,讓我們先看看下列問題:

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問題 2. 假如培養皿中有隻細菌、該細菌每分鐘分裂一次,請問在第 n 分鐘的時候,共有幾隻細菌?

解答:我們可以將這個問題寫成以下的遞歸關係:

T(n) = 2 * T(n-1)
T(0) = 1

於是我們可以列出前幾項的結果如下:

T(0) = 1
T(1) = 2*T(0) = 2 * 1 = 2
T(2) = 2*T(1) = 2 * 2 = 4
T(3) = 2*T(2) = 2 * 4 = 8
….

如果您觀察一下上述列表,可能會猜測 ,這個猜測也是對的,這類的函數稱為幾何級數。

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著名的社會學家「馬爾薩斯」就在其名著「人口論」當中,提出了一個「廣為人知」的論點,其推論如下:

糧食的增長函數是算術級數,而人口的增長函數是幾何幾數,幾何級數後期的增長會遠超過算術級數, 因此糧食最後必然會不足,於是「饑荒、戰爭與大規模的疾病」將會是不可避免的結果。

另外、電腦在表示數字的時候,由於採用固定位元數的方式,因此都會有一些誤差,特別是像π這類的 無理數,更是無法用電腦精確表示,這些誤差如果經過某些遞歸關係放大之後,很可能會造成「差之毫釐、 失之千里」的結果。這類誤差放大的研究,甚至導致了學術上「混沌理論」的重要進展!

中油的油價調漲公式

那麼、這些結果與中油的油價公式有何關係呢?讓我們來看看中油的油價,是如何調整的,在中油的 國內汽、柴油浮動油價調整機制作業原則 這份 PDF 文件當中,有一段令人難以解讀的中文如下:

  • 一、 調價指標:Platts報導之 Dubai 及 Brent均價,分別以70 %及30%權重計算(70 % Dubai +30% Brent),取小數二位,採四捨五入。
  • 二、 調價幅度:每週(週一至週五)調價幅度取「調價指標當週均價乘以當週匯率均價與調價指標前週均價乘以前週匯率均價比較」之80%變動幅度計算,取小數二位,採四捨五入。
  • 三、 調價金額:(一)依「92 無鉛汽油及高級柴油還原依機制計算應調整價格之稅前批售價格」乘以「調價幅度」,分別計算 92無鉛汽油及高級柴油稅前批售價格,再加上稅費換算 零售價(取小數一位,採四捨五入),據以計算調價金額。

由於這段話實在令人難懂,所以讓我們稍為進行一下數學定義,以數學的方式解讀這段「自然語言」,解讀前首先讓我們定義幾個變數:

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  • P = 本期價格 = P(t)
  • P’ = 上期價格 = P(t-1)
  • C = 本期國際均價 = C(t)
  • C’ = 上期國際均價 = C(t-1)

以上的的國際均價 C 即為第一項所稱之調價指標。根據上述定義,則調價幅度的數學式解讀如下:

(P-P’)/P’ = (C -C’)/C’ * 0.8

也就是

調價幅度 = (本期價格 P – 上期價格 P’)/上期價格 P’ = (當期調價指標 C – 前期調價指標 C’)/前期調價指標 C’ * 80%

將上述數學式移項調整一下,可得下列數學式:

P = P’ + P’ * (C-C’)/C’ * 0.8

假如那段「令人難以解讀的中文」之數學式真的如以上所解讀的,那麼我們就可以透過電腦計算油價,並且可以進行模擬。

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以程式模擬漲跌過程

於是我寫了一個簡單的 C 語言程式以模擬整個油價的調整過程,在程式中我們讓油價以正弦函數 2 + sin(i) 的方式震盪, 這個正弦函數是一個必然介於 1 到 3 之間的函數。但是、模擬的結果肯定會讓人嚇一大跳:

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double gen(int n) {
doubl p=1.0, p1=1.0, c=1.0, c1=1.0;
int t;
for (t=1; t<=n; t++) {
c = 2.0+sin(t);
p = ((c-c1)/c1)*0.8*p1 + p1;
printf(“t=%d : c=%6.2f p=%6.2f\n”, t, c, p);
c1 = c;
p1 = p;
}
}

int main() {
gen(1000);
}

雖然在模擬過程當中,國際油價始終在 1 元到 3 元之間震盪,但是經過了很多期之後,整個國內油價還是暴漲, 從最初 2.47 元 (比國際油價 2.84 元還低),到 500 期時上漲到 397.04 元 (此時國際油價為 1.53 元),然後 到了 1000 期時更暴漲到 174551.80 元 (十七萬四千多元,此時國際油價為 2.83 元)。

執行方法與指令

D:\Dropbox\Public\pmag\201307\code>gcc oil.c -o oil

D:\Dropbox\Public\pmag\201307\code>oil > oil.lst

執行結果摘錄

t=1 : c= 2.84 p= 2.47
t=2 : c= 2.91 p= 2.52
t=3 : c= 2.14 p= 1.99
t=4 : c= 1.24 p= 1.32
t=5 : c= 1.04 p= 1.15
t=6 : c= 1.72 p= 1.75
t=7 : c= 2.66 p= 2.51
t=8 : c= 2.99 p= 2.76
t=9 : c= 2.41 p= 2.34
t=10 : c= 1.46 p= 1.59

t=500 : c= 1.53 p=397.04
t=501 : c= 1.00 p=287.44
t=502 : c= 1.39 p=376.22
t=503 : c= 2.34 p=581.21
t=504 : c= 2.97 p=707.73
t=505 : c= 2.71 p=658.28
t=506 : c= 1.80 p=480.40
t=507 : c= 1.07 p=324.10
t=508 : c= 1.19 p=354.96
t=509 : c= 2.06 p=561.54
t=510 : c= 2.87 p=738.31

t=990 : c= 1.61 p=98834.43
t=991 : c= 1.01 p=69539.87
t=992 : c= 1.32 p=86448.98
t=993 : c= 2.25 p=135085.66
t=994 : c= 2.95 p=168513.04
t=995 : c= 2.77 p=160415.99
t=996 : c= 1.89 p=119299.47
t=997 : c= 1.10 p=79653.27
t=998 : c= 1.14 p=82110.42
t=999 : c= 1.97 p=129690.29
t=1000 : c= 2.83 p=174551.80

油價公式的問題

這個模擬過程告訴我們,中油的油價調整公式的設計,會有某種誤差放大效果,而且這種放大效果並非上下一致的,而是向上放大的情況較嚴重,這與達爾文進化論中的「適者生存、而且會產生更多後代」 有點類似,都是一種隨機性的幾何上漲的過程,因此才會造成後期的暴漲。

這個現象並非我所發現的,而是我在 MR. OTTER 在「歐特先生本性難移」網誌的 中油油價公式,創造永遠跌不回去的油價 一文中所看到的, 我只是將該文用程式人的方式重新解讀一遍而已!

透過這個油價的範例,相信您應該可以看到「遞歸運算式」千變萬化的一面,在設計制度時也會更小心一些, 以免不小心落入幾何暴漲的陷阱,造成毀滅性的災難啊!

疑問與解決辦法

在上述的油價調整公式之設計中,調價幅度以 80% 計算,似乎是為了讓油價不要太快上漲或下跌,以免衝擊太大,但事實上這個方式反而是造成油價暴漲的元凶,如果將調價幅度改以 100% 計算,反而不容易有暴漲的問題。

為甚麼呢?讓我們舉一個簡單的例子,假設有某次波動,漲跌各一次,先漲了 100% 再跌了 50%,這時價格應該是 200% * 50% = 2 * 0.5 = 1, 也就是價格會回到原點,但是如果我們將調價幅度以 80% 計算,那麼就會變成 1.8 * 0.6 = 1.08,並沒有回到原價,而是漲了 8%,所以 這個看來是好意的 80% 調價幅度,其實隱藏了爆漲的種子,一但經過很多輪的漲跌之後,就可能造成國際價格不變,但國內價格卻漲翻天的情況。

不過如果國際油價是一路慢慢上漲或下跌,而沒有震盪情況的話,那麼中油油價只會一路慢慢跟隨,而不會有漲翻天的情況!

但是、這個公式每週都至少用一次,那從開始實施浮動油價之後,應該也有幾百次的調整了,那麼為何一直沒有發現暴漲現象呢? 這個問題根據我的猜測,很可能是因為 國內汽、柴油浮動油價調整機制作業原則 這份 PDF 文件的後半部,還有一條重要的規定如下:

  • 七、各週調整後 92無鉛汽油、高級柴油零售價換算稅前批售價格,以亞鄰競爭國(日本、韓國、香港、新加坡)當週稅前價之最低價做為浮動油價調整的上限。

由於被這個第七條壓住了,所以油價並沒有暴漲,但是這樣的做法顯然很沒道理,先設計一個有問題會暴漲的公式,然後再用一個額外的規定壓住它,這真的是非常奇怪不合理的想法!

事實上,採用「遞歸數學式」有時很難控制得很好,如果真的要只是要緩和上漲與下跌的幅度,那不如採用「移動平均線」的方式,例如根據 前 5 期國際油價平均值,加上一定比例的利潤率 (例如 5%) 做為油價,就不會有這種幾何暴漲的現象了。

如果用數學表示這種鎖定國際油價移動平均線的方法,可以用下列「沒有遞歸」的數學式表示:

P(t) = 1.05 * [C(t-1)+C(t-2)+C(t-3)+C(t-4)+C(t-5)] / 5

由於上述算式的右端沒有 P(t-1) 之類的函數存在,而且 C(t-i) 的計算也與國內油價 P(t) 無關,如此就不會因為「回饋效應」而造成幾何暴漲了!

當然,假如我們對上述 國內汽、柴油浮動油價調整機制作業原則 的「中文」理解錯誤的話,那本文的推論就可能是錯誤的。因此我們希望中油 與相關單位能夠澄清一下,最好能將該文的「遞歸數學式」寫出來,讓大家都能看得更清楚明白啊!

參考文獻

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快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

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連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

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在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

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地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

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地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

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許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

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地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

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此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

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