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為什麼A4的紙張邊長比是根號2呢?──《數學好有事》

圖/wikipedia

學校教過的數學課程中最讓人印象深刻的,可能是畢氏定理

這個定理是:取一直角三角形,以直角的兩邊(股)為邊長各畫一正方形,則這兩個正方形的面積總和,會等於第三邊(斜邊)畫出的正方形面積。邊長為 a 的正方形,√2面積是 a×a = a²。如果這個直角三角形的邊長為 a、b、c,且 c 是最長邊,那麼畢氏定理得出的結果是:

a²+ b² = c²

從這個漂亮的結果,你可以算出各種東西,包括正方形的對角線長等。正方形的對角線加上兩邊,就構成了直角三角形,如果正方形的邊長為 1,由畢氏定理可知:

1² + 1² = 2 = d²

這表示對角線的長度 d 等於√2,也就是自乘結果等於 2 的數。

圖/wikipedia

讓人有點尷尬的√2

除非你已經發覺√2有點難定出精確的數值,否則這個數沒什麼大不了的。如果拿 1.5 自乘,會得到 2.25,比 2大很多;改用 1.4,則得到 1.96,又變得太小。(1.41)2 = 1.9881,還是太小,但(1.42)2 = 2.0164 又會超過 2。

看起來無計可施,事實上也的確辦不到。√2是無理數,意思是無法寫出它所有的位數:完整的小數展開式是無窮盡的,而且沒有不斷重複出現的數字模式。

√2前面 20 位是:

1.4142135623730950488

發現無理數,可能招來殺身之禍

圖/wikipedia

簡單的正方形對角線,無意間產生了一個性質極為有趣的數。但事實上,畢達哥拉斯(Pythagoras)的門徒不太高興。畢達哥拉斯學派是西元前五世紀活躍於克羅頓(Croton,現今的義大利)的祕密幫派,除了奉行素食主義以及不吃豆類之外,他們把求知尊為道德健全生活的基石。數學是畢氏哲學的核心:據說 mathematics(數學,意為「所學習的」)及 philosophy(哲學,意為「愛好智慧」)這兩個詞是畢達哥拉斯所創,據傳,「萬物皆數」是他的座右銘。

問題是,畢氏學派所指的「數」只有整數及整數之比,也就是 ½、¼、¾ 等分數。無理數沒辦法寫成分數;事實上,這正是定義無理數的方式(如果你熟悉長除法,就可以自行驗證,任何一個分數都能表示成有限小數或循環小數)。

希帕索斯。圖/wikipedia

希帕索斯(Hippasus of Metapontum)發現有些數(譬如√2)可能是無理數,他也是畢氏學派的一員,根據(相當隱晦的)歷史證據顯示,他因此受到嚴厲的懲罰:在海上沉船淹死。應該沒幾個人因為區區一個數而丟了性命吧?

無理但不悖理

證明√2是無理數的標準證法,是數學上經常使用的論證形式的重要範例,也就是歸謬法。要證明某件事(比方說√2是無理數),你必須先做相反的假設(√2可以寫成分數),如果之後推算出矛盾的結果,就能斷定你原先的假設一定是錯的,也就證明你最初的陳述(√2是無理數)必定為真。

這是很自然的推理方法,舉例來說,你假設管家殺了人,但如此一來,管家必須同一時間出現在兩個地方,這顯然說不通,那麼你就能推論原先的假設必定是錯的,而管家是清白的。歸謬法是數學的支柱,但也可能產生令人驚訝的結果。你將在第 3 章看到更多的例子。

希帕索斯的發現只是巨大冰山的一角。隨便取一小段數線,不管多小段,都有無窮多個無理數。那些能寫成分數的有理數,可以依序排列並賦予 1、2、3 等標籤,但無理數實在太多了,根本沒辦法用同樣的方式來區隔。你在數線上隨意一戳,碰到無理數的機率是 1,而碰到有理數的機率是 0。因此就數字而言,畢氏學派完全錯了。

√2可以是好事

假如畢氏學派知道無理數多麼有用,大概就不會因為有人發現無理數而這麼不高興了。幾乎每天都會用到的例子是紙張。歐洲採用的標準紙張尺寸 A5、A4、A3 等,有個非常棒的特點,就是將兩張同尺寸的紙並排起來,即能拼成大一級的尺寸,譬如兩張A4紙能拼成一張 A3。且小一級紙張寬度(W)的兩倍,等於大一級紙張的長度,而小一級紙張的長度(L)等於大一級紙張的寬度。

A 系列紙張大小。source:Wikipedia

所有尺寸的紙張,長寬比都是一樣的,也就是:

可以改寫成:

 

意思就是:

A 系列紙張的正字標記就是每張紙的長寬比均為 √2。

為什麼這很有用?如果你希望影印機能夠把原稿縮小(或放大)一級影印,就需要此系列紙張的各個尺寸有同樣的長寬比。假如長寬比不同,縮小影印後周圍就會多出白邊。兩張同尺寸的A系列紙張可並排成大一級的紙張,代表不管你想把兩張A4還是一張A3縮小一級,都可以採用同樣的縮小倍率。

影印機還會自動計算。如果你要縮小,影印機提供的倍率是 70%,有時候是 71%,把這些數字寫成小數(70 或 71 除以 100),結果是 0.7 及 0.71,兩個數都非常接近:

這個縮小倍率,正是把一張 A3(或兩張 A4)縮小到一張 A4所需要的比例。原紙張的長度 L 與寬度 W 會縮小到 L/√2 及 W/√2,這表示新紙張的面積會變成:

就是原來的一半,且因長寬比維持不變,所以能把原來的紙張剛好縮小到 A4 的尺寸。

放大影印也是同樣的道理。影印機提供的放大倍率是 140% 或 141%,對應的數字很接近,所以可以把一張A4 放大到 A3 的尺寸。


BOX:證明√2是無理數

假設 √2 = m/n,其中的整數 m 與 n 沒有公因數(除了 1,沒有其他數可同時整除 m 和 n)。

於是:2 = m²/n²,因此:2n² = m²。

這表示 m2是偶數,m 也是偶數,因為奇數的平方永遠是奇數。所以, m 可以寫成 2k,而 k 是某個正整數。把上式中的 m 換成 2k,就得到:2n2 = m2 = 4k2

除以 2,就是:n2 = 2k2

所以 n2 也是偶數,n 也是偶數,但這產生了矛盾,因為我們一開始假設 m 與 n 沒有公因數。因此,√2不能寫成 m/n,即為無理數。

 

 

本文摘自《數學好有事》,麥田出版

 

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