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要將數學理論說到路人和女兒都能懂!——《用數學的語言看世界》導讀

如果用法語來譬喻的話,這本書不是從最初級的文法開始教的教科書,反而像是去法國旅行時能派上用場的會話書。

——〈序.送給女兒的數學〉

 

讀完序再翻回封面看書名,你大概就知道這是一本怎樣的數學書了。作者大栗博司教授是加州理工學院的理論物理學研究所所長,這是一本站在知識頂端的學者,低首寫給女兒的一本數學童話書。

圖/geralt@pixabay

有涉獵數學科普書的朋友,一定對書中某幾個數學故事不陌生:無限個房間的旅館,某天來了無限多位客人;從辛普森殺人案件中討論機率;質數在加密解密上的應用……事實上,書中所用的都是相當經典的數學故事。但看過不代表就沒意思,經典之所以是經典在於它能讓人印象深刻。也因此我們看到羅密歐與茱麗葉的故事不斷被改編,金庸小說每隔幾年就被拿上螢幕重拍一次。透過不同的詮釋,經典會被賦予不同的感受,大栗博司教授就是一位能充分發揮數學經典魅力的作家!

1900 年,德國大數學家希爾伯特(D. Hilbert)在巴黎的國際數學會議上引用了一位法國老數學家的話:

「如果你無法將一個數學理論弄清楚到可以解釋給街上任何一個人聽,那麼這個數學理論就不算完成。」

把一個很難的問題說得很複雜沒什麼了不起,只要照著網路上找到的資料唸就好;但想要用自己的語言,清楚地對他人解釋,那就需要對整個知識通盤的了解。

「差一點,差很多」的機率推理

大栗博司教授具備這樣的本事,他對每個經典的數學故事和背後理論有著透徹的認識,再表達闡述上也下過一番苦心(照他自己的說法是,專欄寫一遍,集結成冊時再重新大改一次)。例如第一章講到機率,量化可能性。在辛普森殺妻命案中,辯護團律師有這麼一段論述:

「2500 位虐待妻子的丈夫之中,只有 1 人會因此而殺了妻子。」

低到只有萬分之四的機率,因此對辛普森「既然會家暴,也可能會殺了妻子」的控訴自然不成立。

辛普森為前美式橄欖球明星、演員,其知名度使得審判成為美國歷史上最受公眾關注的刑事審判案件,至今仍有許多討論。圖/O.J.辛普森,1990 年@wikipedia

看起來相當合理,但大栗博司教授指出其中推理的重大缺陷:先看另一個事實,美國兩萬名已婚婦女中,只有1人會遭到丈夫以外的人殺害。換句話說,如果是十萬名被家暴的婦女,平均有5位會遭到丈夫以外的人殺害。但同時,因為萬分之四的機率,有40位婦女會被丈夫殺害。所以家暴殺害妻子的機率高達40/(40+5),將近 90%。

為什麼同樣的一件事從不同角度來看,機率會差這麼多? 關鍵在於辛普森妻子此刻的死活。

辯護團律師的計算過程,是建立只遭到家暴的前提。但擺在眼前的現實是她已經死亡,因此計算機率時必須將妻子遭到殺害這個事件作為前提。兩者都是在計算條件機率,只是條件有所不同,大栗博司教授的考量顯然更符合當下的狀況。

僅僅是一個條件的不同(有沒有考慮到妻子已遭他殺),就讓數據大翻轉。好比原本以為只有 1 面是六點,打開骰盅才發現有 5 面都是六點。大栗博司教授透過這個例子,讓讀者感受到精算機率的威力,也更認識條件機率。

不接受負數的數學家

我另一個喜歡本書的原因是,書中提到一些數學發展演進的過程。如果你唯一的數學讀物是課本,那麼,儘管你知道不是這樣,但還是會常常覺得數學彷彿一開始就長得跟現在一模一樣,每一條公式、定理都是數學家們信奉的真理。

「從零減去四的話,依然是零!」

這句話很荒謬吧,聽起來就像是哪個試圖在數學課跟老師唱反調的同學會說的話。但它其實是出自於法國偉大的數學家帕斯卡(B. Pascal)。帕斯卡製作了全世界第一台計算機,氣壓常用單位「百帕」以他命名,學校上課會提到的帕斯卡三角形,同樣是在指這位數學家(雖然這個三角形不是他發明的)。這麼一位天才數學家,對負數的了解真的不如一位國小學生嗎?其實不是,只是在那個時代數學知識的演進與觀念,還不足以讓數學家們接受「負」,他們覺得零就是無,不存在比無還更小的事物。

帕斯卡(1623 – 1662)法國數學家、物理學家、發明家。圖/By Français[CC BY 3.0] via Wikimedia Commons

從數學史的演進裡我們可以看到,現在被視為理所當然的數學知識,在過去可能曾經被視為錯誤,是經過許多數學家們辯證、思考後才被接受,納入數學體系。從這個角度來看,小朋友學數學時有問題再理所當然不過了,畢竟連帕斯卡都對負數感到疑惑,我們更不應該用「公式就是這樣啊」的回答去敷衍他們,是要開心於他們有自己的思辨能力,不會只因為課本這樣寫,就決定相信。

我想大栗博司教授的女兒如果問數學問題時,心裡必然也有類似的想法吧。

語言乘載思考

每當腦海裡浮現一個想法時,我們挑選適當的詞彙與句型,將想法裝入名為「語言」的容器中。不是每次都能找到完全貼合的容器,有時候會有空隙,有時候得用力擠一下才能放進去。也因為這樣,如果長期使用同一種語言作為容器,我想會反過來影響到一個人的思考。

伽利略說過「自然界的書是用數學的語言寫成」,把學校課本視為文法書,這本書視為旅遊會話書,重新以語言的角度來看待數學,活用數學。相信習慣後,你的思維也會被數學固有的特質,雕塑得更加精確,更有邏輯性。

現在,準備好閱讀這本用數學寫下的經典童話了嗎?

 

 

《用數學的語言看世界:一位博士爸爸送給女兒的數學之書,發現數學真正的趣味、價值與美》臉譜出版。

 

 

 

 

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關於作者

賴 以威

數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。
我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。

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