連發動戰爭也會選擇困難？幸好，數學家發明了「賽局理論」──《囚犯的兩難》上

潛水艇到底有多重要？

最近關於潛水艇的新聞可不少，首艘國造潛艦「海鯤號」下水典禮、中國 093 潛艇「疑似」失事、前陣子還有烏克蘭使用導彈與無人機成功襲擊俄羅斯基洛級潛艇的新聞，潛水艇的關注度一時間高了不少。

但是你一定好奇，潛水艇對國防來說，真的很重要嗎？還有，現代觀測技術那麼發達，在這些儀器的眼皮之下，潛艇真的還能保持隱形嗎？

反潛方怎麼找到藏匿海中的潛艦？

潛水艇以安靜、隱蔽著稱，有著極重要的戰略價值，不僅可以水下布雷、隱蔽投送兵力與物資；它難以被發現的特性，更是打擊水面艦的刺客，往往能讓敵人不敢越雷池一步。

當然，要造一艘能潛在水下的潛艇肯定不簡單，畢竟如果在水面下出事了，很難立即取得救援，安全的要求遠高於其他載具。另一方面，以隱蔽為最高原則的潛艦，從引擎、外型、武器到主動聲納，都需要新科技的改進，來讓自己發出的聲音降到最低。

但潛艦與反潛就像臥虎捉藏龍，如果能隨時掌握這隻水中蛟龍的動向，潛艦的威懾力就會大幅降低，甚至能將其一網打盡。因此相對地，隱蔽的技術進步時，反潛的技術也有所突破，透過光學、聲學、磁場等技術，要讓潛艦原形畢露。

既然我們知道潛艦的隱蔽性是最高考量，現在我們就站在反潛方，來看看如何抓出一艘潛水艇。
主動偵查其實跟「通訊」很像，都是傳送一個訊息到目標物，再接收傳回來的訊號。只是通訊的訊號是對方主動回傳回來的。主動偵查呢，則是訊號碰到目標物再反射回來被我們接收。沒錯，這跟蝙蝠的回聲定位很像，只是一個在水面上，一個在水裡。

為什麼水中使用的是「聲納」而非「雷達」？

現代遠距無線傳輸的方式主要有兩種，電磁波通訊與聲波通訊。在水面以上，我們通常以電磁波傳輸，因為在空氣中這麼做最有效率，因此不論是無線通訊還是手機微波訊號，多是以電磁波的形式在傳輸。
可惜這個方法到水中就不管用了，為什麼呢？電磁波穿過水的時候會因為兩個原因，讓強度快速衰減。一是電磁波容易被水吸收，二是電磁波與水分子碰撞會產生散射，舉例來說，太陽光也是電磁波的一種，而太陽光就會因為在海水中散射，而讓海看起來是藍色。

這種電磁波衰減的程度有多少呢？具體來說，在最清澈的海水中，可見光每前進 1 公尺，亮度就會衰減 4% 。如果想使用無線電通訊，以一個頻率 1000 赫茲的電磁波來說，每向前進一千碼（大約 900 公尺），訊號強度就會減少 1300 分貝。這邊說明一下，「分貝 dB 」不只是聲音音量的單位，而是可以用在各種需要表達強度比例的單位。

舉例來說，電磁波每減少 10 分貝，就意味能量減小 10 倍。在前進一千碼時減少 1300 分貝，就意味能量會衰退 10 的 130 次方倍，小到等於沒有。在實務上，通常電磁波的極限穿透距離就只有幾十到幾百公尺而已。相比之下，如果從電磁波換成低頻聲波，每一千碼的損失約為 0.01 分貝，跟電磁波相比起來可以說是幾乎沒有損失。

因此在水中，大家聽到的不會是什麼「雷達」，因為雷達（RADAR）的全名是 Radio Detection and Ranging ，是使用電磁波偵查的技術。在水裡我們用的是「聲納」，是利用聲音當傳輸訊息與探知物體的手段。

此時蝙蝠的回聲定位使漆黑水底頓時明亮起來，聲波在海裡的傳播速度約為每秒 1500 公尺，只要計算我們發出的聲波與接收到聲波的時間差，我們就能辨別物體的距離。例如我們在聲波發出後的 10 秒後接收到反彈的訊號，就代表聲波來回走了 10 秒共 1 萬 5 千公尺的距離，我們和目標物就是這個距離的一半，也就是 7 千 5 百公尺。

聲納裝載潛水艇上可以成為潛水艇的眼睛，裝在水面艦上，可以成為抓出潛水艇的掃描儀。潛水艇沒有聲納，姑且可以靠海圖小心航行，水面艦沒有聲納，面對潛水艇就只能海底撈針。

潛艦與反潛技術的發展

潛水艇在第一次世界大戰中開始展現出重要的戰略價值，其中最著名的潛艇戰就是德國的 U 艇和德國實施的「無限制潛艇戰」。當時德國的對手英國是個島國，因此便想到利用潛艦封鎖英國，無論是軍艦或商船一律擊沉，希望能拖垮英國的經濟。雖然德國最後未取得戰爭勝利，但潛水艇也確實擊沉了多艘協約國的船艦，立下的戰績是有目共睹。

有鑑於此，反潛聲納的技術由此萌芽。第一個主動式聲納在第一次世界大戰期間，被著名物理學家朗之萬發明。 1915 年，第一個潛艇探測器「ASDIC」開始在英國海軍的艦艇上被運用。 1931 年，美國也發明了潛艇偵測裝置，並稱它為「SONAR」，顯然這名字取得比較好，也成為現在最常稱呼這種技術的名稱，聲納。

至此，水面艦就像開了白眼一樣，潛水艇終於無所遁形⋯⋯真的嗎？聲納既然已經發明了百年，為何潛水艇至今似乎仍保有隱蔽優勢呢？在科技發達的現代，聲納為何還是無法抓出所有潛艇？

很可惜，事情沒有那麼簡單。當大家帶著最新科技和設備準備挑戰潛水艇這個可敬對手，卻突然被隱藏 BOSS 跳出來狠狠地打了臉，他就是：物理。

什麼是「陰影區」？潛艦能夠躲藏的位置？

讓我們回到大家都做過的實驗，準備一個透明杯子裝水，把筷子插入水中。因為光線在穿過不同介質的介面時，會因為速度改變而轉彎，所以筷子插到水杯中會出現偏折，水面上跟下呈現不同角度，看起來就像是被折彎了。

聲音跟光一樣都是「波」的一種，因此在穿過不同密度的介質時也會產生折射，路徑出現偏折。你說道理我都懂，但海裡面只有水，哪來的不同介質？

還真的有，那就是隨著經緯度與深度變化，鹽分、水溫、密度都不同的海水。鹽分、水溫、密度的升高，都會導致聲速變快。而這三者在海中的各處都不會是固定的。例如在不同深度的海水中，深度 1000 公尺內上層海域的斜溫層，當深度越深離海面越遠，海水越得不到太陽的加溫，因此海溫快速驟減，而海溫的降低也會導致聲速降低。深度超過 1000 公尺以後的深海等溫層，溫度、鹽分的變化趨緩，此時壓力會隨著深度增加而增加，海水密度開始小幅度上升，因此聲速緩慢增加。

每一層有不同聲速的海水，就等於是不同的介質，聲波會在不同層的海水之間產生折射。類似的現象也發生在空氣中。在炙熱的沙漠或是天氣熱的柏油路面，偶而會因為空氣的密度分布不均，光線在不同密度的空氣間產生偏折，出現影像在空中出現的錯覺，也就是海市蜃樓的現象。

重點來了，在海裡的折射會是怎麼樣的呢？假設我們有一艘潛的足夠深的潛艇，海面附近的聲納發出一道聲音斜向海洋深處前進，根據決定折射角度的斯乃爾定律，當聲速上升，聲音會偏離介面的法線，偏向兩個液體的交界面。在海中的實際表現，就是聲音產生偏折，漸漸與海平面平行，當偏折的角度超過 90 度，最後甚至會向上偏折，產生全反射。

而斯乃爾定律也告訴我們，偏折的程度跟入射角有關，當角度超過臨界角時，才會產生全反射。根據這些聲波行進路線畫出來的圖，可以看到一塊聲波永遠到達不了的地方，這就是陰影區（shadow zone）。如果潛艇躲藏在這個位置，那麼水面上的敵人就永遠也無法透過主動聲納發現你。

除此之外，從聲納路徑圖可以看得出來，在水中聲納走的路徑像是 U 字型一樣，會不斷在海面反射，在海中全反射。而線與線之間的空白處，是聲波不會經過的地方，也屬於陰影區。因此實際從水面偵測潛艦時，只有在碰到這些線的時候會收到該點的訊號，如果要抓出敵人，就要在獲知訊號時抓緊時間。

如何減少陰影區範圍？

為了減少這些陰影區死角的範圍，也有一些有趣但複雜的想法，例如使用拖曳式陣列聲納，一個點不夠，那我就拉一排，減少盲區。或是透過小角度的海底反射，來覆蓋近距離內的更多範圍。然而這也不會只是畫一張圖那麼簡單，平常聲納就要過濾來自自身引擎的噪音，或是因為海底等非目標物的環境反射。多一次反射，就意味會多一道訊號反射到聲納中，要如何將這些訊號區分開來，判斷哪些是海床訊號，哪些是敵艦訊號，就各憑本事。

沒錯，就算有了聲納系統還不夠，海底資訊的掌握度和後期運算更是兵家相爭的關鍵。你想想，就算你知道聲音會隨著密度轉彎，但你知道眼前海域每個深度的實際密度嗎？如果你不知道這些資料，就算接收到訊號，你真的算得出敵艦的位置嗎？

舉例來說，冬天和夏天的海溫不同，聲音偏折的角度不同，能探查的範圍與死角就不相同。當你在不同緯度，不同海域作戰時，所需要的資料也不相同。

台灣冬夏兩季分別受東北季風與西南季風吹拂，周圍又有黑潮、中國沿岸流等洋流影響，各層水溫隨季節變化影響劇烈，台灣海峽又因地形原因海流複雜，被稱為黑水溝。在此之上，能掌握好周圍的海流活動，除了能兼顧潛艦的航行安全外，也有助於提升潛艦的隱蔽性。

潛艦與反潛的無數過招？

海洋的複雜性，構成了潛艦至今仍能維持隱蔽優勢的原因。而這場臥虎捉藏龍的對決到此還沒有結束，我們只介紹了第一招，後面大概還有 99 種招式等待要過招。例如潛艦關掉主動聲納後，如何靠被動聲納安全航行並鎖定目標？

除了透過聲納，搭載磁性探測儀的反潛機怎麼從異常磁場訊號中辨別海底的金屬潛艇？又或是水面上的聲納會被全反射，那麼改變深度的話是不是就能解決了？實際上，既然在海面上聽不見，反過來把聲納放進海中，放在海水密度最低的「深海聲道通道軸」這個如同光纖般的區域，就能清楚聽到來自遠方的聲音。

諸如此類的軍事科技對弈，就像其他科技一樣，對決永遠不會結束。如果你還有那些想了解的面向，不論是潛艦或是其他軍事科技，也歡迎留言告訴我們。

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參考資料

• Fleet Oceanographic and Acoustic (RP33)
• https://www.mdpi.com/2077-1312/10/3/424
• http://stream1.cmatc.cn/pub/comet/Mar…
• https://www.nec.com/en/global/techrep…
• https://oceanservice.noaa.gov/facts/s…
• https://www.navalgazing.net/Sound-in-…

「風聲鶴唳，草木皆兵」形容疑神疑鬼、驚恐不安，典故來自歷史上著名的「肥水之戰」。當時的慘烈狀況，前秦苻堅甚至可能出現與戰爭有關的創傷後壓力症候群 PTSD 的症狀。

根據《晉書·卷一一四．苻堅載記下》和《晉書．卷七九．謝安列傳》的記載，東晉時期野心勃勃的前秦苻堅意圖征服中原，東晉太元八年（前秦建元十九年）（西元 383 年），他率領龐大的八十萬大軍逼近肥水，準備進攻東晉。

東晉派出大將謝玄和謝石帶領八萬精兵抵抗。苻堅錯誤地認為東晉兵力不足，自以為佔有優勢，計劃迅速擊敗晉軍。然而未料到謝玄巧妙運用奇襲戰術，使苻堅損失了許多重要將領和士兵。

在肥水戰前，苻堅登上壽陽城觀察晉軍的情勢，卻發現晉軍部隊整齊有序，士氣高昂，戰鬥力十分強大。他遙望八公山，發現山上長滿無數草木，隨著風吹過，那些草木地晃動就像無數士兵在移動，於是他轉身對弟弟苻融說：「你看那山上，還有那麼多實力強大的軍隊，誰說晉軍很少呢？」這顯示出他內心的憂慮和恐慌，也是「草木皆兵」的由來。

後來苻堅的軍隊在淝水一戰中遭受重大失敗，苻融壯烈戰死；苻堅本人中箭受傷，只能率領殘兵拼命逃回北方。當他們逃亡的過程中，只要聽到風聲呼嘯、飛鶴的鳴叫聲，他們都以為晉軍仍然緊追不捨，他們日夜奔逃，飢寒交迫。然而，當他們最終回到北方時，龐大的百萬大軍已經損失了七八成。逃亡的過程他們疑神疑鬼，恐懼不安，也是成語「風聲鶴唳」的由來。

看不見的敵人——戰爭壓力造成的心理創傷

我們對於 PTSD 的了解，並非一朝一夕就在醫學上產生了共識，從誤解到了解，是數百萬歸來士兵們的真實體驗。

1914 年，第一次世界大戰發生的早期， 英國遠征軍（British Expeditionary Force）發現多達 10% 的英國軍官和 4% 的士兵在戰鬥後出現一些醫學上的症狀，包括耳鳴、健忘症、頭痛、頭暈、震顫和對噪音過敏，甚至有人表現出恐慌、恐懼、逃跑，或是嚴重到無法思考推理、睡眠、行走或說話。由於這些症狀和腦部神經直接受傷類似，當時被認為是一種因中樞神經受傷而導致的精神疾病，但奇怪的是那些士兵們的頭部其實並未發現任何的外傷。

1915 年，英國醫生查爾斯·邁爾斯（Charles Myers）首次在醫學期刊柳葉刀（The Lancet）使用「彈震症」（shellshock）一詞，用來形容因為爆震衝擊而造成生理以及心理受損的士兵。

第二次世界大戰（ 1939 年至 1945 年）後，隨著對士兵出現的壓力症狀有很多的認識，醫師的診斷上開始使用戰鬥反應壓力（Combat Stress Reaction (CSR)）取代彈震症。雖然比起彈震症有了更多的了解，但醫學界們對於該症狀的出現仍不清楚。

1955 年，越戰爆發，美國總共派出 270 萬人前往越南作戰，最後高達 70 萬人需要某種形式的心理治療。

戰爭後的第二次創傷

創傷後壓力症候群 PTSD 被發現以前，已遭受精神創傷的士兵們可能需要面對社會歧視所造成的二次傷害。當時由於對彈震症的成因了解極少，有士兵因此被指控逃兵以及懦弱被送上軍事法庭，甚至因此被處決。越戰後雖然試圖重新融入社區的遭受創傷的退伍軍人數量相當驚人，但他們既無法獲得適當的治療，也無法從退伍軍人管理局獲得殘疾撫卹金，導致美國產生極大的家庭以及社會問題，也催生許多描述退伍士兵因戰爭創傷導致無法正常回歸社會的經典影視作品，如電影《越戰獵鹿人 The Deer Hunter 》（1978），以及《第一滴血 First Blood 》（1982）。

創傷後壓力症候群 PTSD

在 1970 年代，臨床上醫師開始使用創傷後壓力症候群（posttraumatic stress disorder），簡稱 PTSD 一詞來診斷越戰回來的退伍軍人出現的症狀。一直到 1980 年代，美國精神學會（American Psychiatric Association）才將 PTSD 納入精神疾病診斷與統計手冊（Diagnostic and Statistical Manual of Mental Disorders, Third Edition (DSM-III)）。雖然 PTSD 被正式承認為精神疾病，但診斷上仍面臨許多挑戰。最大的困難就是 PTSD 的症狀與太多的精神疾病相似，如強迫症（Obsessive Compulsive Disorder）和廣泛性焦慮症（Generalized Anxiety Disorder）。這也使得 PTSD 的歸類和診斷需要不斷的精進修正，在 DSM-IV 時 PTSD 歸類在焦慮症（Anxiety Disorder）的範疇，但在最新版本的 DSM-V，PTSD 已經和焦慮症分開來，有著自己的分類——創傷及壓力相關疾患（Trauma- and Stressor-related Disorders）。這也有助於醫界以及學界提高對 PTSD 的重視，能更了解 PTSD 對神經的影響以及治療方式。

中醫如何治療受戰爭創傷的軍人

根據《晉書．卷一一四．苻堅載記下》和《晉書．卷七九．謝安列傳》的描述，苻堅和許多他隊伍中的士兵已經出現 PTSD 的症狀，但西方國家一直到西元 1970 年代才對 PTSD 有更多醫學上的見解，那究竟古代中國是如何治療那些精神上受到創傷的軍人們呢？

中國傳統醫學的奠基之作，也是現存最早的中醫理論經典著作——《黃帝內經》，成書於戰國至秦漢時期，並在東漢至隋唐時期經過多次的修訂和補充。PTSD 出現的症狀，可能接近中醫所說的「驚悸」、「健忘」、「情志病」的範疇。在《黃帝內經》中《素問》的《舉痛論》就記載「百病生於氣也，怒則氣上，喜則氣緩，悲則氣消，恐則氣下，寒則氣收，炅則氣泄，驚則氣亂，勞則氣耗，思則氣結」，說明人的七情（喜、怒、憂、思、悲、恐、驚）傷人先造成氣的變化﹐然後才有各式疾病的產生。七情分別屬於五臟（心、肝、脾、肺、腎），以喜、怒、思、悲、恐為代表，稱為五志。五志與五臟的對應關係為心志為喜，肝志為怒，脾志為思，肺志為憂（悲），腎志為恐，所以說怒傷肝、思傷脾、喜傷心、憂傷肺、恐傷腎。

雖然 PTSD 涵蓋中醫許多症狀的描述，但古代中國並未有明確文獻指出治療的方式，透過現代醫學診斷以及中醫的結合，有研究認為 PTSD 最可能是熱、火或體虛引起的心神失調；肝氣鬱結；及腎虛。次要的模式是長期肝氣鬱結（肝主脾胃、肝火、痰火、痰濕和心火）以及心、腎和脾器官系統體質缺陷的結果（Sinclair-Lian et al., 2006）。如此治療上就可以根據中醫師的評估來進行各臟器的調節。

結論

我們能從許多經典文學和改編真實歷史事件的影視作品認識到戰爭的殘酷，但這遠遠比不上親身面臨戰場上的恐怖和帶來的創傷。戰爭奪取無數人的性命，存活者面臨的巨大的壓力也將改變一個人的一生。

參考文獻

• 草木皆兵 [正文] – 成語檢視 – 教育部《成語典》2020 [進階版] (moe.edu.tw)
• 風聲鶴唳 [正文] – 成語檢視 – 教育部《成語典》2020 [進階版] (moe.edu.tw)
• 風聲鶴唳，草木皆兵 [出現頻次較低的參考成語表] – 成語檢視 – 教育部《成語典》2020 [基礎版] (moe.edu.tw)
• 風聲鶴唳，草木皆兵_百度百科 (baidu.hk)
• Combat stress reaction – Wikipedia
• Shell shock – Wikipedia
• Post-traumatic stress disorder – Wikipedia
• 臺北市政府衛生局社區心理衛生中心-專題文章-認識創傷後壓力症候群 (gov.taipei)
• How Veterans Created PTSD – JSTOR Daily
• 圓扶原中醫診所 – 創傷後壓力症候群(Post-Traumatic stress disorder, 簡稱PTSD)… (facebook.com)
• 中醫基礎/七情 – A+醫學百科 (a-hospital.com)
• 五志（中醫術語）_百度百科 (baidu.hk)
• Airiti Library華藝線上圖書館_創傷後壓力症候群的情節記憶缺損與中醫治療
• Developing a traditional chinese medicine diagnostic structure for post-traumatic stress disorder – PubMed (nih.gov)

• 作者／劉柏宏
  • 勤益科技大學基礎通識教育中心教授

• Take Home Message
  • 電影《奧本海默》中，對於幾位匈牙利數學家如馮紐曼、波利亞等人的描述篇幅較少，但他們其實對科學界影響深遠。
  • 馮紐曼在曼哈頓計畫中建議以內爆透鏡設計原子彈，不僅所需的裂變材料較少，又可以防止原子彈過早引爆，達成更對稱與高效的爆炸。
  • 波利亞提出以「捷思法」等強調歸納實驗的方式思考數學問題，例如觀察找出數學公式的形成，此法也掀起了數學教育革命。

遊艇緩緩流動在分隔布達區（Buda）與佩斯區（Pest）的多瑙河上，絲絨般的水波、柔棉沁涼的河風，兼容哥德式與文藝復興建築風格的匈牙利國會大廈（Hungarian Parliament Building）圓頂，在夕陽的烘托之下宛如紅寶石般璀璨，流瀉出昔日奧匈帝國的風華。

筆者來到此地，終於可以想像為何 100 年前這條河的兩岸能夠孕育出一批改變科學面貌，甚至改變人類歷史的數學家與科學家。趁著今（2023）年暑假到布達佩斯開會之便，筆者也試著踏尋這些科學家的足跡。

回臺灣之後恰逢電影《奧本海默》（Oppenheimer）上映，儘管許多人聚焦在主角奧本海默（Julius Oppenheimer）的內心世界，不過筆者更關心的是幾位被火星人遺留在地球上的匈牙利數學家。

地球上的火星遺民

20 世紀初歐美科學圈流傳著一個神祕的傳說，記錄下這傳說的是匈牙利物理學家馬克思（György Marx），但傳說起源卻得從義大利物理學家費米（Enrico Fermi）說起。

1950 年某個夏日午後，費米在美國原子彈曼哈頓計畫（Manhattan Project）的基地——洛斯阿拉莫斯國家實驗室（Los Alamos National Laboratory），和幾位科學家聊到當時有關幽浮的報導時，提出了一個問題：

「宇宙如此浩瀚，包含無數恆星，許多恆星和太陽沒什麼差別，也有行星圍繞著它們旋轉。一部分的行星地表也會有水和空氣，而來自恆星的能量將促使有機化合物合成。

這些化學物質將相互結合產生一個自我複製系統。最簡單的生物會通過自然選擇繁殖、進化並變得更加複雜，直到最終出現活躍的、會思考的生物，文明、科學和科技隨之而來。

由於對美麗新世界的渴求，他們會旅行到附近行星，然後到另一個恆星的行星。他們最終應該遍布整個銀河系。這些非凡和傑出的人很難忽視像地球這樣美麗的地方。

所以，如果真是如此，他們必定來過這裡。那麼，他們到底在哪裡？」

關於這個「費米問題」，匈牙利物理學家西拉德（Leo Szilard）的回應是：「他們就在我們身邊啊！只是他們自稱匈牙利人！」（They are among us, but they call themselves Hungarians.）。

西拉德的高級幽默，點燃匈牙利人是火星遺民的想像，各種附和的說法紛紛出籠。有一種說法是 19 世紀末至 20 世紀初，一艘來自火星的太空船降落在地球，由於發現匈牙利的女子美麗又性感因而定居下來，繼而繁衍後代。

後來太空船要返回火星時超重，不得不將一些人留下，這些人包括建議當時美國總統羅斯福（Franklin Roosevelt）發展原子彈的信函主要起草人西拉德、協助潤稿的泰勒（Edward Teller）和諾貝爾物理學獎得主維格納（Eugene Wigner），還有化學獎得主歐拉（George Olah）與波拉尼（John Polanyi）、經濟獎得主哈薩尼（John Harsanyi）；以及數學家艾迪胥（Paul Erds）、波利亞（George Pólya）、馮紐曼（John von Neumann）、哈爾默斯（Paul Halmos）、拉克斯（Peter Lax）等人。

這幾位科學界的火星遺民有許多共同點：他們都出生於匈牙利。

除了喜歡雲遊四海的艾迪胥外，他們後來都移居並任教於美國的大學；他們思考問題時都喜歡來回踱步；另有一個最不可思議的共同點——他們都是猶太人。

至於為何火星人特別鍾情猶太人？這可能又是另一個「費米問題」。

《奧本海默》的最大遺珠——馮紐曼

筆者本次開會的地點在羅蘭大學（Eötvös Loránd University），該校在過去不同時期曾名為布達佩斯大學（University of Budapest）、帕茲馬尼－彼得大學（Pázmány Péter Catholic University）。

該校培育出不少數學家與科學家，而馮紐曼是箇中翹楚。

馮紐曼出身於布達佩斯的富裕猶太家庭，父親是位對他有很深期待的銀行家，希望兒子能往化學工程發展，但馮紐曼卻對數學情有獨鍾。有許多關於他的數學傳奇事蹟，例如 6 歲能心算八位數除法，8 歲熟悉微積分，15 歲開始學高等微積分，19 歲已經發表兩篇數學論文。

最後馮紐曼不違父願也無逆己志，不僅在蘇黎世理工學院（Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, ETH）讀化工，同時也在帕茲馬尼－彼得大學研修數學博士。

有鑑於在 19 世紀末和 20 世紀初，德國數學家康托爾（Georg Cantor）的集合論導致某些推論會產生矛盾難題，即使在當時產生的矛盾並非集合論的核心，但在嚴格檢驗非核心的部分時，邏輯上還是會發現一些瑕疵，因此馮紐曼選定了與集合論基礎有關的內容深入研究。

他的博士論題目為〈一般集合論的公理化構造〉（Az általános halmazelmélet axiomatikus felépítése），並於 1926 年同時取得兩所大學的博士學位。

而後在洛克菲勒基金會（Rockefeller Foundation）的資助下，他前往德國哥廷根大學（University of Göttingen），師從德國數學家希爾伯特（David Hilbert）。

1933 年為逃避納粹對猶太人的迫害，馮紐曼應聘前往美國普林斯頓高等研究院（Institute for Advanced Study），在那裡開始專研計算機科學，同時也結識了奧本海默。

建議原子彈採用「內爆式」設計的馮紐曼

由於馮紐曼的博學與優異數學計算能力，奧本海默聘請他作為曼哈頓計畫的顧問，主要負責兩項任務：一是研究內爆透鏡的概念和設計，二是負責預估炸彈爆炸的規模、死亡人數，以及炸彈爆炸的離地距離以達到最大效果。

什麼是內爆透鏡？當時曼哈頓計畫考慮的核分裂方式有兩種，一種是「槍式核分裂」（gun-type fission）設計，另一種則是「內爆透鏡」（implosion lens）的設計。

槍式核分裂設計是仿造子彈的射擊方式，利用常規炸藥將一塊次臨界物質射向另一塊可裂變物質，使可裂變物質達到臨界質量（圖一）。

槍式核分裂使用鈾（uranium, U）作為裂變材料，二戰時投擲於日本廣島的「小男孩」（Little Boy）就是採用槍式設計。但由於當時鈾的存量並不足夠，因此必須發展另一種形式的原子彈，也就是內爆透鏡設計。

內爆透鏡設計以鈽（plutonium, Pu）作為裂變材料，在空心的球狀空間內放置鈽，並在球形鈽彈周圍放置炸藥。這些炸藥爆炸同時產生的強大內推壓力將會擠壓球形鈽彈，引發連鎖反應造成核爆（圖二）。

馮紐曼評估之後，認為「內爆式」設計優於「槍式」設計，且內爆型原子彈所需的裂變材料較少，又可以防止過早引爆以達成更為對稱與高效的爆炸，因此建議奧本海默改發展內爆式核彈，這就是二戰時被投放到日本長崎的原子彈——「胖子」（Fat Man）。馮紐曼在曼哈頓計畫中的角色如此關鍵卻被電影所忽略，確實令許多人不平。

馮紐曼從小嶄露他的優異天賦且記憶力驚人，除數學領域之外在諸多科學分支也有所涉獵且精通。他的聰慧早已獲得同儕的認同與讚譽，常被稱為數學界最後一位通才。有一個流傳甚廣的傳說是某次宴會中女主人問馮紐曼一個問題：

「兩列相距 200 英里的火車正在相向行駛，每輛火車的行駛速度均為每小時 50 英里。一隻蒼蠅從其中一列火車的前面出發，以每小時 75 英里的速度在火車之間來回飛行，直到火車相撞並將蒼蠅壓死為止。蒼蠅在這段期間總共飛行了多少距離？」

一般人解這一題可能是先算第一段時間蒼蠅飛行的距離，再算第二段時間蒼蠅飛行的距離，由於蒼蠅來回飛行無限多次，距離愈來愈短，可以用無窮等比級數求和的方法得出解，但這樣的計算相當繁複。有一個更快捷的技巧是直接算出兩輛火車將於兩小時後相撞，因此得知蒼蠅總共飛行 150 英里。

馮紐曼聽完問題不一會兒就答出 150 英里，女主人對於馮紐曼沒有陷入計算無窮等比級數的陷阱感到失望，但馮紐曼竟回答：「我是用求和的啊！」若此傳說當真，顯見他驚人的計算能力。

1963 年諾貝爾物理學獎得主維格納表示，他認識當代許多頂尖科學家，包含德國理論物理學家普朗克（Max Planck）、英國理論物理學家狄拉克（Paul Dirac）、西拉德、泰勒、愛因斯坦，但沒有一個人像馮紐曼般才思敏捷。曾有人問維格納為什麼匈牙利出現這麼多天才，維格納的回答是：「真正的天才只有馮紐曼一人。」

引發數學教育革命的波利亞

本文要介紹的第二位匈牙利數學家是波利亞。1912 年，他於布達佩斯大學取得數學博士學位後，便前往德國哥廷根大學從事博士後研究。他在哥廷根大學結識許多當代最傑出的數學家，例如希爾伯特和克萊因（Felix Klein），之後便到蘇黎世理工學院任教。相較於一般嚴謹木訥的數學家，波利亞相當擅長說故事，包含數學家的軼事和「說數學」的功力。

馮紐曼在蘇黎世理工學院修讀博士時，也曾上過波利亞的書報討論課。有次波利亞提到一個尚未解決的數學問題，他認為要證明這問題很困難，沒想到五分鐘之後馮紐曼舉手，然後在黑板上寫下證明，從此之後馮紐曼變成他最敬畏的學生。

另外，波利亞也曾談論有關希爾伯特的故事。在德國盛傳一個傳說，深受德國人敬愛的皇帝腓特烈一世（Friedrich I）沒有死亡、只是沉睡，等到德國需要他時他就會挺身而出。因此便有人問希爾伯特：「你若在死後 500 年復活，你會做什麼事？」希爾伯特說：「我會問是否有人證明了黎曼猜想（Riemann hypothesis）？」

黎曼猜想與質數分布具有密切的關係，是希爾伯特於 1900 年提出的 23 個最重要數學問題之一。有些數學家將證明黎曼猜想形容為「數學界的聖杯」，因此它的重要性可見一斑。2018 年 9 月 24 日，英國數學家阿蒂亞（Michael Francis Atiyah）宣稱他證明了黎曼猜想，此事件也曾轟動一時。

但阿蒂亞的證明還來不及得到同儕認證，便不幸於 2019 年 1 月 11 離世，截至目前為止數學界仍對阿蒂亞的證明有所質疑。所以如果希爾伯特現在真的死而復活，那他恐怕要失望了。

波利亞於 1945 年出版《怎樣解題》（How To Solve It）一書，展現他「說數學」的功力。他常強調數學有兩面，數學結果的呈現方式有如歐幾里得（Euclid）幾何學般的演繹論證形式，但數學知識發展過程卻更像是一門實驗歸納的科學。書中提倡以捷思法（heuristic）思考數學問題，例如高中時老師通常教學生如何證明 13＋23＋33＋43＋⋯＋n3＝，但卻很少說明究竟如何得到此公式。

波利亞則要學生先做探索觀察。例如從圖三可以發現前五個自然數的立方恰好都等於另一個自然數的平方，這樣的特殊性可以推廣為「前 n 個自然數的立方和等於某個自然數的平方嗎？」若可以推廣，某個自然數到底是哪個數？我們進一步觀察可以得到：1＝1, 3＝1＋2, 6＝1＋2＋3, 10＝1＋2＋3＋4, 15＝1＋2＋3＋4＋5，將這觀察和圖三結合就得到圖四中令人驚訝的結果。

這麼美麗的結果應該不會只是巧合，所以一個合理的臆測也因此誕生：「前n個自然數的立方和等於前n個自然數和的平方」，也就是 1³＋2³＋3³＋4³＋⋯＋n³＝（1＋2＋3＋4＋⋯＋n）²。由於 1＋2＋3＋4＋⋯＋n＝，所以得到 1³＋2³＋3³＋4³＋⋯＋n³＝這個「合理的」公式，接著就可以證明此結果的正確性。

由此我們看到捷思法可以展現一個數學公式形成的過程，如同在《奧本海默》電影中丹麥物理學家波耳（Niels Bohr）建議奧本海默改到哥廷根大學跟從玻恩（Max Born）學習理論物理。

波耳問奧本海默數學程度如何，並提醒他：「代數就像一本樂譜，重點不是你能否讀懂音樂，而是能否聽懂音樂。」（Algebra is like a sheet music. The important thing isn’t if you can read music; it’s if you can hear it.），波利亞的捷思法就是教我們如何聽懂音樂而不光是讀懂音樂。

在 1960 年代，美國由於憂慮太空競賽落後蘇聯，因而發起所謂「新數學」的中學數學課程改革，強調數學的抽象性，試圖讓學生早一點熟悉數學邏輯的演繹過程，但這種罔顧知識發展脈絡的改革註定以失敗告終。

1980 年代，波利亞強調歸納實驗思考過程的捷思法逐漸受到重視，掀起一波「數學問題解決」（mathematical problem-solving）的浪潮，而這股浪潮的影響也猶如核分裂的連鎖反應，持續至今。

• 〈本文選自《科學月刊》2023 年 11 月號〉
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