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想在愛情裡取勝?先算情敵告白的機率吧!

機率量化了「可能性」

機率是數學中最生活化的數學單元,也是不少人覺得就算三角函數學爛了,也可以扳回一城的地方。

我們每天都接觸到各種「可能」,用數學一點的話來說就是接觸到各種「機率」。許多機率很簡單,用經驗培養出來的直覺便能處理:丟骰子出現任何一點的機率相等(1/6)。用味覺來譬喻,這類的機率像喝可樂,一口下去清涼暢快。但生活中不只有可樂,還有咖啡這類味道豐富多層次的飲品。不同豆子酸、苦、甘程度;木質、柑橘、泥土的香氣,只有受過訓練或天賦異稟的人才能察覺出箇中微妙的差異。同樣地,面對複雜事件,直覺很難正確評估對應的可能性,這時,你就需要機率的數學訓練了。

請想像這樣的小劇場,主角是世杰,以及他的暗戀對象班昭。

找出可能的情敵

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§

六月,T 大校園裡瀰漫期末考的氛圍,總是熱鬧、動不動遇到熟人的廣場此刻靜悄悄,一台腳踏車經過,碾到鬆脫的地磚,發出框隆聲響。

「變態筋肉男。」

「偷看陌生人臉書的人才變態。」

「打赤膊的自拍照還設公開,檢舉色情相片。」

世杰與孝和坐在陰涼處吃霜淇淋,世杰滑著手機看到筋肉男剛在班昭最愛的咖啡廳打卡,。班昭是世杰修跨校課程認識的 N 大女孩,兩人偶爾一起去看電影、喝咖啡,一切都很好,但也僅止於很好。世杰不敢跨出告白的那條線,理由很簡單:班昭太受歡迎了。

N 大有一則校園傳說:在校園祭典當天可以「光明正大的告白」。這一天,班昭宿舍門口排隊的人潮,一度讓路人以為熱門日本連鎖餐廳進駐宿舍。

「排隊這件事一做就沒勝算了。你看過白馬王子排隊去拉長髮公主頭髮,或拎玻璃鞋去試灰姑娘的尺寸嗎?」

世杰的理論是:愛慕者跟種性制度一樣有階級區分:只能遠望,偶爾在夢中說上一句話就開心到半夜失眠的後援會階級;被女孩叫得出名字,在路上遇到會打招呼但也僅止於打招呼的「再聊下去我就要說先去洗澡囉」階級;還有一起念書、互相用 LINE 傳有趣文章的最高階級。

根據世杰近乎變態地小數據分析班昭臉書,他發現除了自己,還有兩位同樣在最高階級的對手——姑且稱為筋肉男與真文青。

情敵告白機率怎麼算?

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「想去小昭的愛店想來個不期而遇嗎?他不知道這樣一打卡,所有人都不想去了嗎?」

竟然自行幫對方取暱稱了,孝和在心裡咋舌。

世杰氣呼呼說:「我肯定,他跟真文青至少有一個喜歡小昭。」

「別人喜歡你的女神,有這麼重要嗎?」孝和不以為然地問

「當然!雖然小昭喜歡他們任何一個人的機率都很低,比方說 1/10。但倘若兩個人都告白,小昭都拒絕的機率是 (1-1/10) × (1-1/10) = 0.92 = 81%。要是這種人有 N 個,都拒絕的機率是 0.9N,給定 N=10,都拒絕的機率低到只剩 35%,不是很危險嗎!」

浪漫的告白在世杰的描述下,彷彿變成了戰爭畫面,一群男子前仆後繼用告白作為武器,「小昭城」岌岌可危。孝和聽了只好安慰世杰:

「往好的方面想,現在 N=2。而且,真文青跟筋肉男同時喜歡班昭的機率只有 1/3。也不會太高。」

「1/3?數學天才你在說什麼?」

世杰露出不解的神情。剛認識孝和,世杰就覺得他的名字很眼熟,逛書店看到《超展開數學教室》,才想起以前翻過這本書,是講孝和的高中故事。「人生好端端的幹嘛跟數學有這麼多牽扯。」這是他當時的心得。沒想到上大學後認識書中主角,自己也漸漸受到影響,越來越有「數感」。

孝和舔掉霜淇淋融化的下緣,開始解釋:

「我們用喜歡 = O,不喜歡 = X 來表示(筋肉男,真文青)對小昭的狀態——」

「小昭是你叫的噢。」

孝和不理會世杰繼續說:

「至少有一個人喜歡,所以共有 (O,X)、(X,O)、(O,O) 三種狀況,最後一種是兩人都喜歡你的小昭昭。假設兩個人喜歡小昭的機率都是 1/2,且是獨立事件,則三種狀況的機率均等,所以各佔了 1/3,跟丟只有三面的公平骰子一樣。」

「只有 1/3 嗎?我還以為是 1/2,真怪。」

世杰搔搔頭,兩人起身回系館繼續準備期末考。六月的陽光用力打在皮膚上,走沒幾步,霜淇淋的冷卻效果失效,從後面望去,他們的背部濕了一大塊。

一個情敵告白失敗,戰局一下就變了

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§

入夜後沒有變得涼爽,柏油路吐出白天儲存的熱氣,孝和跟世杰踩在上頭,走向 T 大後門的簡餐店。

「噢噢噢!爽啦,考前還告白,妨礙準備考試的人會被馬踢,活該失敗。」

世杰大叫,孝和湊過去看他的手機,發現小昭在臉書上隨手以張街景搭配文字,發了一則新的動態:

「或許,只有謝謝是不夠的。但在這個時刻,也只有謝謝。」

他們兩個立刻明白有人告白被拒絕了,不知道是筋肉男還是真文青。

「謝謝卡二連發,哈哈。」

世杰開心的不得了,明天考試怎樣都無所謂了的樣子。一旁孝和潑冷水:

「這下子,另一位對手喜歡小昭的機率從 1/3 提升到 1/2 了。」

「為什麼?!你剛不是說筋肉男跟真文青同時喜歡小昭的機率是 1/3,為什麼一個告白了,會影響到另一個對手喜歡的機率?」

孝和用問題來回答世杰的問句:

「你記不記得高中機率有兩道題目:

已知某家有兩個孩子,且至少有一個兒子。求兩個都是兒子的機率?

已知某家有兩個孩子,登門拜訪,開門的是兒子,求兩個都是兒子的機率?」

兩人走進簡餐店,被冷氣冰鎮過的空氣迎面而來。世杰想也沒想就回答

「第一題是 1/3,第二題是 1/2。」

「為什麼第二題是 1/2?」

「廢話,生男生女的機率各一半且各自獨立。所以另一個是男生的機率就 1/2 啊。」

「那為什麼第一題是 1/3?」

「就像你剛剛列的,有三種狀況 (男,女)、(女,男)、(男,男)——」

世杰閉嘴,他意識到「兒子女兒問題」和「告白問題」在數學上是一樣的。孝和解釋

「不管筋肉人或真文青,只要有人告白就增加了新資訊。」

孝和頓了頓

「來看看 (筋肉人,真文青) 的三種感情狀況,原本 (O,X)、(X,O)、(O,O) 的機率都相等,新資訊會讓 (O,O) 的機率提升。你想想,『一個人喜歡的前提下,有人告白』跟『兩個人喜歡的前提下,有人告白』,哪個機率比較大。」

世杰伸出手比了個2,臉上的迷霧依然沒褪去。

「假如告白的是筋肉男,就是 (O,X)、 (O,O) 這兩種狀況。如果是真文青告白,就是 (X,O)、(O,O)。不管是誰告白都有兩種可能的狀況,而且 (O,O) 都重複出現在其中,所以是 (O,O) 的機率是 1/2。」

「還是高中那種解法,直接男生女生的出生機率各是 50% 最簡單了。」世杰放棄思考。

那樣的解法固然沒錯,但當兩個問題排在一起看,就得被迫用不同解釋方法。孝和的老師雲方說過,數學很柔軟,很有彈性,一個問題可以從不同角度切入,大家常只看某個角度誤以為自己會了。

「唯有從不同角度切入都能理解,才算是真的理解。」

算了,反正期末考也不會考這個,孝和把以前老師的話暫時放到一邊,不打算繼續跟世杰解釋。他說:

「比起煩惱潛在對手多不多,不如想想自己該怎麼努力吧。」

或許是一連串的機率討論,孝和腦海裡忽然浮現了一個想法:

「你要不要用數學設計一場浪漫的告白?」

「嘎?」

  • 更多孝和與世杰的故事,請期待 2016 年底,《超展開數學教室》續集——《超展開數學約會》

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關於作者

賴 以威

數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室