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數學是擴充常識的手段-《數學教你不犯錯》推薦序

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source:flickr

去書店走一遭,除了新書有機會上平台陳列,數學科普常被擱在角落,多則半櫃少則幾本,不小心錯過了也沒察覺。但數學愛好者都知道,數學科普書相當多,看得速度永遠追不上出版速度。

不過,也不需要每本都看,因為儘管每本書用的例子不同,但背後的數學,特別是為了讓讀者有共鳴,著眼在與生活密切相關的數學知識,機率、統計、估算法、圖論……都很相似。你或許可以想像成綜藝節目的單元劇,儘管每次是不同布景、劇情,可粉墨登場的都是同一批固定班底。一本數學科普書是否好看的標準(至少以我來說),並非數學知識的難度,而是單元劇的腳本是否夠精彩,能讓讀者透過這場單元劇,對所介紹的數學知識留下深刻印象。

我們很容易把數學教得像一長串規則,你照順序學習,且必須遵守規則,如果不遵守,成績就是C-。這不是數學。數學研究事物必然呈現的道理,因為這些事物不可能以其他方式呈現。

從序言開始,讀《數學教你不犯錯》一直讓我覺得,自己想講、或曾經講過的許多話,都被用一種更清楚的形式表達出來。

不只是數學,牽扯到專業知識的文章都不好寫。要嘛知道的太少,要嘛文筆不夠好。雖然前面講到知識難度不是數學科普書的重點,但作者本身一定得具備深厚的數學素養,就好比擁有豐富人生歷練的智者才能說出令人深省的詞句,唯有充分理解,才能深入淺出地講解。

我念博士班時,視寫論文為人生一大無路用之事。都已經懂了,為什麼還要花那麼多功夫去想辦法寫成一篇文章去告訴別人?

「如果你不能讓別人輕易了解你在做什麼,就是你還不了解自己在做甚麼。」

指導教授這樣回答我。

本書作者Jordan Ellenberg是一位出版過小說的數學天才,不論對數學的理解或駕馭文字的能力都非常深厚。再由同樣文理雙棲的中研院李國偉老師執筆翻譯。這樣的作者與譯者組合,讓我在閱讀的過程中,只能不斷用折狗耳朵來代替鼓掌。

即使沒有寫下一條方程式、沒有畫出一幅圖像,但你就是在做數學,你正以額外手段擴充常識。

數學科普書有兩種極端類型:一個特定數學知識作主題,或是許多獨立短篇介紹不同的數學知識。這套書介於中間,上下兩冊看似用較長的篇幅介紹數個觀念,但其實觀念之間都有連結。如果我們把數學知識看作是圖論裡的一個點,知識的關聯性用線來連結,作者深厚的數學底蘊,讓他能看見一般人沒注意到的連結,以及每個知識對應的軼聞、歷史典故、生活實例,他能從樂透一路說到通信原理,間或還穿插著幾何知識。裡面有些部份很簡單,有些會讓你得放下書本反覆思考好幾次才能確定自己真的理解他在說什麼,有時候還會出現幾道計算過程。但它跟考試不一樣,考試是為了檢驗你是否理解概念,這本書則是利用概念去了解、分析某些事件的道理。

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再經過考試教育後,許多人對數學產生了畏懼,但其實若好好學系數學的應用,會讓生活更有趣的。source:flickr

而這也是整本書最主要想傳達的:數學是一種思考方式,是擴充常識的手段。如同有時候我們需要紙筆把腦袋裡想的東西寫出來,才能加以整理。數學是心靈上的工具,幫助我們在思考時能更有條理,能從「有或沒有」的二分法進步到「有多少」的量化,能考慮到那些直覺無法輕易捕捉的真相。比方關於機率,作者在序言裡這麼介紹

我們的內建心智系統可以估計不確定事件發生的可能性,但是那些系統的能力相當弱、也不可靠,對於極為稀有的事件是無能為力。因此我們需要一些穩固的定理與技巧來強化我們的直覺,於是就創造了機率的數學理論。

明天有20%的降雨機率,對中統一發票的期望值是1元多,但明天終究只會晴天或下雨,發票最小獎也是200元,機率跟期望值的物理意義到底是什麼?是100個平行時空,其中20個明天會下雨,80個不會下雨?作者內在的數學家特質,讓他將文字化作數學符號,只需精準地用上幾個字,便能給出答案。

作者與譯者的精準用詞與譬喻讓這本書充滿閱讀樂趣。好比說,書中在解釋不同派別對顯著性檢定的看法,一派認為檢定若為真,表示找到事物的真相,一派則認為不該過度延伸,帶預設立場去看數學結果,檢定為真只提供決策的依據。Fivethirtyeight創辦人Nate Silver撰寫的暢銷書《精準預測》中花了很大的篇幅在討論兩派差異與各自的優劣。在本書,Jordan Ellenberg用了偵探與法官的譬喻,一方是透過線索找出真相,一方只能透過證據宣布判決。讓這個概念瞬間變得清楚、印象深刻。

又或者,作者提到在機率這個概念之下,我們有了「風險」與「不確定性」的差異。風險是已知的未知,例如你知道買樂透,有多少機率(非常的高)你會血本無歸;不確定性則是未知的未知,你連可能會發生什麼狀況都毫無所知。

我很喜歡這種細節的釐清,它吹走了籠罩在知識前方的薄霧,讓你總算不是只窺視輪廓,能清楚地看見全貌。

趁著春節連假,我一口氣讀完上下兩冊,同時也和親友玩了幾場麻將。

或許因為正在讀這本書的緣故,打麻將技術向來拙劣的我,此回彷彿可以看到空中浮著一張巨大的表格,上面寫著各種花色的牌被握在其他玩家手中的機率,每次有一張新的牌被丟到中間,牌的機率值就像傳統非電子式的火車站的時刻表一樣,經過貝式定理的計算(根據新的觀察結果,去重新調整原有的機率值),趴噠趴噠地被更新。

麻將聽起來可能觀感不太好,換成撲克牌、樂透、丟銅板、理財、甚至是等車、去熱門餐廳排隊,貝式定理都能派上用場,它不是什麼新的神奇的潛意識開發,宣稱能用上未曾使用的90%大腦,只是幫助我們在用直覺推理時,能更有邏輯性地評估各個細節。

數學,能讓你用額外的手段擴充常識。

不需要歐基里德(Euclid)的三塊錢[註],光憑著這句話,我想就值得閱讀此書。

  • 註:相傳歐基里德有位學生問他「學幾何能有什麼好處?」,歐基里德轉頭對僕人說「給這傢伙三塊錢,因為他認為一定得從學習中獲益。」

《數學教你不犯錯》上下書封

數學教你不犯錯

作者:Jordan Ellenberg

天下文化出版

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關於作者

賴 以威

賴以威

數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室