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布爾與邏輯--《科學月刊》

董世平/中原大學應用數學系教授,美國伊利諾大學數學博士,專長數理邏輯,曾任符號邏輯協會東亞委員會委員九年。

布爾追尋真理的熱忱,導引他發現思想的法則。他以代數的手法將思想法則表現為後人所稱的布爾代數,不僅成為電腦硬體設計的基礎理論,更開創了數理邏輯學的深刻發展。

天上的星星,依照牛頓所發現的「萬有引力定律」而運動;而人的思想,也有它運作的法則嗎?1854年,布爾出版了他的著作《思想法則之探討》,在這本書中,布爾給了上述問題的答案:人的思想是有法則可循的。不僅如此,我們可用數學的方式來描述這些法則。這本書出版之時,能明瞭的人甚少,但這本書對人類影響之大,絕對是當時的人,甚至布爾本人都難以想像的。

理性是人行事的基礎,如巴斯卡(Blaise Pascal, 1623~1662)所說:「人是會思考的蘆葦。」我們也說:「物有本末,事有先後。知所先後,則近道矣。」雖然人人做事都有其背後的邏輯,但意識到邏輯本身,應是後來的事,正如人人都呼吸,但意識到呼吸,乃至知道空氣的存在,都是相當後來的事了。一個人沒學過邏輯,甚至沒聽過邏輯,並不表示這人做事沒有邏輯,或不需要邏輯。

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巴斯卡。 Source: shutterstock

邏輯學門的發展

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亞里士多德(左)與他的學生亞歷山大。Source: shutterstock

一般來說,把邏輯或理則學當作一門系統知識來學習,是從亞里士多德開始,故傳統邏輯被稱為亞里士多德邏輯,大家最熟悉的即所謂的「三段論」。

大前提:人會死
小前提:蘇格拉底是人
結論:蘇格拉底會死

當我們從所知或已知的事物而得到結論時,這個思考或邏輯過程,皆使用三段論。人會犯錯,也會犯邏輯的錯誤,有可能是前提錯,即他的認知就是錯的,但也常發生的是,推論的過程產生錯誤:

大前提:人會死
小前提:蘇格拉底死了
結論:蘇格拉底是人

我們也許會說這種錯誤太不應該了,但犯這種錯誤的人比比皆是,在報章雜誌及電視上不時可見這些錯誤的推論。因這些人的心態是先有結論,再為結論找理由,也難怪會犯這種錯誤。希望我們能如孟子所說:「淫辭知其所陷」,而不為其所陷。邏輯在希臘哲學時期的建立,也就是為了分辨辯士在辯論時,何者是講理,何者是狡辯,進而使個人能合理的思考,正確的判斷。

邏輯不僅在希臘發展,在同時期的中國亦現其蹤跡。春秋戰國時期的名家及墨家的論述中也都有「邏輯詭論」,或如莊子所說:「一尺之杖,日取其半,萬世不竭。」;在希臘有完全相同的說法,如「飛矢不動」,也與「阿基里斯詭論」有相通之處。但可惜的是,中國的邏輯後來未有系統性的發展,僅留下了「矛盾」這個有趣的典故:楚人有鬻盾與矛者,譽之曰:「吾盾之堅,物莫能陷之。」以譽其矛曰:「吾矛之利,於物無不陷也。」或曰:「以子之矛陷子之盾,何如?」其人弗能應也。夫不可陷之盾與無不陷之矛,不可同世而立。」─《韓非子》。

邏輯數學化

人類用亞里士多德的方式學習邏輯,至今已2500 年了。然而,我們必須用「理性」,才能得到邏輯正確的結果嗎?唯有「理性」,才能知道「理」之「則」嗎?

布爾提出兩個突破性觀念:其一,用符號表示邏輯命題;其二,可用代數作符號運算。總體來說,我們可先用符號代表命題,用公理表示邏輯的規則,再以代數的方式運算。在運算的過程中,不需考慮符號本身及運算的意義,運算完畢,將符號再帶回原本的命題,即為邏輯正確的結果。至此,推論的過程完全被公式的運算取代,不僅大大增加處理命題的能力,完全避免人有意無意的錯誤,藉著公理的選擇,可發現命題之間的關聯,亦可清楚看見邏輯的本質,其好處不勝枚舉,更有許多後世才發現的益處。

布爾在他著作中未曾提出一套完整的公理系統,也因此現今我們有許多種不同的布爾代數系統,本文僅列出一個較簡潔的系統,我們藉此來討論布爾將邏輯符號化及代數化的意義。

在討論符號化的意義之前,我們先引用布爾在他1847年所出版《邏輯之數學分析》中所說的:「認識現今符號代數情形的人都明瞭,分析過程的正確性並非建立在對符號所用的解釋,而是在它們組合的定律上。」使用符號不僅為方便表示,亦使我們不再受限於特定的解釋,因此可擴展應用的範圍,也才有現今各樣的數位產品。

我們藉由布爾曾用的交換律b+a=a+b 來說明。你可把ab視為兩個集合,+為聯集,=為集合相同;亦可把ab視為整數,+為加法,=為數字相等;亦可把ab視為命題,+視為邏輯連辭「或」,而=視為意義相等。在應用時我們固然需要對這些符號賦予特定的意義,但在推導性質時,我們只需按著他們組合的定律來做,如交換律,如此所得的性質可用在集合、數字或命題及其他可能的解釋上。

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對於邏輯的數學化,我們可用布爾所用的另一個例子來說明:

x2 = x xx2 = 0 → x(1-x)=0

這個過程相信是任何學過解方程式的人都明白的,當把0視為空集合,1視為包含所有個體的宇集(universalclass),1-x為包含所有不在集合x內個體的集合,x2=x 則意義為「具性質P 且具性質P 的集合,即為具性質P的集合」,因此布爾用上述的代數過程得到了古典邏輯中集合的「矛盾原則」,即不可能有一個集合同時具有性質P及性質非P,亞里士多德視矛盾原則為邏輯的基礎公理,但布爾則用數學方法顯示矛盾原則可由另一個看來更直觀的x2=x 公理所導出。

邏輯的符號化及數學化並非始自布爾,有不少的先驅者,最著名的當是萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646~1716),較布爾早生了約170 年。萊布尼茲曾期望當兩個人辯論時,兩個人能坐下來說:「我們算一算。」也就是用數學方法來解決爭論。符號化及數學化的威力已為現今所認知,但這兩者也意謂著抽象化,離人的直觀與經驗越來越遠。這似乎為認識事物本質所必要的,我們亦見此於物理的發展。由布爾的成就我們亦可見,透過抽象化,我們可更清楚認識及了解「思想」這個原本極為抽象的概念。

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萊布尼茲。Source: shutterstock

范氏圖與真值表

邏輯在布爾之後有極迅速的發展,現今常用兩種工具:范氏圖及真值表。由前列布爾代數公理,我們可見「集合代數」是一個布爾代數。史東(Marshall H. Stone, 1903~1989)亦證明了任一布爾代數可用一「集合代數」表示。范氏圖即為我們常用來表示集合關係的一個視覺化工具,而視覺化表示亦為布爾使用符號所希望能達到的目標,使人有更直觀的認知,但使用視覺化工具須注意其侷限性。

范氏圖用圓表示集合,1、2、3個圓交疊後,分別可得2、4、8個區域,每一個區域代表每一個集合僅使用一次可得交集的情形,在3個圓交疊的情形下,區域2為,區域為。那4 個圓交疊可得幾個區域呢?我們也許會猜21=2、22=4、23=8、24=16,16個區域,但我們若認真的去畫,我們會發現最多只能畫出14個區域。

然而,4個集合實際上應該有16個區域,所以范氏圖無法表示n ≥ 4個集合所有可能的情形,用n個圓最多可畫出多少個不同的區域?這個例子告訴我們,用歸納法一開始所得的歸納結果有可能是錯的,有興趣的讀者可嘗試用歸納法得到正確的公式,再用數學歸納法證明公式是正確的。

另一個有用的工具則是真值表。它用P、Q代表命題,∧(且)、∨(或)、¬(非)、→(若⋯,則)、→(若且唯若)、T(真)、F(假),我們有下列定義:

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我們可看見P → Q 和¬Q → ¬P 及¬P ∨ Q 對應的真假值完全一樣,即此三者為邏輯等價,當我們要證明「若P則Q」(P→ Q) 時, 我們證明「若Q為假,則P為假」(¬Q → ¬P),則「若P 則Q」得證,此即為「歸謬證法」或「矛盾證法」的本質,同理,若我們能證¬P ∨ Q 為真,我們亦證明了「若P 則Q」。

布爾之後的邏輯

邏輯非自布爾而始,亦非自布爾而終,但邏輯自布爾後,就再也不一樣了。我們也許可以如此比擬:克卜勒藉著對行星運動的觀察數據,以計算及歸納得到了「克卜勒行星運動定律」。牛頓依此發現了「萬有引力定律」,如此不僅可解釋「克卜勒行星運動定律」,我們亦可藉此定律計算出物體的運動軌跡。同樣的,亞里士多德歸納出正確思想應該遵守的規則,而布爾用代數的方法解釋了正確思想的規則,我們便可藉著他的發現,計算出正確思想應得的結論。

布爾的觀念及符號就留在現今數學裡,因為他使用符號的方式來處理邏輯,我們也就有了「符號邏輯」這個名詞。現今邏輯界最重要的學會,即「符號邏輯協會」(The Association for Symbolic Logic),而它所出版的代表期刊即名為《符號邏輯期刊》(The Journal of Symbolic Logic)。當代對邏輯的研究主要來自數學、哲學與計算機領域,對布爾代數本身的研究亦極活躍,蒙克(Donald Monk)主編了共三冊的《布爾代數手冊》(Handbook of Boolean Algebras),從其中包含的多樣主題,即可見布爾在數學的影響之廣。

現今一些較熱門的題目也和布爾邏輯有所關聯,例如,哲學界所研究的「非古典邏輯」,其研究的方式多為先將布爾代數用不同的公理表示,再將其中一些公理,基於哲學方面的考量加以弱化,如此可得如直觀邏輯(Intuitive Logic),模態邏輯(Modal Logic)等等不同的邏輯。

人工智慧

人工智慧則是一個常被討論的題目:機器能有智慧嗎?布爾告訴我們,機器藉由代數推導後,可得到正確的結論。在命題邏輯不考慮計算複雜度(computational complexity)的前提下,人所能做到的,機器都可做到。但在一階邏輯時,筆者認為由「哥德爾不完備定理」可知,機器所能做的無法跟人一樣,這也是潘洛斯(Roger Penrose)在《皇帝新腦》(Emperor’s New Mind)書中所用的論證,這仍是人工智慧學者一個爭論不休的問題。

乏晰邏輯

乏晰邏輯(Fuzzy Logic)在工業界已有許多的應用,其特點是,一個命題的真假值可為一個介於0 與1 之間的實數p,亦可視為[0, p] 區間;而傳統邏輯下,一個命題的真假值限定為假與真,或布爾所用的0 與1 表示。

1960 年代, 邏輯學者逐漸發展出布爾值模型(booleanvalued model),其命題的真假值對應至一個布爾代數,並以此將柯亨(Paul J. Cohen, 1934~2007)的結果( 註) 給予一個相對簡潔的證明。此處須特別強調「無法證明是對的」和「錯的」其意義是不相同的。由布爾值模型後,又發展出布爾值分析(boolean-valued analysis),並由此得到數學上有意義的成果,乏晰邏輯可說是布爾值模型另一個有用的特例。

註:此結果得到數學最大獎菲爾茲獎,其敘述在使用一般通用的集合論公設時,無法證明選擇公設(Axiom of Choice)和連續統假說(Continuum Hypothesis)是對的。

量子邏輯

另一個著名的非古典邏輯為「量子邏輯」,由量子邏輯可衍伸出「量子計算機」。其使用量子演算法,可在多項式時間內做「因數分解」,這是一般計算機與圖靈機(Turing machine)至今仍無法得到的結果。但量子計算機與圖靈機所能計算的函數總體是相同的,量子計算機與現今使用的計算機相較,或許其計算複雜度有差別,但從可計算性(computability)來看,兩者並無不同。

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英國科學家潘洛斯,在物理、數學等領域有卓越貢獻。他曾撰寫過一系列探討人類意識與物理之間關係的書籍,如1989 年出版的《皇帝新腦》。Source: Festival della Scienza

綜合上述,我們可說現今邏輯與計算的發展,都是建立在布爾的基礎上,我們是沿著他給我們的方向繼續前進,而他的影響不僅遍及數學各領域,亦延伸至其他領域,如哲學、計算機科學、語言學等。

對真理的追求

我們不禁要問:為什麼布爾能有如此偉大的成就?當然他一定是個天才,但他的成就並非憑空而來,他也經過時間的醞釀,使他的思想日漸成熟。也由於這些成就,使他對符號的能力有更清楚的認識。他先前出版的《邏輯之數學分析》不僅不成熟也包含謬誤。在思考的過程中,他也曾面對失敗與挫折,但他不放棄,因此得以出版《思想法則之探討》。另外他勇氣過人,他敢思想「思想」,這個極端抽象卻又最根本的問題,大名鼎鼎的萊布尼茲嘗試過、努力過,但無特別的成果,而布爾不畏艱難,終於有所成。

最後,因布爾具有「對真理追求的真誠」(It is integrity in pursuit of the truth),在他寫給好友笛摩根的信中,他先說笛摩根具有這個特質,而他在這一點並不會輸給笛摩根,他甚至寫了下面的話:「我不認為任何人比我寫那本書時的心智,曾充滿更熱烈的渴望,僅為了要發現並說出真理,而不為其他。(I don’t think any man’s mind ever was imbued with a more earnest desire to find out the truth and say it and nothing else, than mine was while writing that book.)」就是這種真誠讓布爾發現了「思想」的法則,這個發現也改變了人類。

front本文選自《科學月刊》2015年11月號

延伸閱讀:
喬治.布爾─自學成大器的數學家
布爾與電腦

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