《無限小》新書導讀

我是數學白痴，真的。很多人以為唸理科的，數學一定很好，才怪。因為我數學不好，所以才選擇唸生命科學，只是唸了才發現，原來還是要面對不少數學，如生物統計、計算生物學、生態學、族群遺傳學、分子演化，都用了不少數學，更甭提大一大二還得要上的微積分、物理和物理化學。

2016 年有部電影《天才無限家》（The Man Who Knew Infinity），很值得看，連一個我超愛的說書脫口秀節目《一千零一夜》主持梁文道這位文人（請參見〈一千零一夜個經典〉），也在推薦了這部關於印度天才數學家斯里尼瓦瑟‧拉馬努金（Srinivasa Ramanujan，1887—1920）的電影，也談了《費馬最後定理》（Fermat’s Last Theorem）這本書，以及數學是什麼。

我就自不量力，來談本和數學有關的歷史書吧，就是這本《無限小：一個危險的數學理論如何形塑現代世界》（Infinitesimal：How a Dangerous Mathematic Theory Shaped the Modern World）。即使是外行，還是會覺得數學是極為優雅的，可是歷史學家與數學家艾米爾‧亞歷山大（Amir Alexander），卻要告訴我們，數學也有過混亂，中間涉及的不僅只有數學家，還有宗教家。

《無限小》的故事，主要是發生在十六、十七世紀，爭論的是直線、平面圖形和固體，是否由無限的不可分量所構成？《無限小》中的各種爭論，要追溯到古希臘時期。公元前六世紀，畢達哥拉斯（Πυθαγόρας，約前580－前500）和追隨者，認為數學可以解釋世界上的一切事物，對數字癡迷到幾近崇拜，同時認為一切真理都可以用比例、平方及直角三角形去反映和證實。從他開始，希臘哲學開始產生了數學的傳統。

那些古代數學中的黑暗面

相傳無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希帕索斯（Ἵππασος）發現。他以幾何方法證明√2，無法用整數及分數表示，並引發了第一次數學危機。而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示，不相信無理數的存在。希帕索斯發現不可公度量（incommensurability），推論不同的量（magnitube）不是由獨立的微小原子，亦即無限小所構成。畢達哥拉斯派同道將其淹死滅口，然後他就死掉了。所以這批人，玩數學是超認真的，會鬧出人命的。

公元前五世紀，來自古希臘愛琴海北部海岸的自然派哲學家德謨克利特（Δημόκριτος，前460—前370或前356）利用無限小，計算圓錐體與圓筒體的體積。然而，伊利亞的芝諾（Ζήνων，約前490－前430），提出幾個矛盾問題，指出無限小引發的衝突，從此無限小遭到古代數學家規避。

古希臘數學家，被稱為「幾何學之父」，亞歷山卓的歐幾里得（Ευκλειδης，前325—前265），在經典巨著《幾何原本》（Elements）中，謹慎地避開無限小。《幾何原本》一直是西方兩千年來的範本。但後來的古希臘數學家阿基米德（Αρχιμήδης，公元前287—公元前212），卻用無限小實驗，在幾何圖形的面積和體積上卓有成就。

宗教戰爭燒到數學的「無限小」

後來希臘被羅馬滅了，而羅馬因異族入侵和宗教愚昧而進入中世紀。《無限小》的故事開場，是文藝復興時的宗教戰爭。1517 年，德國基督教神學家，宗教改革運動的主要發起人，基督教新教信義宗教會（即路德宗）的開創者馬丁•路德（Martin Luther，1483－1546）在當地教會的門上貼出布告九十五條論綱，列出反對贖罪券的九十五條論點，徵求學術的辯論，拉開了天主教和新教長達兩世紀鬥爭的序幕。

1540 年，耶穌會（Societas Iesu）創建在一個天主教開始沒落的時代，羅耀拉的依納爵（San Ignacio de Loyola，1491－1556）和他的弟子們展開一連串復興天主教的行動，但其中最耀眼的成就，卻是在各地區建立的教育學院。

耶穌會的教育體系中，原本並不特別注重數學，但在克拉維烏斯神父（Christopher Clavius，1538－1612）持續努力下，終於成為耶穌會的教育重心。耶穌會重視數學，因為數學是一種以邏輯步驟說出真理、無人能否定其證明結果的學科，但這時的數學，仍以歐幾里得數學理論為主。

1544 年，阿基米德作品的拉丁文版在瑞士巴賽爾出版，學者接觸到他對無限小的研究。十六世紀末至十七世紀初，歐洲數學家對無限小的興趣死灰復燃。

然而，耶穌會中負責裁決理論的「總校訂」（Revisors General）室，發表了一連串針對無限小的公開譴責。他們認為這個概念危險又具顛覆性，對世界是一個有秩序的地方，而且由一套嚴格而不變的規定所治理的這個信仰有威脅。如果接受了無限小，耶穌會害怕整個世界都將墮入混沌。

虔誠的教徒伽利略（Galileo Galilei，1564－1642），也是當時最偉大的科學家。他提出對無限小、不可分量的詮釋，槓上了耶穌會和教廷。伽利略的老友當上教宗烏爾班八世（Pope Urban VIII，1568－1644），他公開支持伽利略及其追隨者，1623－31年是伽利略在羅馬如魚得水的自由時期。然而1631年，瑞典新教國王古斯塔夫•阿道夫二世（Gustav II Adolf，1594－1632），與神聖羅馬帝國相爭開戰，節節獲勝，改變了歐洲勢力平衡。

在傳統主義者的節節進逼之下，烏爾班八世一改初衷，不再支持伽利略。耶穌會總校訂室，禁止了無限小的概念，宣布永遠不能教授這個理論，甚至連提都不准提。伽利略最終被送進宗教審判所，人生最後十幾年都在軟禁中度過。

伽利略的弟子卡瓦列里（Bonaventura Francesco Cavalieri，1598－ 1647）與托里切利（Evangelista Torricelli，1608－1647）持續提出不可分量和無限小的理論證明，更持續增強耶穌會想要壓制這個矛盾理論的決心，耶穌會和支持伽利略的銳眼學會（Accademia dei Lincei）之間，為了維持歐幾里得幾何學理論或迎接新的無限小方式而開戰。

支持歐幾里得幾何學論點的耶穌會數學家，與支持無限小與不可分量學說的耶穌教團，雙方舌戰和筆戰不休。表面上是數學論戰，實際上耶穌會數學家還為了護衛神學上的論點。《無限小》揭示了這種禁令背後的深刻背景，通過耶穌會和銳眼學會之間交戰的驚心動魄故事，說明耶穌會如何拼命努力帶領飽受戰爭蹂躪的歐洲回到維穩和諧和天主教專制秩序，可是卻犠牲了義大利的藝術、數學和科學發展。

英國的崛起

由於耶穌會成功地禁止在義大利教授無窮小的概念，《無限小》的故事舞台，轉到原本比義大利落後的英國去。《無限小》指出，在義大利，無限小的挫敗預告了這個國家主導歐洲文化的朝代已經結束；而在英國，無限小的勝利則幫助了這個原本落後的島國走向了世界首個現代國家之路。

英國內戰和空位期當時的民不聊生與內部動亂，令卡文迪許家族的家臣，威權主義的十七世紀的哲學家霍布斯（Thomas Hobbes，1588－1679），寫下哲學傑作《巨靈論》（Leviathan），是法律、秩序的有力倡導者。和天主教神權專制不同的，霍布斯的解決空位無政府狀態的方法，是要人民交出權力給專制君主，來保護他們免受戰爭和混亂。但與天主教的專制相同的，霍布斯的目標是維穩和諧以維護和平。無論霍布斯和耶穌，都把自己的政治理想訴諸歐幾里得幾何，試圖以其有序的演繹證明產生絕對真理。

但在數學家瓦里斯（John Wallis，1616－1703）的眼中，數學毫無貴族氣息，徹頭徹尾就是一個得到有用結果的實用工具。瓦里斯是第一個使用 ∞ 這個符號的數學家。也因如此，他和「隱形大學」的夥伴使用數學的方式與霍布斯大相逕庭。「隱形大學」後來收到英王查理二世的許可狀，成為聲譽卓越非凡的「皇家學會」（Royal Society）。

《無限小》指出，歸納法和實驗數學，讓皇家學會的會員與英國菁英分子逐漸將這種開放討論與有彈性的態度應用到學術與政治立場上，無限小的理論終於成為微積分與許多現代數學、現在科學理論與科技的基礎。英國邁上君主立憲之途，各種科學研究和科技也不斷開花結果，於是英國成為歐洲最先現代化的國家。

牛頓（Sir Isaac Newton，1643－1727）以無限小的理論做實驗，發展出微積分的技法，和萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646－1716）共同創立了微積分。牛頓出版了《自然哲學的數學原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica），徹底改變了物理學的樣貌，也從此讓所有理科生飽受微積分的折磨。剛讀《無限小》時，我壓根兒忘光了微積分和無限小的關係，只有讀到後來才依稀想起老師提到的「極限」等等。

雖然，我還是讀不懂《無限小》裡的數學，可是《無限小》仍是本很具啟發性的好書，從中可見我們人類在認識自然時，那些偏見與固執，是何等強大。政治師和宗教為了維穩及和諧干預學術發展，只能取得一時的和平，然後換來長久的落後。還有，科學的發展中，常常是柳暗花明又一村，保持一個開闊的心胸是多麼困難但重要的。

本文原刊登於閱讀‧最前線【GENE思書軒】，並同步刊登於The Sky of Gene。