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數字紅樓夢 參—輸了加碼,就永遠不會輸?

本文出自《超展開數學教室
Photo credit: 超展開數學教室

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寶玉去了黛玉的瀟湘館,大門深鎖,屋內黑壓壓地,喚了黛玉的名字,也不見人來應門。寶玉在瀟湘館前來回踱步,一陣涼風吹過,寶玉拉緊了領口,想想,黛玉身體不好,要是在外面著涼了,那他真是罪過了。

忽然,一個可能的地點從寶玉腦海裡閃過——黛玉葬桃花之處。

寶玉來到花塚附近,果然沒錯,遠遠便聽到女子的啜泣。走近一瞧,除了黛玉在那兒哭外,不知道為何三妹探春也在,陪在黛玉身旁安慰她。探春一抬頭看見寶玉,再看見他的手足無措的神情,立刻追問:「寶哥哥,你怎麼又把黛玉姐姐弄哭,還不快來安慰她。」

「這回不甘妳寶哥哥的事,是我在窗邊聽到他向襲人分析賭博,聽到最後發現,連賭博這樁事,也講究家世,有錢的人才會贏。我想起老家的境遇,淪落到寄人籬下,不禁悲從中來。」

探春聽她這樣說,也不知道從何安慰起,畢竟她正是黛玉口中寄人籬下的屋主,黛玉心思七拐八彎,可別一個不小心,讓她覺得自己話中帶刺。探春對寶玉使了使眼色,寶玉走過來,坐在黛玉旁邊,拿出他方才想好的台詞:「表妹,妳是我們家的一份子,怎麼算寄人籬下呢。再說,方才我跟襲人分析的數學,其實不全然是這樣的,我有些方法還沒跟她講,今個兒我告訴妳,包管妳以後不管跟誰賭博,都會贏錢。」

黛玉擦了擦眼淚,看見寶玉似笑非笑的表情,一臉期待黛玉追問的樣子。

Photo credit: 紅樓夢百科

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「寶哥哥,你就快說啊,這麼厲害的方法我也想聽聽。」

「探春可能不適合,妳比較喜歡刺激,比起保證會贏錢,我這方法不能讓人贏大錢。不過我可以告訴妳一個別的方法,讓妳平常可能會輸小錢,但一贏,保證贏大錢。」

「好啊好啊,小輸小贏的確不痛不癢,既然都花時間了,當然要贏個大的回來,快告訴我吧。」

寶玉繞到兩人面前,取出賭具,他說:「我做莊,你們倆分別跟我對賭,讓妳們看看。我給妳們的妙計很簡單,黛玉每次下注,如果前一把輸,這一把就加碼,如果前一把贏,這把維持不變。探春剛好相反,如果前一把輸,這一把下注維持不變,如果前一把贏。這一把就加碼。」

「這樣就能像寶哥哥說的那樣,黛玉姐姐保證贏錢,我則有可能輸錢,但贏錢就是大贏?賭博不都是機率,有輸有贏,平均起來沒輸沒贏嗎?」

受到寶玉影響,探春對數學也稍有理解。寶玉看見黛玉手伸進衣服裡找東西找半天,她還沒發現把錢遺失在他的怡紅院門外,寶玉裝傻地說:「沒關係,不然我先解釋給妳們聽,你們評評看合不合理。」

寶玉繼續解釋:「舉個例子來說,假設我們連續賭四場,每一場輸贏機率各半,四場下來,有輸有贏,共有16種可能。剛才寶姐姐跟我賭時,每一注的賭注都固定。整理一下可以發現,有6種可能最後沒輸沒贏,各有4種可能會贏2兩銀子或輸2兩銀子。贏4兩銀子跟輸4兩銀子的次數就是全輸或全贏,各都1種可能。輸錢跟贏錢的比例,剛好對稱。」

「這該怎麼算出來?」

探春發問,寶玉拿起一片銳利的磚瓦,在涼亭的地板上畫出一幅圖:

Photo credit: 超展開數學教室

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「這得靠二項式定理來分析……嗯,有些複雜,我們改用楊輝三角形好了。」

寶玉忍不住賣弄了一下專有名詞,奈何探春跟黛玉完全沒注意到。討了個沒趣,寶玉只好開始用三角形的方式,依序一行行寫下數字:

Photo credit: 超展開數學教室

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「賭四把,就對應到第四層的1、4、6、4、1,即是輸4兩銀子、輸2兩銀子、沒輸沒贏、贏2兩銀子、贏4兩銀子的各別次數。

但要是表妹照著我建議的方法『輸錢就加碼』。想像一下,就算前三盤皆輸,虧了1+2+4=7兩銀子,但只要下注8兩銀子的第四盤贏了,輸多贏少,還是翻盤。以剛才的方法整理起來,16種可能裡只有4種可能會輸錢,例如連輸四場,或是贏一場後連輸三場。剩下的12種可能都會贏錢,只是贏得不多。」

黛玉低頭思考,寶玉轉頭對探春說:「我推薦探春的方法剛好相反。就算連贏三盤,賺了7兩銀子,只要第四盤一輸,就會倒輸1兩銀子。但反過來說,假如能一直連贏下去,最高可以一口氣贏15兩銀子。」

探春發問:「可是寶哥哥,你先前給我看的洋人數學書提到,賭博是機率事件,最後的結果會趨近期望值,不管怎麼賭,應該都要相同啊。為什麼你可以靠改變策略,得到不同的結果呢?」

「因為期望值,還不足以完整描述整個隨機事件。同樣的期望值,同樣的可能狀況組合,有可能會對應到完全不同的機率。方才我建議你們的,無法改變期望值,但可以改變各種狀況的機率,達成『容易小贏,但有機會大輸』,跟『容易小輸,但有機會大贏』的結果。」

沒說話的黛玉這時忽然嗔責寶玉:「原來如此,寶哥哥你好狡猾,我照你的方法下注,雖然不容易輸錢,但一輸,有可能會輸到15兩銀子,就算機率小,但輸這麼大一筆數目,我才不跟你玩呢。」

寶玉連忙解釋:「不不,表妹我們舉的例子是以賭四盤為例。實際操作時,要是你真的連輸四盤,沒關係,可以繼續賭下去,下一盤加碼到16兩銀子,要是一贏,不就又贏回來了嗎?這方法好就好在,只要沒有賭注上限,不論怎麼連輸最終都會有贏錢的那刻。贏的金額,剛好是第一次下注的數目。妳不信的話,我們明天一早就去找大家來玩玩看。」

「可是,要是一直輸下去,不但錢會輸少,賭本還得增加,我怕我沒那麼多籌碼可以賭。」

「沒關係,到時候我借妳就好了。」

寶玉拍胸脯保證。聽了這話,雖然黛玉心想「這麼說來,最後還不是在比誰的資本雄厚嗎」,但看見寶玉講了這麼一大番道理,只為了討她開心,心頭一喜,也不計較了。

本文出自《超展開數學教室》,臉譜出版社出版。

Photo credit: 王弘力〈 清走月亮〉

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關於作者

賴 以威

賴以威

數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室