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數字紅樓夢 貳—賭博重要的是資本,不是運氣

2015/05/08 | | 標籤:
本文出自《超展開數學教室
Photo credit: 超展開數學教室

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馬桶事件後,緊接著過年了。

賈府瀰漫著熱鬧的年節氣氛,大夥兒淡忘了馬桶的存在,馬桶君孤零零地待在怡紅院裡,由當時還沒被王熙鳳帶走的ㄚ環小紅照料著。

大年初五晚上,各項過年節目大抵上告個段落,正處在一種祭典剛結束,卻又尚未銜接回正常生活的交界。素來喜歡熱鬧的賈寶玉,想抓住過年的最後一截尾巴,又想趁機讓眾人體會數學的魅力,便提議到怡紅院玩牌。

「寶兄弟會玩牌嗎?」

寶釵邊問,邊流利地整理牌子。身為大觀園裡最聰明的女眷之一,她不擔心輸錢,只擔心贏寶玉太多。

「不大會,不過熙鳳姐姐跟我說過,就算是賭博,只要我全力以赴,自然會有神明保佑。因此,」

寶玉回頭跟襲人使了個眼色,襲人微微欠身,跟晴雯走入寶玉的廂房,出來時兩人手中捧了幾十塊金元寶,襲人腰裡還插了厚厚一疊銀票。

「既然要玩,就得全力以赴,這是我的賭本,寶姊姊,你要拿錢,我叫晴雯提燈趕去蘅蕪苑幫你拿。」

聽到這話,晴雯閃過不滿的神情,這麼晚了,外頭又冷,任誰都不想去跑這一趟。寶釵細心,馬上注意到了。她本來手頭就沒寶玉寬裕,又不想使喚晴雯,怡紅院的丫鬟各個是寶玉的心頭肉,襲人還好,這晴雯向來性子高傲,要是得罪了她,沒準到時候,再寶玉身旁碎嘴,派了自己的不是。

「沒關係,我不喜歡玩太大,這筆銀子輸光了,我就不玩了。」

寶玉點了點頭,他不是在同意寶釵的話,而是再跟自己確認,寶釵輸定了。

Photo credit: 王弘力〈教坊自樂〉

Photo credit: 王弘力〈教坊自樂〉

幾刻鐘後,鬱悶的寶釵獨自走在回蘅蕪苑的路上,思索為何自己不僅輸了,還真輸得一乾二淨。她不懂,明明自己的牌技比寶玉強那麼多,偶爾還能從銅鏡上偷看到寶玉的手牌,她理當占盡優勢啊。

另一方面,怡紅院裡,寶玉把贏來的錢分給襲人和晴雯吃紅,解釋他贏錢的原因。

「我的賭本是一萬兩銀子,寶姊姊只帶了一百兩銀子,我一看到,就知道只要一直賭下去,我把她贏光的機率高達100/101。用代數來看,我的賭本a,寶釵的賭本是b,假設我們倆每一盤勝負的機率各是一半,我贏光她的機率就是a/(a+b)。」

寶玉望望襲人,她臉上堆滿了溫柔,專心在聽寶玉講話,但顯然完全沒聽懂。

「舉例來說,假設我開局有3兩銀子,寶釵有2兩銀子。再不考慮平手狀況下,我跟寶釵的對賭的前幾局結果會長這樣。」

寶玉拿起文房四寶,在寫春聯剩下的紅紙上大筆一揮,畫了一張示意圖

Photo credit: 超展開數學教室

Photo credit: 超展開數學教室

「最左邊的第一個方塊是開局,裡面標示著我跟寶釵各自的賭本。第一局結束後,有0.5的機率寶釵會贏,她跟我的賭本關係,會來到第二排的下面(3,2),她手中有3兩銀子,我有2兩銀子,但也有0.5的機率我贏,會來到第二排的上面(1,4),她跟我各剩1兩銀子和4兩銀子的賭本。假設在(1,4)這個位置,到第二局結束後,有0.5的機率會來到第三排最上面的(0,5),也就是寶釵輸光。

同樣有0.5的機率回到開局狀況。 反之,如果是在(3,2)這個位置,可能會進一步變成(4,1),只剩1兩銀子的我距離破產僅有一步之遙,但也有0.5的機率回到開局。」

襲人被這串數學弄得暈頭轉向,心想,原來不只是花氣會襲人,數學更會襲人。雖然聽不懂,襲人最是溫柔體貼,依然耐心聽著,儘管她腦袋裡想的是,還好當初寶玉替她取名字時想到的是陸游的詩詞,要是那時也跟現在一樣想數學,跟數學扯上了邊,名字不知道會有多難聽,花機率嗎?

看到寶玉講得在興頭上,襲人配合地拋出個問題:「但……還是算不出來寶姐姐輸光的機率,這圖看起來得畫個沒完沒了……」

「沒錯,不過我們可以靠變數來描述這個無窮盡的問題。圖上的每個位置,也就是握有不同賭本時,對應到寶姊姊最終輸光的機率都不一樣,要是她此刻賭本多一點,好比說4兩銀子,她得連輸四盤才能輸光,這時,她輸光的機率就很低。但要是她只剩1兩銀子,輸一盤就輸光了。我們來假設寶姊姊手上有i兩銀子賭本時,會輸光的機率各自是pi。」

寶玉在方才的圖,每個方塊上標示了不同的pi

Photo credit: 超展開數學教室

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「開局的是p1;第一局結束後,她剩1兩銀子時是p1,剩3兩銀子時是p3,這三個機率之間的關係是

螢幕截圖 2015-05-09 18.27.02

第二局結束後,要是她沒錢了,輸光的機率即是1;但也有可能回到開局的狀況,此時輸光的機率便一樣是p­1,我們又可以得到一個式子

螢幕截圖 2015-05-09 18.27.36

要是走到(3,2),同樣也會有一個式子

螢幕截圖 2015-05-09 18.28.09

到第三局結束後,開局的式子跟原本一樣就不寫了。最底下的(4,1)則會有等式

螢幕截圖 2015-05-09 18.28.57

之後不管怎麼賭,都只有這幾種可能。四組方程式解四個變數。」

寶玉飛快地解出這四道聯立方程組,答案是

螢幕截圖 2015-05-09 18.29.42

「很有趣的結果吧。可以看見,每一個時刻的分母都是我跟寶姊姊的賭本總和,分子則是我的賭本。換句話說,開局要是時我的賭本是寶姊姊的一百倍大,只要她被我纏住,脫不了身,終究會輸光的。」

寶玉正講得起勁,忽然,窗外傳來一聲悶響,彷彿有東西掉在地上。寶玉推開門一瞧,只見幾塊碎銀子散落在走廊,還有一片手巾。他撿起來一聞,和黛玉縫給他的香袋是同一股氣味,方才在外頭兒的必然是她。看來,是黛玉想來找他賭博,意外聽見這些分析,黛玉跟寶釵一樣聰穎過人,一聽就懂。她領悟自己絕沒勝算,一時感傷就離開了。寶玉將銀子塞進腰間的暗袋,橫豎這幾塊碎銀子,只要一睹,早晚都是他的。比起還錢,他得想個別的辦法讓黛玉開心才是。

寶玉邁開腳步,去追趕黛玉。欲知寶玉如何逗得黛玉破涕為笑,請待下回分解。

本文出自《超展開數學教室》,臉譜出版社出版。

Photo credit: 紅樓夢百科

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關於作者

賴 以威

賴以威

數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室