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一段粉末與孔洞的故事:開口大小和粉末堆積的關係

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文/黃誠熙(Sky Huang),目前為UCLA材料系博士候選人

當我們往罐子中倒入粉末,像是把奶粉灑進奶粉罐裡、把鹽倒進鹽罐裡,或是將較大的顆粒,像是把咖啡豆倒入咖啡機之中,是否有注意過這些粉末、顆粒在罐底的樣子呢?當我們稍微觀察它們,會發現這些粉末在罐子底部堆積,像沙漏一般的形成了一個小山丘。

然而,當我們把畫面放大,觀察粉末的微觀的狀況,會發現這些看似堆積得相當緊實的粉末,其實之間有非常多的空隙!如果我們把這些粉末當成成許多顆同樣大小的球,罐子就像是小朋友的球池,而我們就像高大的巨人,把球倒入球池中,就不難想像在這些小球之間存在這許許多多的空隙了。

在我們的生活當中,有時候會希望增加或減少空隙的比例:譬如說,我們把米倒入米桶中,會希望米桶可以裝的米越多越好,也就是希望空隙的比例越少越好。在工業上這些空隙的控制也就更為重要,若是空隙的比例過少,粉末就可能會產生結塊。

因此,我們可能會想知道,有什麼因素會影響空隙的比例呢?也就是說,我們會想知道如何可以讓粉末堆積得比較緊密,或是比較蓬鬆。

這種現象能以電腦模擬的方法來研究,稱為離散單元法(Discrete Element Method, DEM)[1][2][3]。這種模擬是從分子動力學模擬(Molecular Dynamics Simulations)演進而來的。

飄下的粉末被考慮成一顆一顆性質相同的圓球,當兩顆球碰撞在一起的時候,會藉由給定的作用力互相作用,這些作用力用來模擬兩顆球碰撞之後彈開,遠離彼此,或是兩顆球表面互相摩擦而減緩彼此的速度。罐子、瓶子等容器則被模擬成一個空心的圓柱體,使用類似於圓球的作用力和撒入的球作用。藉由這種電腦模擬方法,我們可以研究使用不同撒入粉末的方法對於顆粒間緊密程度的影響。

Kang, et al., Computers and Geotechnics 39, 98 (2012) [4]

Kang, et al., Computers and Geotechnics 39, 98 (2012) [4]

可能會影響顆粒間緊密程度的其中一種因素是撒粉末的撒入口大小。想像粉末是從一個開口「流」入容器中,那開口的大小就有可能影響緊密程度。因此,我使用離散單元法,做了一系列的模擬,研究撒粉末的開口大小對於粉末堆積的緊密程度的影響。

Landry et al., PRE 67, 041303 (2003) [1]

Landry et al., PRE 67, 041303 (2003) [1]

模擬的計算是使用LAMMPS分子模擬套裝軟體進行模擬[5]。模擬情況就像上圖所示。圓柱罐子的半徑為10,而撒入的開口為一圓盤型的空間,分別使用四種不同的開口半徑r=2, 4, 6, 8撒入20000顆圓球。在此模擬中,空氣阻力造成的影響忽略不考慮。以下是實際模擬過程的影片:

r=2 (較小開口)

r=6 (較大開口)

從影片中可以發現開口變大的時候撒顆粒的速度比較快。下面一張圖為圓柱內顆粒數目隨時間的變化的圖,橫軸是時間,縱軸是數目。由於撒入的顆粒數目均為20000顆,因此四個模擬都在一樣的數目停止。然而,到達所花的時間不同:r=2噴嘴小,花的時間大約是r=8的16倍(半徑差4倍,面積差16倍),符合直覺。

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接著我們就可以來研究緊密程度。首先必須要定義緊密程度:在材料科學上,緊密的程度是藉由堆積因子(Packing Factor)來描述。

我們知道所有的體積=球佔有的體積+空隙的體積,因此,我們可以定義堆積因子= 球佔有的體積 / 總體積,這個堆積因子越大,球堆積的情況就越緊密。最緊密的一種堆積方式稱為最密堆積(Close Packed),其堆積因子約為0.74,堆疊方式如下圖:

維基百科圖片 [6]

維基百科圖片 [6]

下圖為噴撒結束後堆積因子隨堆疊粉末高度的變化過程,橫軸是不同的高度,從0~100顯示越來越高,縱軸是區域內的堆積因子,而四種不同顏色的線條分別代表不同大小的開口大小,左下方小圖則是放大高度0~60之間。

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首先看到堆積因子大概是在0.58左右,是合理的情況,因為粉末是隨機的堆積,因此無法達到最密堆積的緊密程度。接著發現在高度大約50的位置曲線急速下降至0,是粉末的累積的高度。

來比較不同開口半徑的堆積因子,發現開口越大緊密程度越高,例如說r=8足足比r=2大了0.02。這結果似乎蠻符合直覺的,從影片中我們可以看到,開口小的情況下掉落的顆粒會先落在中間區域失去了動能慢慢滾落旁邊區域,所以沒有足夠的穿透空隙能力;如果一次掉落很多顆粒到表面,那動能很大的球會互相穿透空隙而填滿孔洞。

模擬中沒有考慮空氣阻力影響,如果加入了空氣阻力,那小球的質量就會影響結果(註一)。加入空氣阻力之後,我們就可以研究若是開口不是垂直向下,而是有一個側向的角度時,堆疊的緊密程度的變化。

另一個相關的研究議題是所謂「巴西豆效應」。人們發現一個裝著巴西豆和麥片的罐子,若是將其上下搖動,巴西豆會慢慢地往上移動,最後上層會全部充滿巴西豆,而麥片則是會沉在底部。其原理是在輕微震盪的過程中較小的顆粒會順著大顆粒中的縫隙「沉」下去,而大顆粒就因此而浮了起來。然而,真正的機制目前科學家仍然不是完全了解。

  • 註一:在沒有空氣阻力的情況下,重力、反彈力,以及摩擦力都正比於質量,因此在模擬中作用力其實是可以互相比較,因此質量m就可以互相消掉而不是決定因素;空氣阻力則和質量沒有關係,僅和物體運動的速度有關。因此,加入空氣阻力之後質量就不能互相消掉,而成為一個因素。不同的質量會造成降落中的球體有不同的「終端速度」,而因此,使用不同顆粒質量將會大幅改變撒粉過程中觀察到的現象,以及堆疊的結果。

參考資料:

  • [1] James W. Landry, Gary S. Grest, Leonardo E. Silbert, and Steven J. Plimpton, “Confined granular packings: Structure, stress, and forces”, Physical Review E 67, 041303 (2003)
  • [2] Leonardo E. Silbert, Deniz Ertas, Gary S. Grest, Thomas C. Halsey, Dov Levine, and Steven J. Plimpton, “Granular flow down an inclined plane: Bagnold scaling and rheology Leonardo”, Physical Review E 64, 051302 (2001)
  • [3] Leonardo E. Silbert, Deniz Ertas, Gary S. Grest, Thomas C. Halsey, and Dov Levine, “Geometry of frictionless and frictional sphere packings”, Physical Review E 65, 031304 (2002)
  • [4] Dong Hun Kang, Tae Sup Yun, Yun Man Lau, Yu Hsing Wang, “DEM simulation on soil creep and associated evolution of pore characteristics”, Computers and Geotechnics 39, 98 (2012)
  • [5]LAMMPS Molecular Dynamics Simulator
  • [6]Cubic crystal system/ wiki

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關於作者

黃誠熙(Sky Huang)

黃誠熙(Sky Huang), 目前為UCLA博士候選人。