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公設化集合論的奧秘(13) 追查有理數失蹤之謎

credit:wiki

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「一尺之棰,日取其半,萬世不竭」       莊子

如果我們把莊子以上的想法稍作改變,不要把木棍每天鋸掉一半,而是在本該鋸掉的地方刻上一道細線,這樣一直刻劃下去,有一天是否能把木棍劃滿呢?如果你拿一枝美工刀實際去做的話,幾秒鐘刻上一道刀痕,估計木棍很快就會佈滿刀的刻跡,因為刻痕是有寬度的。若是刻痕真能像幾何學所說的那樣寬度等於零的話,直覺上木棍或許不會被蓋滿,在取1/2不斷縮小的眾多段落裡總是會有間隙存在。

但如果增加刀痕的切刻密度,比如把棍子按1/3比例切刻,然後將被切成1/3的部分再切1/3這樣無限執行下去呢?若將1/4, 1/5, 1/6, …, 1/n , … 的切刻比例都加進來如法炮製呢?你的直觀還能那麼確定棍子不會被刻痕佈滿嗎?

讓我們回到那個由無限顆白沙顆粒所形成的海灘,還有那條發出橙色亮光的實數線,數學證明告訴我們,這些與有理數等量的沙粒確實無法填滿實數線(請參考《公設化集合論的奧秘(11)》),同理以上的方法也無法將刻痕佈滿莊子家那根棍子。

僅管我們在《公設化集合論的奧秘(11)》中已經證明實數是不可數的,也就是說實數比有理數多,但我們並不清楚實數到底比有理數多多少?將這些美麗的白沙填充到橙色的實數彩虹時,彩虹到底變白了多少?是整個實數彩虹都呈現灰白狀,還是只有白色的帶狀,或者更像量子力學的双狹縫實驗中的細干涉條紋線呢?

答案我們前文已經說過,實數彩虹完全不會改變顏色,那似乎暗示無限顆白沙就像憑空消失一樣,即使請菩提祖師加持讓每顆沙粒再變成無窮的沙粒也於事無補,無數美麗的白沙消失在實數線的橙光之中。於是我們面臨一宗最詭異的疑案,這些數量等同於一切有理數的美麗白沙為何消失了?它們跑到哪裡去了?有數學上的方法能說明這個怪異現象嗎?

要破解這件玄案,首先要知道無數白沙失蹤等同於有理數失蹤,因為它們是等量的,有著相同的基數。所以我們的目標是要追查失蹤的有理數,看它們為何消失,但一個好的偵探不會被表象蒙蔽,或許這些有理數並沒有消失,只是被藏了起來罷了,甚麼情況下能將這麼多的東西藏起來?除非有比它們多得多的東西將其淹沒,所以我們才看不到有理數,讓我們來驗證這個猜測是否屬實。

由於已經證明整體實數跟(0, 1)區間裡的實數一樣多,所以只要處理開區間(0, 1)就相當於處理了整個實數。假設這個區間內所有有理數的集合為S,因為其尺寸為可數無限,所以我們可以將其成員編碼成S={x1, x2, x3,…},S就是灑到實數線上的沙粒集合。接著找一段1/10長的開區間I1將第一粒沙x1包住,然後用更小的一段 1/100長的開區間I2將第二粒沙x2包住,依此類推,我們用10n 長的開區間In來覆蓋第xn粒沙。這樣做的結果就是用來覆蓋S元素的區間總長必定大於x1, x2, x3, …的總和,因為每段In總是把某個xn覆蓋住。

現在我們把所有的In加起來看看占有多少比例,它等於:

1/10 + 1/102 + 1/103 +… + 1/10n   +… = 1/9

用簡單的等比級數公式就可以得出以上的結果。這個結果令人驚訝,因為我們發現沙粒的總和S頂多只占有區間的1/9,其餘的部分都不屬於S,合理的猜測就是8/9以上的區域屬於無理數的領地。

但更驚爆的事情還在後面,第一個開區間I1的長度1/10是我們任意選取的,我們可以選得更小,比如說1/102同樣可以包住x1,之後的區間長度也是依比例遞減。這樣覆蓋S所有元素的開區間總合就等於:

∑In = 1/102 + 1/103 + 1/104 … + 1/10n   +… = 1/90

經過這個調整,有理數S所占的比例只剩不到1/90,其餘89/90以上的區域都是無理數。

敏銳的讀者已經發現,我們可以將選取的覆蓋區間不斷縮小,因而有理數集合S所占實數區間(0, 1)的比例也就會依照1/900, 1/9000, 1/90000逐漸下降而最後趨近於0。難怪那麼多沙粒都消失不見,原來與實數相比它們所占的比例是零。

這是甚麼意思呢?這是不可數無限集合最深奧難解的性質之一,雖然同屬於無限集合,但若把有理數全數放到實數堆裡的話,它們將完全被淹沒而看不到蹤影。有理數的「數量」跟實數相比實在太過渺小,幾乎可以忽略不計,這就是整個白沙星球「失蹤」的真正原因。

經由以上的推演,我們不但證明了實數比有理數多,還進一步知道由於它們之間懸殊的比例,導致有理數無法被觀察到而造成失蹤的假象。那麼這種遠遠超出我們直觀經驗的不可數無限集合 R和由全體自然數集合N所形成冪集合 P (N) 是否一樣大呢?我們能找到方法來證明它們誰大誰小嗎?這只有等下回再分解了!

關於作者

昌黎

中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。