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擇偶的最佳策略:給【徵婚啟事】中隋棠的建議

隋棠

作者 / 林澤民

人生的旅途中,適合擇偶的年齡是有限的。在這段期間,妳無須登【徵婚啟事】都可能陸續遇到好幾位適婚的對象。雖說女人二十一枝花,但太早結婚,難保白馬王子在婚後才出現,只能恨不相逢未嫁時;而太晚結婚,又怕使君已有婦,顧影徒嘆陌上花開遲。假如妳在同一時間只遇見一位適婚對象,而必須決定是否許諾終身,那麼是否有一種策略能夠讓妳有最大的機會「撿到」最佳的對象呢?

說「撿到」,是因為這個問題的數學結構,類似於在一條小徑上散步撿石頭:規定只能撿一顆,不能丟棄再撿,也不能回頭再撿。那麼要如何才能撿到最大的石頭呢?這個問題,提供了與擇偶問題相同的困境:撿得太早,怕前面還有更大的石頭;太遲,怕已經錯過了最大的石頭。面對這個困境,出手的時機便是一個重要的策略問題:如果預先設定一段觀察期,在此期間只觀察而不出手,而在其後則當機立斷見好就撿,那麼觀察期應該多久才是最適宜呢?數學上,這是一個極大化的問題,解決的方法是將觀察期設為未知數,用這未知數來計算撿到最大顆石頭的機率,也就是把得手機率作為觀察期的函數,然後求出讓此函數有最大值的觀察期。

假設小徑為一條長度固定的線段,而石頭的位置呈現統計上的均勻分配,數學家對這個問題的解答是:在大約前1/3=0.33333的路段上,仔細觀察石頭的大小,但不要撿起任何石頭。過了這一段觀察期,記住所看到最大顆石頭的大小,繼續前進。此後,一旦看見一顆比觀察期間最大石頭還大的石頭,要毫不猶豫地撿起。如此,則在路徑的終點總結清算,妳撿取到最大顆石頭的機率為最大。 當然,妳運氣不好的話,可能再也碰不到更大的石頭,因此只好在路徑的盡頭撿起最後一顆石頭。這個策略只保證妳撿到最大石頭的機率為最大,它不能保證妳一定撿到最大的石頭。

更精準的計算顯示,如果路徑甚長因而石頭甚多,則最佳觀察期為整條路段長度的1/e=0.36788。這裡e=2.71828…是所謂納皮爾常數或尤拉數(Napier’s Constant or Euler’s Number)。這機率比1/3還要略為大些。根據這個策略,撿到最大顆石頭的機率恰巧也趨近於1/e=0.36788。相對而言,當石頭數目為n,隨機撿取能撿到最大顆石頭的機率為1/n。 當n很大時,1/n趨近於零。這個策略能夠達到1/e的得手機率是相當令人驚訝的。

回到擇偶的問題,假設男性的適婚年齡是25-40歲,有15年的擇偶期,則最佳的擇偶策略是在30歲以前不要結婚,只注意觀察25-30歲這五年間所遇見的可能對象;30歲以後,一旦遇到更好的對象,不要猶豫,立刻結婚。女性的適婚年齡也許早些,算20-35歲的話,則25歲前不要結婚,要等到25歲後再當機立斷。依此策略,不論男女能夠「撿到」最佳另一伴的機率會比1/3稍大些。在這最佳擇偶策略下,如果在觀察期錯過最佳對象,那也只能說是沒有緣份了。

數學家 Frederick Mosteller 在Fifty Challenging Problems in Probability一書中解此題時,舉了一個簡單的例子。假設選擇過程中共遇見四個對象,以 1/2/3/4 代表等第,數目越大越佳,則依遇見的順序,共有24種可能情況:

1234 2134 3124*+ 4123
1243+ 2143*+ 3142*+ 4132
1324+ 2314+ 3214*+ 4213
1342+ 2341+ 3241*+ 4231
1423* 2413* 3412* 4312
1432* 2431* 3421* 4321

如果妳隨機選擇,則撿到最佳對象的機率是1/4 或6/24。那麼如果採用有一段觀察期的策略,得手機率又是如何呢?依觀察期的長短,我們可以檢視以下各種策略的良寙:

  • 策略零:觀察期=0/4,亦即第一次遇見對象便立刻結婚。得手機率=6/24。
  • 策略一:觀察期=1/4,亦即Pass第一個,此後一旦看到比第一個更大的則立即撿起,如未看到,則撿最後一個。根據此策略,上列24種可能情況中,有11種(*標示者)可以撿到最大的石頭,所以得手機率=11/24。
  • 策略二:觀察期=2/4,亦即Pass前兩個,此後一旦看到比前兩個更大的則立即撿起,如未看到,則撿最後一個。根據此策略,上列24種可能情況中,有10種(+標示者)可以撿到最大的石頭,所以得手機率=10/24。
  • 策略三:觀察期=3/4,亦即Pass前三個,撿起第四個。根據此策略,上列24種可能情況中,6種可以撿到最大的石頭,所以得手機率=6/24。

很明顯的,策略一是最佳策略,因為其得手機率=11/24為最大。此策略的觀察期(1/4)雖然不到1/3或1/e,但已是所有可能值中最接近的了。11/24=0.45833的機率則比1/e還大。當適婚期中遇見的對象越來越多,最佳的觀察期會趨近於1/e,贏得佳偶的機率也會趨近於1/e。假如妳估計會有n=10人來追求妳,Mosteller的公式顯示妳應該跳過前三人,從第四人開始,只要比前三人更好就立刻答應。如此,則撿到最佳郎君的機率將高達0.399,已經很接近1/e了。

這個擇偶最佳策略的解法假設妳沒有夢寐中的完美對象,如果有,相信妳在作選擇時會以這個絕對標準來衡量。這種情況還是可以用數學算出最佳策略,但那必須要寫另外一篇文章了。

 

原刊載於Tse-min Lin 的部落格

關於作者

林澤民

台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士,現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心「政治學研究方法訓練營」的教學工作,並曾於2012年及2014年在台大政治系開授「理性行為分析專論」課程。林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。