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樂透:一定會中獎,但機率小到不行!-《不大可能法則》

不大可能法則書封有一件事深受必然法則影響,只是我們或許沒有察覺,那就是樂透。

根據我手上的《新牛津英語字典》(New Oxford Dictionary of English),樂透的定義為「藉由販售編號票券並發獎金給持有某一隨機選中之號碼的票券者來集資的方式」。這套作法由來已久,同樣的原理也早就被人用來挑選陪審團成員和理事會代表。一七六三年,西班牙國王卡洛斯三世(Carlos III)推出樂透來募款,以資助西班牙部隊參與拿破崙戰爭。然而,樂透經常會讓發行者和道德上反對樂透的人彼此對立。的確,由於樂透中獎率極低(還記得那一株草嗎?),不少人認為這只是一種從窮人和最買不起樂透的人身上榨取金錢的手段。

目前的樂透彩券上,通常會有一小組從一大群數字中選出的號碼。例如英國國家彩券上有六組號碼,購買者可以挑選從一到四十九的整數;芬蘭樂透彩從三十九個數字中選出七個;美國賓州凱許五號彩券,從四十三個數字中挑出五個;佛州新范特西五號彩券則從三十六個號碼挑選五個。有時為了方便起見,這類樂透稱為r╲s彩券,其中s是可挑選的號碼總數,r是應挑的號碼數,例如英國國家彩券的s是49,r是6。你手上的彩券要對中由電腦隨機選出的r組號碼,其機率由r和s的數值共同決定。兩者數值愈大,單張彩券的中獎率就愈低,因為從s組號碼中選出r組號碼的可能組合也愈多。購買一張英國國家彩券,中獎(分得彩金)的機率為1/13,983,816,約為一千四百萬分之一。國家彩券的宣傳說得沒錯,你也可能中獎!只是它沒有告訴你,那機率小到不行。[1]

有些樂透彩券會要求購買者挑選兩套號碼,例如歐洲百萬樂透彩券除了必須從前五十個整數中挑出五個數字,還要從前十一個整數中再挑兩個,因此是5╲50+2╲11彩券。美國威力球樂透必須從前五十九個整數挑選五個,再從前三十五個數字挑選一個,是5╲59+1╲35彩券(不過這些數字以往曾經更改過)。隨機選號的威力球彩券,中獎機率是1/175,223,510。

假設你買了一張威力球彩券,也就是從一到五十九中選了五個數字,又從一到三十五中選了一個數字,結果中了頭獎,你可能會覺得自己很幸運。你在挑選號碼時也許有什麼邏輯,如出生年月日,這時就可能用第二章提到的某個因素來解釋。但你也可能是用電腦快選機制挑的號碼(大多數樂透彩都有這種隨機選號服務),這時你或許會說頭獎開出同樣的號碼只是巧合。

然而,要是有175,223,510個人買了威力彩,而且號碼都不相同,那麼絕對可以保證會有一個人中頭獎。因為彩券只有175,223,510個號碼可選,全都被購買者買下了。

這讓你有辦法必中頭獎—只要你錢夠多,買下所有的號碼,一定會有一張中獎。這麼一來,顯然需要強大的動員能力和雄厚的財產,才能買下這上億張的彩券,但不是不可能。事實上還真有人做了。

一九九○年代,美國維吉尼亞州立彩券是從一到四十四中選出六個號碼,頭獎機率是1/7,059,052。這個中獎機率比威力球高多了,只要花費約七百萬美元就能保證買到頭獎彩券,因為所有彩券都在你手上。

一九九二年二月十五日,由於連續數週沒有人中獎,維吉尼亞州立彩券的頭獎彩金飆漲到兩千七百萬美元,創下驚人的新紀錄。其他小獎(部分號碼跟頭獎號碼相同)的總獎金也有九十萬美元,因此總額超過兩千七百萬美元。你可以自己計算:只要花七百萬美元,就能贏得兩千七百多萬美元—不過事情沒這麼簡單,我們晚點再談。

於是,同年二月,一群自稱是國際樂透基金的成員召集了兩千五百位小額投資民眾,湊足了買下所有號碼組合的七百多萬美元。這些投資者多數來自澳洲,但也有來自美國、歐洲和紐西蘭的民眾。

這項工程最困難的或許是動員與調度,因為這些人必須在一週之內買到總價值七百萬美元的所有彩券。國際樂透基金派了二十人小組到維吉尼亞州,從八家連鎖商店旗下的一百二十五家超商及雜貨店蒐購彩券。事實上,由於工程實在太過浩大,他們最後只買到總額五百萬美元的彩券。這真是非常不妙,因為你不難想像他們的焦慮:中頭獎的機率只剩七分之五,不再是百分之百,而且錯過頭獎的機會更超過四分之一。

然而,集資撈獎還有一個更嚴重的風險,並且就算順利達成計畫,買下總值七百萬美元的所有彩券,風險依然存在。那就是可能會有其他人也選中頭獎的號碼。只要有另一人中獎,集資者拿到的彩金就會少一半。事實上,州立彩券過去一百七十次開出頭獎,有十次得主不只一人。雖然只多一人中獎,集資民眾分得的獎金依然可觀,但風險實在不容小覷。

二月那天的頭獎號碼是8、11、13、15、19和20。集資者拿著價值五百萬美元的彩券焦急對獎,結果真的被他們買到了。

然而,如釋重負的感覺沒有持續太久。維吉尼亞州法律為了防止有人買入彩券後高價轉售,規定每張彩券均須在購買的端點當場付款。但集資者有價值三百萬的彩券是直接向新鮮農場超市總部購買,再去端點領取的。集資者坦承不諱,但強調他們也在切薩比克那家開出頭獎的彩券行直接購買了彩券,因此無法判斷那張中獎彩券是在那家彩券行或是向新鮮農場超市買的。

最後,彩券發行商認為證明非常困難,追究只會陷入冗長的訴訟,而且不一定會有明確的結果,因此決定將彩金發給集資者。

本文選自《不大可能法則》,大塊文化出版

參考資料:

  1. 樂透彩的宣傳標語通常自成一格。美國麻薩諸塞州樂透彩的標語只偏離了事實一點點:買了就會中(但忘了提中獎彩券可能沒有半個人買到)。奧勒岡州彩券的標語就有一點遊走道德邊緣了:「買樂透做好事。」科羅拉多州彩券的標語非常簡單:「記得買一張。」北卡羅來納州樂透彩則是不說廢話:「有買才會中。」

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