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公設化集合論的奧秘 (6) 太上老君的葫蘆—無限公設

2014/12/15 | | 標籤:

文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

「無形者,數之所不能分也;不可圍者,數之所不能窮也。」-莊子

在上一篇《建構所有自然數的神奇魔術師—聯集公設》我們解釋了如何利用徹美洛—法蘭寇的三個公設ZF3—ZF5神奇地「製造出」所有的自然數這些自然數本身都是一個集合。但不論我們製造出來的自然數有多大它們仍然是有限的。回想一下用集合所定義的自然數:

0 = Ø = { }

1 = {Ø} = {0}

2 = {Ø, {Ø}} = {0, 1}

3 = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}} = {0, 1, 2}

稍微觀查一下會發現每個自然數都正好等於其內含元素的個數。我們可以將這個程序不斷進行下去所以理論上不論多大的數都可以按這個機械程序製造出來。但就算你服了仙丹可以長生不老,整天啥事不幹坐在那裡製造自然數,終於在某天造出了10的80次方那麼大的數也別高興。因為這個數雖然龐大到缺乏實用價值(它大約等於宇宙所有粒子的數量級),但它仍然是有限的。你若繼續忙一百萬年製造出更大的數,結果仍然一樣,造出來的仍然是有限數。

這或許就是康托之前的絕大多數數學家想法的根源,世界上並不存在無限大的數,也不可能存在無限大的數,因此任何集合都只能是有限的。但無限集合之父康托就是不信邪,他構造出各種無窮集合,卻因此而受到保守派數學家的殘酷打擊,這種學術迫害似的冷暴力讓康托在心灰意冷的情況下鬱鬱以終。

我們知道光靠前五個公設無法「製造出」無限集合還需要其他的新東西才行,於是我們有了第6個無限公設(Axiom of Infinity):

ZF6 x [Ø x y (y x → S(y) x)]

這邊有個新符號S(y),稱之為後繼函數(successor function) 其定義為S(y) = y ∪{y}。在理解無限公設之前我們得先把後繼函數弄清楚,看它到底是用來幹什麼的。

根據定義y的後繼函數等於y集合和以y為元素所成的集合兩者的聯集。如果以上這個定義的解釋聽起來太過複雜那就把這個定義拿來實際操作看看會發生什麼事。我們首先把0放進S(y) 裡看看它會變成什麼樣子。

根據定義:

S (0) = 0 ∪ {0} = Ø ∪ {Ø} = { } ∪ {Ø} = {Ø} = 1

我們發現0的後繼函數值正好是1。現在把1放到S(y) 裡S (1) = 1 ∪ {1} = {Ø} ∪ {{Ø}} = {Ø, {Ø}} = 2,居然碰巧又是2。如果你繼續往下作實驗,把2,3,4…等等都逐一放到S(y) 裡去,你會得到某自然數的後繼函數值正好就是某個自然數之後那個數,直覺點說就是某數的後繼函數值等於某數加1。用集合形式定義的後繼函數S(y) = y ∪{y}正好扮演了基礎算術中自然數的後繼者的功能。它是一個次序系列,0後面是11後面是22後面是3…等等。

依此類推,後繼函數的功能在於從某個自然數導引出後面的自然數,構成一個有序數列。有了這個基本概念再回過頭去看無限公設,你就會明白這個公設是說: 有這樣一個集合x存在,其中Ø是這個集合的元素,並且假如某集合y屬於集合x的話那後繼函數S(y) = y ∪{y}也必然屬於x

這個公設有何巧妙之處呢? 你會發現它就像多米諾骨牌一樣,單用0這張牌就可以推倒所有的牌。ZF6既然說Ø = 0是集合x裡的元素,那麼根據公設的規定1必然也在x裡,現在1在x裡了根據後繼函數的規定,2也必須在x骨牌效應導致0之後的所有自然數都必須在x裡。

稍加觀察會發現這個過程不會在某個數停下來,而是不斷進行下去,因此x集合的元素在骨牌的倒塌效應下包含了所有的自然數而所有自然數是無限的。ZF6讓 我們擁有了第一個無限集合。

故事到此似乎功德圓滿我們才用了一個簡短的ZF6公設就把整個自然數都收進一個集合裡,真有如太上老君的葫蘆,將任何妖魔鬼怪都收攝進去。但對於無窮集合來說,這卻只是剛進入無窮集合的一小步,還有更多的妖魔鬼怪等在前面,這到底是怎麼回事呢? 只好等下回再分解了。

關於作者

昌黎

中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。