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公設化集合論的奧秘 (2) —無中生有的抽象世界

2014/12/05 | |
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credit: CC by Carsten ten Brink@flickr

文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

「天下萬物生於有,有生於無」-老子

我們之前指出用麻袋比喻集合的缺失,但並沒有提出相應的解決方案。繼續往下走之前,我們應該了解集合論公設的重要性。因為它們就相當於集合世界的最高律法,規範著整個集合世界應該遵守的相關規定和守則,它們還規定如何逐步建構出整個集合世界,也就是創造出這個抽象世界的步驟和方式。

我們就先來看看ZF集合論的第一個公設:「外延公設」 (Axiom of Extensionality),用數理邏輯符號表達如下:

ZF1 ∀x∀y [∀z (z ∈ x ↔ z ∈ y) → x=y]

其中∀是邏輯符號「對所有…」。如果你看不懂其中的符號也沒關係,我會用地球語言將這些公設的意義和理論作用解釋清楚。它的意思是說,如果兩個集合擁有相同的成員,那麼它們就是同一個集合,或者說在集合論裡我們就把它們視為等同。因此元素之間的關係如何,每個元素具有什麼特性,不同的元素之間是否能產生像化學變化這樣的作用都不在考慮之內。這就是外延的意義,也就是說我們只關心集合的外觀,那就是集合包含哪些成員,至於元素之間組成什麼樣的內在結構則無關緊要。

這是徹美洛在他1908年的《集合論基礎研究第一部》中的第一個公設。但徹美洛這個最早的版本與後來所採用的ZF系統有些微差異,為了讓大家對它的歷史原貌有個了解,所以我們會在以後介紹完主要的公設之後將其條列出來,以與目前常用的ZF系統做個比較。

既然之前的麻袋比喻不貼切,顯然麻袋裡所裝的蘋果和橘子怎麼看都不像麻袋,那如何詮釋集合?理解最抽象的理念世界卻可以從最世俗的社會組織開始。我們如果把集合看成是一種類似社團的協會組織就好辦多了,其中每個協會都是由登記為其成員的協會所組成。比如說我們有一個中區科學協會,它下面由中區物理協會,中區生物協會和中區化學協會三個社團組成。這三個協會可以視為中區科學協會的組成成員,等於是集合中的元素。

另一方面,中區科學協會又可以與北區科學協會和南區科學協會組成全國科學協會。因此第二個集合,全國科學協會有三個成員(或元素) 。在這個比喻裡,我們把公設看作是社團協會的登記規定和組成辦法,也就是說只要不違反協會登記相關規定就可以任意組成各式各樣的協會組織。

記住以上的比喻,我們來解釋第一個外延公設的意義,那就是「只要協會的組成成員相同,那它就被視為是同一個社團。」我們不關心協會的主旨、名稱、一年辦多少活動、協會主席是什麼人、有多少經費等等,只關心登記為它的成員是哪些子協會。將前面的例子用集合符號來表示就是:
中區科學協會= {中區物理協會,中區生物協會,中區化學協會}。
全國科學協會= {北區科學協會,中區科學協會,南區科學協會}。
以上層級分明的例子有助於我們理解集合與成員之間的結構關係。但有一個小問題,那就是大家會誤以為集合必定受制於這種上下等級關係的結構,猶如企業組織那樣。我們剛剛說過,只要符合登記規定就可以任意組成各種協會,所以理論上沒有禁止將全國科學協會登記成為中區物理協會的成員,因為到目前為止並沒有登記法規禁止我們這樣做,而這種允許或禁止就是集合論公設所要規定的事情。

因此中區物理協會雖然是中區科學協會的成員,看起來整整比全國科學協會低兩級,但它可以把全國科學協會當成自己的元素或成員。而這種登記方式在麻袋比喻中就完全失靈了。不信的話你可以試著在頭腦中想像一下,麻袋中的麻袋如何把最外邊的麻袋套進去? 而且相隔兩層甚至更多層都是目前理論上允許的情況,可見常用的麻袋比喻無法抓住集合論的某些理論結構。

第一個公設規定集合的最根本特徵:它有哪些成員。成員之外的其他事情都不是集合論關心的。第一個公設告訴我們如何對集合驗明正身,規定在什麼情況下集合是等同的。但請注意,目前我們手頭上還沒有任何集合。就像是我們現在只教你如何辨別美鈔但你手上連一張美鈔都沒有,所以你還不知道真正的美鈔長甚麼樣子,也就是說,不知道哪些集合被允許存在。

讓我們先跳過第二個協會登記辦法-分割公設 (Axiom of Separation),因為它涉及著名的羅素詭論,所以暫時放一旁,只要目前不影響我們的協會管理規範就好了。

我們目前急需知道的是哪些協會可以成立,所以來看看第三個空集合公設(Axiom of Null set):

ZF3 ∃x∀y¬ (y∈ x)

它的意思是說:存在一個什麼成員都沒有的集合。你會說,這不就是空殼公司嗎? 正是!有趣的是在集合論裡這種空殼公司不但被允許存在,而且是徹美洛1908年的論文中第一個被設定為存在的集合。

既然允許空頭協會成立那就好辦了。你會想,那我能不能隨便取個名字就來成立一個協會?比如我也來搞個社會學協會,底下沒有任何成員,張三也可以隨手成立個全國股票投資協會,底下也沒有任何成員,任何人是否都可以隨興所致都來開個空頭協會來玩玩呢?集合論是否允許這種詐騙集團滿天飛的「違法亂紀」行為呢?答案是不行!

為什麼這麼掃興?原因無他,因為根據ZF1的「協會管理登記辦法」規定,協會唯一的可辨認特徵在於其成員,所以空頭協會只能有一個存在,而且它就是唯一的一個。沒有任何成員存在的空頭協會被認為都是同一個,所以不會有張三李四你我他等都來開空頭協會這種盛況,這就是空集合的唯一性。

但你很快會發現,只有一個空集合顯然是不夠用的,必須引進能繁衍出其他集合的管理辦法才行,不然集合世界裡只有一家空頭公司根本玩不轉。因此聰明的數學家引進第四個配對公設(Axiom of Pair):

ZF4 ∀x∀y ∃z ∀u [u∈z → (u=x ∨ u=y)]

還是那句老話,看不懂數理邏輯符號沒關係,我會用地球語言為你解釋。以上公設說的是:如果x和y都是集合,那麼就存在一個以x和y為其成員的z集合

這個公設有點像溫和的協會合併辦法,它允許每個落單的協會組成一個具有兩個成員的新協會,我們用符號{x, y}來表示這個新形成的集合。之所以形容這個公設為「溫和的合併」是因為,它雖然允許單個集合的「兼併」,但僅限於兩個,搞托拉斯可不行。

依據這條規定(ZF4)可以形成最多含有兩個成員的集合,所以稱之為配對公設。到目前為止如果沒有引進其他公設的話,那我們理論系統的算術能力最多就只能數到2了,這可能比小學一年級的學生還不如,因為ZF4最多只能允許集合容納2個元素。

但你若仔細思考,會發現我們居然從ZF3的一無所有到口袋可以擁有兩塊錢了,這是一個從無到有的奇蹟,而它只憑ZF3和ZF4兩個公設就得以完成。但這兩塊錢似乎離無限之路仍遙遙無期,如何繼續邁向集合論更豐富的創業之路呢? 那只有等待下回分解了。

關於作者

昌黎

中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。