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公設化集合論的奧秘 (1) —純粹理念世界的萬有理論

2014/11/25 | |
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credit: CC by Nancy Regan@flickr

文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

「無名,天地之始也。有名,萬物之母。」- 老子

當物理學家全心全意追尋能夠統合宇宙四種基本力量(電磁力、強力、弱力和重力)的聖杯時,這個在遠方招手的虛擬理論被賦予「萬有理論」的稱號。如果這個理論真的被找到或「製造」出來的話,那宇宙間的一切物理現象就都能從它推導出來,這是關於經驗世界的萬有理論。

但以物理學為主導的科學都建立在數學之上,也就是說數學是科學的基礎,那麼現代數學又建立在什麼上面呢?美國數學家庫能(Kenneth Kunen) 算是現代集合論的行家,他就認為現代數學的絕大部分都可以從最為人所熟知的徹美洛—法蘭寇系統(Zermelo—Frankel System),即所謂的ZF集合論中推導出來。所以我們可以合理地推論,既然集合論是數學的基礎而數學又是物理學的基礎,那麼集合論就應該是一切科學的基礎。這就是為何庫能稱集合論為純粹理念世界的萬有理論(the theory of everything)。

現代集合論除了充當科學建築物的隱形地基之外,它本身也是20世紀發展最快速的數學分支之一,幾乎絕大部分的現代數學都建立在這套理論上面。此外,19世紀末到20世紀初的許多超酷數學發現都跟集合論有關。

公設化集合論(axiomatic set theory)誕生於徹美洛1908年的一篇論文《集合論基礎研究第一部》(Investigations in the foundations of set theory I)。在此論文中徹美洛提出了七個基本公設(axioms),隨後經由法蘭寇和史柯倫(Skolem)在1922年和電腦之父馮紐曼(von Neumann)在1925年的改進和修定,完善了當今ZF集合論的基本架構。這套理論原來的目的是企圖用精確化的形式語言和公設化方法來重建康托集合論(Cantorian set theory),因為康托在他的集合論裡製造出一個以前的數學理論中都不存在的龐大怪獸家族—那就是無限大。更糟的是,無限大居然不只一種,這就是所謂的康托超限集合(Transfinite Sets)。

康托之前的數學家大多認為一個數不管多大總是有限的,所以無限大根本就不是一個數,只是一種潛在狀態。也就是說你可以把一個有限數目不斷往上加,因此無限大只是一種持續過程,一個永不完結的努力,但它本身絕不會是一個已完成的物件。可是康托卻違反當時的數學行規,認為無限大不只是一種潛在狀態而是一種現成的存在,無限大可以構成集合,它就在那裡,並非只是有限數的持續累加過程。

康托的這種觀點激怒了許多當道的主流數學家,他們痛恨康托這種離經叛道的荒唐「邪說」,必欲除之而後快,而歷史的悲劇往往就是真理確實只掌握在少數人手裡。康托沒有因被打壓而停手,他發現無限大不只有一種而是有許多等級,意思就是說有一種無限大比另一種無限大還要大。這下可頭痛了,既然都說是無限大了,怎麼還能夠比大小?更糟的是,這種大小等級不只一級而是許許多多,事實上有無限多種無限大。康托的目光望向遠方,他要把無限大的等級推到理性的極致…

明白了吧,現代集合論是為了處理這種超級大怪獸才應運而生的,所以沒有談及無限大的集合論只不過是哄小孩的把戲。在一般人的理解裡,集合常被比喻成一種群聚,像是牧場的圍欄一樣將它的牲口圈在裡面。比如八隻羊、七頭牛、兩隻鴨都可以構成一個集合,這些動物就是這個集合裡的元素。這種隱喻又可以簡化成把集合看作一個麻袋,裡面裝的東西稱為元素,比如2個蘋果3支鉛筆之類。

多麼簡單明白的比喻,原來所謂高深的現代集合論就那麼回事!弄兩個圍欄,抓5個麻袋就能懂了,沒上過學的老農夫都能理解。但這種常用的比喻卻是錯的,而且大錯特錯!舉個最簡單的例子,一個蘋果可以分屬於不同的集合,但如果說集合就是裝有這顆蘋果的麻袋的話,那這顆蘋果如何同時放在不同的麻袋中呢?你可能會說不要同時放就行啦,但當我們要表述兩個集合的交集(intersection) 時,用麻袋作比喻問題就來啦。

比如麻袋集合A放了一個蘋果和兩根芹菜,麻袋集合B放了三根香蕉、兩顆草莓和那個蘋果,所以兩個麻袋集合的交集正好是那個蘋果。如果採用麻袋作比喻,那這顆蘋果如何既放在A麻袋又放在B麻袋中呢?你會爭辯說集合中的元素是抽象地歸屬於一個集合,所以那顆蘋果既不是真的放在A袋中也不是放在B袋中,我們只是在想像中將其裝入袋中而已。

乍聽之下似乎言之成理,但這樣解釋不就等於承認將元素與集合的關係看成麻袋與袋中物件的比喻是不恰當的,因為這個比喻連交集都解釋不了,就更別提處理其他更複雜的問題了。所以不管是麻袋或牧場圍欄,或其他類似的將東西圈在一個範圍之內的比喻通通沒有掌握到集合的根本性質。那怎麼樣理解才是正確的呢?什麼樣的比喻才更貼切呢?我們先來看看公設化集合論中的基本假設是什麼。

公設化集合論只允許兩個未定義概念,一個是集合(set) ,另一個是成員(is an element of),用符號∈來表達。集合論中的所有事物都是集合,意思是在集合的宇宙中除了集合之外沒有其他東西。而這些集合之間也只有一種關係存在,那就是∈,對任何兩個事物a、b而言,如果關係a∈b成立,那我們就說a是b的成員或a是b的元素。除了這種成員關係之外集合之間沒有任何其他的關係存在。這就是集合論的宇宙純淨簡潔優美之處,在其中只有一種事物,只有一種關係,其他的一切都是從這裡衍生出來的。

在a∈b成立的情況下,一般教科書會說b是個含有a元素的集合。這樣說原本也沒大錯,但容易讓人誤以為a和b是兩種不同的東西,包含在集合b之下的a叫做元素,包含有a元素的b叫集合,於是就有了我們以上所說的麻袋比喻,麻袋裡的東西(蘋果、麵包、葡萄等)叫做元素,包含元素的整個麻袋叫做集合。

但事實上a和b都是集合,因為剛剛說過在集合論的世界裡所有的東西都是集合,並沒有也不需要集合之外的東西。為什麼會有這種誤導存在呢? 因為所謂成員或元素並不是與集合有別或比集合低一個等級的其他事物,只有當我們用來指稱兩個集合之間的關係時才有所謂成員或元素的稱呼,並非有兩類事物,大的叫集合小的叫元素。

麻袋比喻產生的誤導因此更加突顯,因為麻袋裡裝的往往不是麻袋而是其他不具裝載功能的事物(水果和麵包等),這就容易讓人產生不當聯想,以為集合與其成員之間有著根本差異。公設化集合論厲害之處正在於光憑這兩個基本概念就建立起所需要的一切。

到目前為止我們還未說明什麼才是集合的正確類比,但有一點可以說明的是,公設化集合論將集合和成員都當成未定義名詞,也就是它們本身不具有意義,我們不能問集合是什麼,因為集合本身就是最基本的東西了。集合唯一的意義來源於公設對它們所作的規定和限制。那麼正確的類比到底是什麼?那就等下回再分解了!

關於作者

昌黎

中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。