［TED］關於城市的定律! Geoffrey West: The surprising math of cities and corporations

14 世紀中葉，歐洲各地陸續爆發鼠疫。瘟疫在當時的歐洲並不稀罕，可是這回實在嚴重，大量人口慘遭消滅，後世稱之為「黑死病」。疫情主要發生在公元 1347 到 1352 年，有些學者估計令歐洲在短期內減少 30 到 50% 人口，或許高達 5000 萬人之多。

一項新上市的研究根據花粉分析，卻得到結論：黑死病對歐洲各地的影響差異不小，有些區域確實大受打擊，但是有些地區輕微得多。我們該怎麼解讀這些研究呢？

瘟疫殺死歐洲一半人！真的嗎？

黑死病的病原體是鼠疫桿菌（Yersinia pestis），可藉由老鼠和跳蚤輔助傳播。近年來由遺骸取得古代 DNA 的研究大行其道，令我們得知超過五千年前，便有人感染鼠疫桿菌。鼠疫桿菌能搭乘跳蚤便車，關鍵在於 ymt（Yersinia murine toxin）基因，晚於四千年前的鼠疫桿菌皆已經具備。

• 延伸閱讀：拉脫維亞5000年前，最古早的鼠疫桿菌，源自動物傳染？

歷史上三次大爆發：6世紀的查士丁尼瘟疫，14 世紀的黑死病，以及 19 世紀末的全球流行，人們面對的都是傳染力升級的細菌版本；除此之外，還有多次規模較小的流行。 遺傳變化有限的病原體，在不同時空的疫情差異很大。

歷次鼠疫桿菌導致的疫情中，黑死病的衝擊最大，有些研究甚至認為它消滅當時歐洲 50% 人口。這類死亡率的評估，主要來自歷史資料，如文書、稅務等紀錄；然而，這類資訊來源未必準確，有時文字會誇大不實，和實際數字有所差異。

還有一點侷限在，歷史資料主要紀錄人口聚居的城鎮，可是黑死病那個時候，歐洲超過 75% 人住在城市之外。人擠人的城市碰上鼠疫這類傳染病，通常受害較大，所以根據城市評估而得的結果，也許會高估瘟疫的危害。

另一方面，不同地區的受災程度很可能不同，就像正在進行的 COVID-19（武漢肺炎、新冠肺炎）疫情，遺傳上相同的病毒重擊秘魯，對澳洲的傷害卻相對有限。而黑死病也是如此，既有資料已經足以看出，相比於義大利深受打擊，波蘭更加輕微。幾處地區的狀況，不能擴大代表整個歐洲。

花粉大數據

要評估黑死病這類歷史大事件的影響，沒有一種理想辦法，一定要從不同方面尋找證據切入、互補，而環境變化可以作為切入點。突然爆發的疾病，導致大量人口死亡之後，也將造成經濟與社會的動盪，可想而知，自然環境也會受到牽連。

新發表的研究選擇以花粉作為指標，探討黑死病的影響，還創造一個看似 fancy 的新名詞描述：「大數據古生態學（big data palaeoecology，簡稱 BDP）」，反正大數據就是那樣。

概念是，受到黑死病負面影響愈嚴重的地區，人類活動會減少愈多，可以由花粉變化看出。具體樣本來自歐洲各地 261 處遺址，一共 1634 個沉積層樣本；年代介於公元 1250 到 1450 年，大致涵蓋黑死病發生之前到之後的各一百年，也就是前後約 4 代人。短時間內大量人口死亡，影響可能延續數代。

不同植物會生成不同花粉，有些花粉落到湖泊等環境，變成湖底的沉積物，有機會保存下來，成為歷史切片的見證。而人類活動影響環境，使得植物生態有別，便會留下不同的花粉組合。

例如農耕發達的地區，會留下大量農作物的花粉，畜牧業普及區則會是另一種風貌；若是人口減少令農牧活動降低，野生植物的花粉便會增加，不同階段又會生長不同野生植物。

地段，地段，地段！

新的分析思維看似很有道理，但是能相信嗎？研究者首先分析資訊最豐富的兩處地點：瑞典、波蘭。許多證據表示黑死病過去後，瑞典慘遭打擊，波蘭反而明顯成長；倘若花粉呈現的狀況一致，便說明這套分析是可靠的。結果花粉分析順利通過考驗。

花粉分析擴大到歐洲全境，最肯定的結論是：各地差異不小。黑死病前後，一些地區差異有限，有些甚至逆風高飛；農牧活動減少最多的地區位於斯堪地那維亞（北歐）、法國、德國西部、希臘、義大利中部。

有個假設是：瘟疫使人口減少以後，產業可能由勞力密集的農耕，轉向較不需要人力的畜牧。但是這回研究指出，所有農耕下降的地區， 畜牧也跟著減少；唯一例外是德國西南部，畜牧反而增長。

考察文獻得知，義大利、法國深受黑死病危害，這也反映在當地的花粉中，證實歷史紀錄的準確。農業開墾往往是森林的敵人，黑死病過後，義大利的森林甚至重新蓬勃復育；慘烈至此，難怪有薄伽丘《十日談》的誕生。

然而不少地區的農牧活動，黑死病前後的差異有限，或是顯著成長，像是伊比利、愛爾蘭，以及中歐、東歐多數地點。這些分析指出黑死病對歐洲各地的影響有別，整體死亡率大概沒有 50% 那麼誇張。

其實還是不清楚黑死病的死亡率

該如何看待上述論點呢？花粉分析有優點，也有缺點。一如文字、稅務等切入方向，花粉也有自己方法學上的侷限。它能告訴我們歐洲各地的死亡率不均值，卻無法真正評估死亡率高低。

根據花粉組成在不同年代的相對變化，可以推論當地農牧活動的改變，卻不直接等同於人口的死亡程度。

一個地區在黑死病後一段時間，農牧活動明顯增長，不見得意謂瘟疫時沒有死很多人，也可能是恢復速度很快，或是還有黑死病以外的其他因素。

也要注意這兒的評估是相對的，某地相對的受災比較輕微，不等於災情不嚴重。一個地區在幾十年的時段內，如果損失 30% 人口當然是大災難，但是就算死亡「只有」5%，也不可能馬照跑，舞照跳。

評估大瘟疫更廣泛的社會影響

儘管無法準確判斷死亡率，花粉能評估傳染病對社會更廣泛的影響。黑死病這類大瘟疫，不是只有鼠疫桿菌殺死多少人而已，還會牽連更廣泛的社會運作，累積間接傷害。

• 延伸閱讀：歷史大瘟疫：黑死病重塑社會貧富

即使是一個較小的地理範圍，受災程度也可能有內部差異，如城鎮中心及其周圍的郊區、鄉村。沉積物中的花粉，是一個地區一段時間內的集合紀錄，似乎較能避免城鄉差距的影響。

有學者認為，黑死病過後一個地區之所以沒有衰退，也可能是外地人口填補所致，故質疑新研究的論點。就算真是如此，新遷入的人口也是來自歐洲其他地方，同樣支持新論點的大方向：歐洲各地受災程度有異，並非每處一樣嚴重。何況過往公認疫情嚴重的地區，新分析中也看得出來。

有趣的是，一項 2019 年發表的研究在檢視多重證據後，也認為查士丁尼瘟疫的災情言過其實，不如過往認知的那麼嚴重。提醒各位千萬不能忽略「沒有那麼嚴重，跟不嚴重是兩回事」。

花粉無法回答的問題是：黑死病為什麼在各地影響有別？有人推測是鼠疫桿菌的品系不同，在西歐的殺傷力較強，東歐較弱。但是此一論點缺乏遺傳學、病理學的證據。

2019 年底至今的全球瘟疫清楚告訴我們，遺傳上一模一樣的品系，在不同國家的傳播與傷害天差地別，涉及許多複雜的因素。黑死病比當下冠狀病毒造成的疫情嚴重很多，基本道理大概還是一樣的。

延伸閱讀

• 拉脫維亞5000年前，最古早的鼠疫桿菌，源自動物傳染？
• 鼠疫桿菌：伴隨人類5000年的死神 
• 鼠疫桿菌至少 3800 年前，成為跳蚤騎士
• 短篇  查士丁尼瘟疫的災情，或許言過其實？
• 短篇  地中海地區最早，威尼斯的隔離防疫系統
• 短篇  英格蘭鄉村Thornton Abbey，黑死病留下的大墓
• 中世紀黑死病，之後數百年的餘波
• 18世紀初的鼠疫桿菌，大北方戰爭到馬賽大瘟疫
• 黑死病、西班牙流感到 COVID-19，瘟疫如何重塑社會貧富？
• 死亡率，不是「死亡人數／感染人數」這麼簡單
• 透過花粉考古認識古代氣候！——宜蘭 2 千年前的豪雨，竟和聖嬰現象有關？
• 用花粉探案的英國斜槓阿嬤──讀《每具屍體都會留下痕跡》

參考資料

1. Susat, J., Lübke, H., Immel, A., Brinker, U., Macāne, A., Meadows, J., … & Krause-Kyora, B. (2021). A 5,000-year-old hunter-gatherer already plagued by Yersinia pestis. Cell Reports, 35(13), 109278.
2. Spyrou, M. A., Tukhbatova, R. I., Wang, C. C., Valtueña, A. A., Lankapalli, A. K., Kondrashin, V. V., … & Krause, J. (2018). Analysis of 3800-year-old Yersinia pestis genomes suggests Bronze Age origin for bubonic plague. Nature Communications, 9(1), 1-10.
3. Izdebski, A., Guzowski, P., Poniat, R., Masci, L., Palli, J., Vignola, C., … & Masi, A. (2022). Palaeoecological data indicates land-use changes across Europe linked to spatial heterogeneity in mortality during the Black Death pandemic. Nature Ecology & Evolution, 1-10.
4. Black death mortality not as widespread as believed
5. Did the ‘Black Death’ Really Kill Half of Europe? New Research Says No
6. Mordechai, L., Eisenberg, M., Newfield, T. P., Izdebski, A., Kay, J. E., & Poinar, H. (2019). The Justinianic Plague: an inconsequential pandemic?. Proceedings of the National Academy of Sciences, 116(51), 25546-25554.

本文亦刊載於作者部落格《盲眼的尼安德塔石匠》暨其 facebook 同名專頁。

• 作者／謝恩・歐馬洛（Shane O’mara）；譯者／謝雯伃

每個城市的步調都不太一樣

一般來說，一個城市越大、越富裕，特別是經濟成長率越高，居民就走得越快。

1974 年，心理學家博恩斯坦夫婦（Bornstein and Bornstein）測量了歐洲、亞洲以及北美 15 個城市行人的步行速度，結果發現日常步調會隨著當地人口多寡而不同，獨立於特定文化之外。

一般來說，無論哪個國家或哪個文化，較大城市中的行人走得較快。以這些基本觀察為基礎，這些實驗後來又重覆做了數次，用來觀察城市居民的走路速度是否會因為城市的獎勵密度較大（更多餐廳，或火車、公車上更多座位等等），而這些獎勵的競爭也較大，導致日常步調加快？

地理學家吉姆．瓦萊斯萊（JimWalmsley）和加里思．路易斯（Gareth Lewis）在 1989 年提出：「有效率使用時間的需求變得更迫切，生活越來越匆忙」，這都是因為收入以及生活成本增加，導致都會居民的時間價值變得更高。這反映出，對於資源的競爭許多方面細微地改變了我們的行為。我們加快步行速度，無意識地與尋求同樣資源的人競爭。

我們加快步伐，全是為了與他人競爭資源？

博恩斯坦夫婦的論文深受好評，也被廣為引用，但這並非事情全貌。

據推測，有些都市因為特有的因素，影響了人們的走路速度。舉例來說，像孟買這個人口密度特別高的城市，人們走路速度實際上很慢，純粹因為要避開與他人相撞的風險。

我們同樣可以想像在某些特定地方，人們的步行速度可能很快。舉例而言，在某些特別炎熱或寒冷的城市中，人們可能為了要避開高溫酷熱或低溫酷寒，而快步行走於汽車以及建築之間。

生物學家彼得．沃茲（Peter Wirtz）和葛利格．雷斯（Gregor Ries）認為，博恩斯坦夫婦之所以得出這樣的結論，是因為未將他們研究城市鄉鎮人們的年齡或性別組成考慮進去。

換句話說，在其他條件都相同的情況下，城市人口往往較年輕，而較年輕族群平均行走速度會比年長者快。同樣地，男性平均來說比女性走得快；而城市或較小型鄉鎮之間的明顯差異，可能反應出城市裡較年輕、走路較快的男性比小型城鎮或鄉村裡的多。

沃茲和雷斯也做了一系列樣本數更大且將性別以及預計年齡列入考慮的研究，結果得出：都會居民的平均行走速度，事實上並不比鄉村或城鎮居民更快。

但這並不是結論，這個想法持續被研究者測試。

看來加上年齡與性別組成因素還不夠！

1999 年，一項史上最大的日常生活步調研究，利用了來自 31 個國家最大城市的數據展開調查。該研究檢驗了人口組成以外會造成日常步調差異的各種因素，以及日常步調對於都會居民的哪些福祉會產生影響。該研究檢驗了三個可用來預測步調快慢的不同概念。

• 第一個是經濟活力。經濟成長率越高，經濟就越有活力，而居民日常步調就可能越快。
• 第二個是平均來說，越熱的城市居民往往會是較慢的步行者。
• 第三個則是，在個人主義文化相對盛行的國家，居民的日常步調會比集體主義國家的步調快。

研究者把焦點放在都柏林、香港以及聖薩爾瓦多等分歧性極大的城市，測量了這幾個城市中居民的行走速度（在兩個市中心區域間行走 60 英呎要花多少時間）、寄信速度（你多快能走到郵局去買郵票）以及時鐘準確度。

他們也從氣候、經濟指標、個人主義量表、人群大小、冠狀動脈疾病、抽菸比例以及個別健康等其他公開數據搜集資訊。整合這些資訊後，他們算出整體性的日常步調指數。

根據這項研究，瑞士的日常步調最快，愛爾蘭緊追在後（那時正處在為期十多年的大規模經濟成長中期），然後是德國以及日本（義大利、英格蘭、瑞典、奧地利、荷蘭以及香港依序占前十席），墨西哥敬陪末座。

以更大的全球規模來看，日本以及非前蘇聯區的西歐國家日常步調最快，愛爾蘭則是個人行走速度最快的國家。瑞士則符合他們給人的刻板印象，在時鐘準確度上排名第一。

這些研究無法完全解決的一個議題是人口總數以及人口密度如何影響行走速度。

倫敦的牛津圓環在尖峰時刻交通異常繁忙，極難穿越。然而再過幾條街口，人們就能相對輕鬆地移動。開發新時代的智慧型手機計步器及健康應用程式，應該有助於解決這個問題——找出走路速度可以達到最大的最佳人群密度，只要超過這個密度，走路速度就會降低。

那麼就讓我們先接受城市中的日常步調確實比較快，這情況與人口分布關係較少，與經濟活力以及人口密度較相關。

轉換到不同情境中，步調也會有所改變嗎？

那麼我們做為個人，當我們從一個情境（比如安靜的鄉鎮）轉換到另一個情境（比如繁忙的城市）時，我們會改變我們的走路速度嗎？

研究者認為，這取決於城市中既存的經濟獎勵。

假設我們接受大腦會計算「付出與回饋」的觀點（這並非沒有道理），就代表大腦會試圖在努力以及回報之間達到平衡，即以最少努力達到最大的回報。這就出現了一個問題，那就是大腦是如何計算有多少回報，以及付出多少努力才有成果的問題呢？

試想一下街邊那家不能事先預約的熱門新餐廳，為了去那裡，你會走得更快，還因為與其他想得到同樣獎勵（可能是最好的桌位或是僅剩的桌位）的人競爭，再走得快一點。如果你有兩個選擇，你可能會選擇更具獎勵性的選擇，或那個需要最少努力的選擇。

我們在城市裡似乎會走得更快一點，這可能是因為城市裡有許多資源與獎勵，但我們也在與其他人競爭這些獎勵。我們在日常生活中會有不同類型的努力，無論是尋找什麼，或是走向某件事。然而，無論是哪種類型的努力，為了達成某個目標所花的能量總會在達到某個最大值之後降下來。

神經科學家瑞查．沙德梅爾（Reza Shadmehr）要我們想像自己站在機場的入境大廳尋覓著某個旅客的臉。當你看到一張又一張臉孔時，你看到了你在等的那個人。現在問問你自己，那人的身分為何會讓你走快點去迎接他呢？他是你的同事，還是你的孩子？

答案很明顯。與你孩子相見的內在獎勵特別大，而這個內在獎勵直接調整了你的走路速度，你會想更快接到你的孩子。有更大獎勵時，我們會走得快些。努力以及對於獎勵的期待如此加成在一起。

現在，我們對我們的步行速度為何在不同城市中有所不同有了基本理解。可能的情況是，城市中的豐富資源讓人們願意付出努力去得到它們；與此同時，這些獎勵的競爭也增加了——我們不只要快速走到那間很棒的新餐廳，還要比其他人更快到。

因此，控制努力的大腦系統與預估可能獎勵的大腦系統之間存在著緊密連結。努力越多，預期從這個努力中獲得的獎勵也會越多。若一個事物帶來的回報較少，我們走向它的速度就會較慢，反之亦然。

這就是我們在城市中的現況：我們走得快，才能得到火車上的座位或是餐廳的用餐保留時間，因為我們在與其他人競爭城市提供的獎勵。

——本文摘自《走路的科學》，2019 年 9 月，八旗文化。

• 數感實驗室／朱倍玉

每個專業領域都有所謂的權威，當「出了一些狀況」時，我們會向他們求助。

健身不見成效？請找健身教練；經常胃痛？請聽聽醫生怎麼說；在交友軟體尋覓另一半？除了拜月老， 「數學家在尋找真愛上特別在行。」數學家漢娜‧弗萊（Hannah Fry）也是一位值得諮詢的對象。

漢娜的演講「愛的數學」（The mathematics of love），在網路上有近 500 萬觀看次數，從數學家的角度來分析愛情，整理出愛情三部曲，告訴聽眾從零開始的愛情該如何順利發展，從交往一路到婚姻經營，教導在愛情中茫然迷失的人們如何找到方向。

等等，你或許會想，自己只是個想談戀愛的人，晚上打開手機，滑一滑交友軟體為你推薦的對象，思考可以開啟什麼話題來吸引對方。為什麼這樣也能扯上數學？而且教你談戀愛的竟然是，嗯，數學家？

恐怖主義、購物行為、愛情三部曲，數學通通都包了！

弗萊是倫敦大學學院（University College London, UCL）的教授，一名相當出色的女數學家。

她在倫敦大學學院的先進空間分析中心（Centre for Advanced Spatial Analysis）專職研究人類行為模式。城市中的社會問題是她經常處理的對象：恐怖主義、購物行為、犯罪等。她不僅研究這些議題，她還同時是一位積極讓普羅大眾感受數學之美的數學傳播者。

除了學術方面的工作，弗萊更為一般人所知的身分是講者。上面提到的「愛的數學」是她在知名演講平台TED上的演說。

除了這個，她還會上廣播節目跟聽眾聊一些數學或科學裡有趣的問題，也在BBC主持節目《拉塞福與弗萊的稀奇古怪一籮筐》（The Curious Cases of Rutherford and Fry），回答民眾大大小小的數學或科學疑惑。

不僅如此，她更協助 BBC 拍攝多部紀錄片，提供其中相關的數學知識，像是《天空之城》（City in the Sky）、《數字的喜悅》（The Joy of Data）。《天空之城》在探討航空業的飛行安全，以及航空業後勤工作所仰賴的數學、工程學等領域。《數字的喜悅》則是在說幾個掀起數據時代革命的幾個工程師的故事。

數學家，其實是網路世代最重要的媒婆

主題再拉回來本次我們主要關心的「愛情議題」。一個研究人類行為又擅長分析數據的數學家，聽起來可能真的能給人愛情上的建議，你一定會好奇她是如何解決大家的愛情困擾？

首先你必須知道，為網路世代的我們鋪上愛情路的專家，其實有許多是數學家。至少對三分之一的美國新婚夫婦來說，數學家就是他們的媒人婆。

我們以弗萊最愛的交友網站 OKCupid 為例。OKCupid 就是由一群數學家建立的免費交友網站，他們有一套配對演算法，幫使用者計算與其他人的速配程度。決定你按下喜歡還是不喜歡的關鍵除了照片之外，就是速配程度了。使用者可以提出一些問題，並且自己排序這些問題的重要性。

系統就像在計算成績一般，以使用者的答案、使用者期望心儀對象的答案搭配題目重要性來加乘權重，最後算出兩人的幾何平均數，產生速配程度。

舉例來說，假設 A 與 B 提出的問題是：

1. 你怕蟑螂嗎？
2. 你擠牙膏都從尾端開始擠嗎？

A 的答案兩者皆是。同時，他認為心儀對象答案應該為「否」與「是」，且兩題的重要性為 90 分、10 分。

B 的答案兩者皆否，他認為心儀對象答案應該為「是」、「否」，且兩題的重要性為 20 分、80 分。

從以上的回答，我們可以知道 A 是一位非常怕蟑螂，需要另一半來幫忙打蟑螂的人。他會從牙膏尾端開始擠，但這點對他來說不太重要。B 不僅不怕蟑螂，也很樂意幫害怕蟑螂的另一半處理，不過或許是他自己不常從最後面擠牙膏，他很不希望另一半是認真擠牙膏的人。

於是，A 與 B 的第一題配對成功。第二題配對失敗。再考慮到兩個題目的加權，我們可以得到，對極度害怕蟑螂的A來說，B之於他的速配程度是（90+0）/（90+10）=90%。對受夠為了牙膏吵架的 B 而言，A 之於他的速配程度只有（20+0）/（20+80）=20%。綜合以上，兩人的速配程度（幾何平均數）約為 42%。

交友軟體運作的方式大概如同上述，透過簡潔又易懂的運算方式就可以估算出兩個陌生人適不適合開啟話題，或進一步發展關係。當然，實際的運算會再更複雜一些，問題也會再多上許多。只是背後的原理其實並不難懂。

認識了還不夠，數學還能教你該怎麼談戀愛相處！

由於弗萊的演講點擊率相當高，TED組織邀請她把影片提到的數學概念加以整理，擴寫成一本書，書名是《數學的戀愛應用題》。

除了影片中提到的愛情三部曲外，她在書中詳盡地帶讀者從頭愛一遍，在愛情的每條必經之路上分析如何借用數學，讓大家的情路更好過。教你如何更有效率地找到合適對象、對於另一半你該不該忠誠、怎樣才可以度過感情中最大的一關──婚禮，最後，如何經營一段長久的親密關係。這其中會用到包括了最佳停止問題、費米估測、回歸分析產生的婚姻方程式等等。很神奇吧，在愛情的每個環節裡，都有數學的規律可循。

還在愛情上困擾的人們啊，倘若你翻遍了坊間的愛情教戰守則，卻依然無法覓得真愛，不如尋求地表最強助攻的「數學」吧。