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戴上數學眼鏡看雍正王朝

人類與生俱來的慾望清單裡,少不了「權力」這項。

戴上數學眼鏡看雍正王朝_Pansci

Photo Credit:epSos.de

擁有權力,就能得到自己想要的任何事物。有些人為了權力甘願放棄一切,曹丕放棄了兄弟之情,逼曹植七步成詩。留下了「本是同根生,相煎何太急」的千古名言,道盡權力之下,一切都可被犧牲的感嘆。曹家兄弟兩個人的權力鬥爭就如此險惡,規模大一點的宮廷戲碼,動輒十幾位妃子的後宮,或十幾位阿哥的爭嗣,你來我往、合縱連橫,更是精彩萬分。從每隔幾年雍正就得被請出來一次,就可以看見這種權力鬥爭的劇情有多麼吸引人。坊間還會順勢推出許多《XX王朝教你的八十八件事》、《你沒看懂的XX傳》,進一步撈錢分析劇中人物的言行舉止,讓我們了解到許多看起來不起眼的動作,其實都牽扯到權力的操作、分配。

這樣的分析,請容許數學也參一腳。

 

假設今天皇阿瑪生日,五位阿哥決定合送一份禮物。要是這五位阿哥出的黃金都相同,每個人擁有一樣的決定權,唯有超過3人贊成,才能拍板定案要送啥。

但要是出資不同,每位阿哥說話的份量就不一樣了。

其中,四爺數學特別好,他想買一本流傳在夷洲的超有趣數學科普書,讓皇阿瑪喜歡上數學,關係可以更拉近一點。真是一位聰明的阿哥,應該要讓他當太子的。

因為這本書很稀有,又真的非常有趣,一時洛陽紙貴,定價高達100兩黃金,四爺為了達成目的,決定多出一些錢。

他巧妙地跟大家說:「我們湊個 100 兩黃金,我多出一點無所謂,36 兩。其他剩下來的餘額,各位兄弟就平攤吧。」

於是出資結果為 ($36,$16,$16,$16,$16)。

這步棋下的非常高明,完美有效地利用了金錢換取權力。再解釋清楚一點,在四爺出資 36 兩的情況下,他只需要拉攏任意一位盟友,就擁有了36+16=52 的過半票數,可以買任何想要的東西。但要是四爺稍微小氣點,數學差一點,只肯出到 32 兩黃金,在出資情形($32,$17,$17,$17,$17)時,四爺想買數學書還得尋求至少2位阿哥的同意 (四爺加任何1人也只有49票),得超過 3 人才能夠通過表決,跟每人出 20 兩時的狀況相同。也就是說,四爺多出的12 兩都拿去打水瓢了,一點意義也沒有。要是其他三位阿哥決定拿這筆錢去買一個馬桶蓋,他也只能摸摸鼻子答應。

權力的關鍵不僅在於誰出多少,更重要的是,誰能影響過半

 

比起擁有的票數多寡,有一種更精準的量化方式表示每位投票人的實質權力,稱之為「Shapley–Shubik 權力指數」:針對贊成與反對的投票,越容易左右結果的人,Shapley–Shubik 權力指數越高。

舉例來說,有四位投票者 A、B、C、D 分別握有 2 票、5 票、3 票、3 票。總票數為 13 票,7 票過半。如果今天 A 先投下贊成票,當 B 投下贊成票時票數會過半,B 就是所謂的「權力者」,只要權力者贊成,就能決定結果,喊水會結凍,就算 C 跟 D 要反對也來不及。

在此我們不考慮 C 跟 D 會霸占主席台的狀況,儘管這在台灣的宮廷戲碼中不會不常見。

另一種狀況,A 先投贊成票(2),接著 C 投贊成票(2+3),但依然不過半,所以沒人會在意 C,但下一位投票者一出場氛圍就不同了,因為只要他贊成,就過半,這人才是x權力者。

權力者不只由投票順序決定,和每個人手中握有的票數也有關。

權力指數的計算方式是,考慮所有依序投票的排列結果,好比有三位投票者A、B、C,即會有六種不同的順序,ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。再統計這麼多投票順序之中,每位投票者成為「權力者」的次數,除以總數,即是每個人的權力指數。

 

計算($32,$17,$17,$17,$17)跟($20,$20,$20,$20,$20)這兩種狀況的權力指數,結果都是(20%,20%,20%,20%,20%),如同前面的討論,雖然四爺多出錢,但要決定一樣禮物時,還是得獲得3人以上的支持,5 個人的權力指數一模一樣,並沒有因為一個人多出錢而權力傾斜。

但在($36,$16,$16,$16,$16)時,我們列幾種順序:(紅色為權力者)

36→16→16→16→16

16→36→16→16→16

16→16→36→16→16

16→16→16→36→16

16→16→16→16→36

5 種順序面有 3 種順序,出 36 兩黃金的四爺都是權力者,因此他的權力高達 3/5=60 %。其餘4人平分剩下的 40 %,權力指數成了 (60%,10%,10%,10%,10%)。四爺擁有過半的絕對權力,想送哪一本數學科普書都沒問題。實際上的狀況也是如此,四爺只要找到一個人支持他就好,但如果其他人要反對他,一定得四位結盟才行。

 

透過權利指數,我們會發現不少「看起來的權力」與「實際上的權力」相差許多的狀況。例如,要是五位阿哥的出錢比例是($35,$28,$22,$14,$1),出 14 兩黃金的人,剛好就是十四爺。但十四爺發現,自己明明出得也不算太少,想發表意見時,大家卻只會聳聳肩敷衍他,沒人認真聽,就連出最多跟他最好的四爺也不大理睬他。

「十四弟,你根本沒辦法影響決定啊,看看,這時候咱們的權力指數是( 37 %, 28 %, 28 %, 3 %, 3 %),你跟那窮到只攢得出1 兩黃金的十九弟一樣沒用啊!」

十四爺忿忿不平,偏偏他阮囊羞澀無法加碼。好在他平常常跟四爺一起混,數學也不差。他掐指一算後,立刻慫恿出四爺再多出1兩,讓第三名的阿哥少出1兩。

僅僅是1兩的調整,調整後的權力指數頓時變成 (45 %, 20 %, 20 %, 12 %, 3 %)。四爺權力一口氣上升 8 %,四爺很滿意。但最大的受益者其實是十四爺,權力指數從 3 %暴增到12 %!

這背後的原因是,原本出最多錢的四爺得靠拉攏第二名、第三名才能過半,拉攏第四名的十四爺根本沒意義。但只要四爺一加碼,就算拉攏十四爺也能過半了。

讓自己變得被需要,不一定得提升自己的能力,也可以反過來,降低自己被需要的門檻。

也因此,權力遊戲中總是出現「聯合次要敵人,打擊主要敵人」的場景。

 

《戴上數學眼鏡看雍正王朝》,我們下周見。明天權力鬥爭的機率是70 %,出門請記得攜帶計算機。

註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

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關於作者

賴 以威

賴以威

數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室