花了三百年才證明的世紀難題：費馬的最後定理

學校教過的數學課程中最讓人印象深刻的，可能是畢氏定理。

這個定理是：取一直角三角形，以直角的兩邊（股）為邊長各畫一正方形，則這兩個正方形的面積總和，會等於第三邊（斜邊）畫出的正方形面積。邊長為 a 的正方形，√2面積是 a×a = a²。如果這個直角三角形的邊長為 a、b、c，且 c 是最長邊，那麼畢氏定理得出的結果是：

a²+ b² = c²

從這個漂亮的結果，你可以算出各種東西，包括正方形的對角線長等。正方形的對角線加上兩邊，就構成了直角三角形，如果正方形的邊長為 1，由畢氏定理可知：

1² + 1² = 2 = d²

這表示對角線的長度 d 等於√2，也就是自乘結果等於 2 的數。

讓人有點尷尬的√2

除非你已經發覺√2有點難定出精確的數值，否則這個數沒什麼大不了的。如果拿 1.5 自乘，會得到 2.25，比 2大很多；改用 1.4，則得到 1.96，又變得太小。（1.41）² = 1.9881，還是太小，但（1.42）² = 2.0164 又會超過 2。

看起來無計可施，事實上也的確辦不到。√2是無理數，意思是無法寫出它所有的位數：完整的小數展開式是無窮盡的，而且沒有不斷重複出現的數字模式。

√2前面 20 位是：

1.4142135623730950488

發現無理數，可能招來殺身之禍

簡單的正方形對角線，無意間產生了一個性質極為有趣的數。但事實上，畢達哥拉斯（Pythagoras）的門徒不太高興。畢達哥拉斯學派是西元前五世紀活躍於克羅頓（Croton，現今的義大利）的祕密幫派，除了奉行素食主義以及不吃豆類之外，他們把求知尊為道德健全生活的基石。數學是畢氏哲學的核心：據說 mathematics（數學，意為「所學習的」）及 philosophy（哲學，意為「愛好智慧」）這兩個詞是畢達哥拉斯所創，據傳，「萬物皆數」是他的座右銘。

問題是，畢氏學派所指的「數」只有整數及整數之比，也就是 ½、¼、¾ 等分數。無理數沒辦法寫成分數；事實上，這正是定義無理數的方式（如果你熟悉長除法，就可以自行驗證，任何一個分數都能表示成有限小數或循環小數）。

希帕索斯（Hippasus of Metapontum）發現有些數（譬如√2）可能是無理數，他也是畢氏學派的一員，根據（相當隱晦的）歷史證據顯示，他因此受到嚴厲的懲罰：在海上沉船淹死。應該沒幾個人因為區區一個數而丟了性命吧？

無理但不悖理

證明√2是無理數的標準證法，是數學上經常使用的論證形式的重要範例，也就是歸謬法。要證明某件事（比方說√2是無理數），你必須先做相反的假設（√2可以寫成分數），如果之後推算出矛盾的結果，就能斷定你原先的假設一定是錯的，也就證明你最初的陳述（√2是無理數）必定為真。

這是很自然的推理方法，舉例來說，你假設管家殺了人，但如此一來，管家必須同一時間出現在兩個地方，這顯然說不通，那麼你就能推論原先的假設必定是錯的，而管家是清白的。歸謬法是數學的支柱，但也可能產生令人驚訝的結果。你將在第 3 章看到更多的例子。

希帕索斯的發現只是巨大冰山的一角。隨便取一小段數線，不管多小段，都有無窮多個無理數。那些能寫成分數的有理數，可以依序排列並賦予 1、2、3 等標籤，但無理數實在太多了，根本沒辦法用同樣的方式來區隔。你在數線上隨意一戳，碰到無理數的機率是 1，而碰到有理數的機率是 0。因此就數字而言，畢氏學派完全錯了。

√2可以是好事

假如畢氏學派知道無理數多麼有用，大概就不會因為有人發現無理數而這麼不高興了。幾乎每天都會用到的例子是紙張。歐洲採用的標準紙張尺寸 A5、A4、A3 等，有個非常棒的特點，就是將兩張同尺寸的紙並排起來，即能拼成大一級的尺寸，譬如兩張A4紙能拼成一張 A3。且小一級紙張寬度（W）的兩倍，等於大一級紙張的長度，而小一級紙張的長度（L）等於大一級紙張的寬度。

所有尺寸的紙張，長寬比都是一樣的，也就是：

可以改寫成：

意思就是：

A 系列紙張的正字標記就是每張紙的長寬比均為 √2。

為什麼這很有用？如果你希望影印機能夠把原稿縮小（或放大）一級影印，就需要此系列紙張的各個尺寸有同樣的長寬比。假如長寬比不同，縮小影印後周圍就會多出白邊。兩張同尺寸的A系列紙張可並排成大一級的紙張，代表不管你想把兩張A4還是一張A3縮小一級，都可以採用同樣的縮小倍率。

影印機還會自動計算。如果你要縮小，影印機提供的倍率是 70%，有時候是 71%，把這些數字寫成小數（70 或 71 除以 100），結果是 0.7 及 0.71，兩個數都非常接近：

這個縮小倍率，正是把一張 A3（或兩張 A4）縮小到一張 A4所需要的比例。原紙張的長度 L 與寬度 W 會縮小到 L/√2 及 W/√2，這表示新紙張的面積會變成：

就是原來的一半，且因長寬比維持不變，所以能把原來的紙張剛好縮小到 A4 的尺寸。

放大影印也是同樣的道理。影印機提供的放大倍率是 140% 或 141%，對應的數字很接近，所以可以把一張A4 放大到 A3 的尺寸。

BOX：證明√2是無理數

假設 √2 = m/n，其中的整數 m 與 n 沒有公因數（除了 1，沒有其他數可同時整除 m 和 n）。

於是：2 = m²/n²，因此：2n² = m²。

這表示 m²是偶數，m 也是偶數，因為奇數的平方永遠是奇數。所以， m 可以寫成 2k，而 k 是某個正整數。把上式中的 m 換成 2k，就得到：2n² = m² = 4k²

除以 2，就是：n² = 2k²

所以 n² 也是偶數，n 也是偶數，但這產生了矛盾，因為我們一開始假設 m 與 n 沒有公因數。因此，√2不能寫成 m/n，即為無理數。

本文摘自《數學好有事》，麥田出版。

劃時代的想法「笛卡兒座標系」

15 世紀，古騰堡（Gutenberg）將活字印刷應用化之後，歐幾里德的《幾何原本》也變成活字版本了。從 1482 年威尼斯的初版開始， 世界上有超過一千種版本，可以說是除了《聖經》之外，銷量最多的 一本書。幾乎可以說《聖經》跟《幾何原本》是支撐歐洲文明的兩大支柱。

為歐幾里德的平面幾何帶來偉大變革的，是 1596 年出生的近代理性主義之父笛卡兒（Descartes）。笛卡兒在他的著作《談談方法》 中，提出追求真理的四大步驟：

1. 如果不是具有明證的真理，就不承認其為真。
2. 為了更加了解問題，要將問題分割成許多小問題。
3. 思考的順序是從單純的事物開始，依序往複雜的事物前進。
4. 小問題都解決了之後，將小問題全部列出來，看看是否有遺漏， 能不能涵蓋原本的大問題。

這也反應出了《幾何原本》的精神，從看起來理所當然的公理開始，一步步推導向複雜的圖形性質。

這個《談談方法》，是討論關於探討真理的方法的書籍序論。笛卡兒提出了一個幾何學上的新見解，做為這個方法的試論，那就是：

「平面上的點都可以用一組兩個的實數來表示，也就是（x, y）」。

在平面上垂直相交的兩條線，分別稱為 x 軸以及 y 軸。為了表示平面上的點的位置，將點分別與 x 軸以及 y 軸做垂線，相交的點分別為 x 以及 y，於是這個點的位置就可以用 （x,　y） 來表 示，這就是所謂的「笛卡兒座標系」（圖 6-10）。

雖然座標軸這個概念並不是笛卡兒發明的， 這樣的座標系也可以稱為「直角座標系」，但因為笛卡兒用這個座標系導入新的幾何學概念，所以我在此稱之為「笛卡兒座標系」。使用笛卡兒座標系的話，平面幾何的問題都可以代換成關於（x, y）的計算問題，連歐幾里德的五個公理， 都可以用笛卡兒座標來解釋了。

例如，〈公理 3〉提到，平面上兩點（x₁, y₁）與 （x₂, y₂），以一點為圓心，求通過另外一點的圓的解。「圓」就是與某一點距離相同的 所有點的集合，所以首先計算這兩點的距離。 如圖 6-11，可以將（x₁, y₁）與 （x₂, y₂）的距離，也就是這兩點所連 結的線段想像成長方形的對角線。

根據畢氏定理，對角線的長度 r 的平方，就是長邊與短邊的平方和。也可以表示成：

〈公理 3〉的「以（x₁, y₁）為中心，通過（x₂, y₂）的圓」就是與點（x₁, y₁）距離 r 的所有點的集合，因此滿足下面算式的所有（x, y）的集合就是解答。

(x － x₁) ² ＋ (y － y₁) ² ＝ r²

利用笛卡兒座標系，就可以將歐幾里德的幾何學問題化為方程式問題了。

用方程式解開美妙的「垂心定理」

2009 年，日本數學書房出版了一本名為《這個定理真美妙》（この定理が美しい）的書。這是一個大型企畫，由 20 位作者分別選出自己認為最美妙的數學定理，並且講述定理獨特的魅力，而我也選了「基本粒子論」中使用到的定理。在這本書中，京都產業大學的牛瀧文宏先生選了平面幾何的「垂心定理」。

要介紹垂心定理，得先介紹三角形的垂線。由三角形的頂點向對邊做一條垂直的線，這條線就稱為垂線。三角形有三個頂點，理所當然就有三條垂線。所謂的「垂心定理」是指，這三條垂線必會相交在一個點，而這個點稱為垂心。

兩條直線如果不是平行的話，一定會在某處相交，形成一個交點，這是理所當然的事情。但是三條直線，就不一定會相交在同一個點了。牛瀧先生在關於垂心定理的描述中提到，「當時身為中學生的我，被那個即使用盡了我的全力也無法到達的境界的證明所懾服，圖形的協調以及層層堆積的理論，使我確確實實感受到定理的美妙」。 古希臘時代流傳下來的，關於垂心定理的證明，巧妙的使用了輔助線，說是藝術也不為過。網路上有許多關於垂心定理的證明，有興趣的人不妨參考。

在這邊利用笛卡兒座標系來證明這個定理。證明中不講求細節， 只是希望大家能感受一下方程式的氣氛，體會一下「將幾何問題化成方程式」的感覺。

假設三角形的頂點為 a ＝ (0,0)，b ＝ (p,0)， c ＝ (q,r)。頂點 c 對 ab 邊的垂線，可以用方程式表示為：

x ＝ q

頂點 a 對 bc 邊的垂線也可以用方程式表示為：

頂點 b 對 ca 邊的垂線也可以用方程式表示為：

最初的兩個方程式是 x，y 的聯立方程式，求解之後可以得到 ：

（x, y） ＝（q, (p － q)q/r）

這個解也能滿足第三個方程式。也就是說，這三個方程式有共同的一個解。換句話說，三條垂線具有一個共同的交點，也就是垂心。

這個證明不像古希臘流傳下來使用輔助線的證明方法那樣帶有藝術性。只是先將題目中的垂線利用笛卡兒座標表示成方程式，接著解聯立方程式，按照步驟機械式地一步步操作而已。但正是因為不需要靈感，所以只要知道解法，誰都可以證明出同樣的答案。

如果使用輔助線的證明方法是在田野間悠閒騎著腳踏車，享受著田園風景前進，那麼利用笛卡兒座標系的證明方法就如同搭上由精密機械組裝而成的新幹線呼嘯而過一般。笛卡兒座標終結了幾何學的牧歌時代，進入了重視效率的近代。

有科學技術的地方，就有笛卡兒座標系

高斯定理：「如果圖形的邊長比，能夠利用加減乘除或是平方根的有限次數組合來表示的話，這個圖形就可以作圖，如果不能，圖形就不能作圖」也可以用笛卡兒座標系簡單解釋。作圖的基本規則是只使用尺跟圓規，所以又稱為尺規作圖。在笛卡兒座標系中，利用尺畫出的直線，可以表示為一次函數 y ＝ ax ＋ b，利用圓規畫出的圓是二次函數 (x － x₁) ² ＋ (y － y₁) ² ＝ r² 。

因此，重複這些步驟作圖得到的線段長的比值，就是一次方程式以及二次方程式相互組合的解，也就是「可以利用加減乘除或是平方根的有限次數組合來表示」。

笛卡兒座標不僅僅影響了幾何學，對於科學技術方面的影響更是廣泛且重大。笛卡兒出版《談談方法》的序文〈探討真理的方法〉時，剛好是伽利略的晚年。

伽利略發現了許多關於物質運動的重要現象，包括——

• 「鐘擺的等時性」：鐘擺的擺動週期是固定的，與擺動幅度無關；
• 「自由落體法則」：物體落下時所需要的時間與物體重量無關；
• 「慣性法則」：以等速度移動的物體，在不施加外力的狀況下，會一直維持等速度運動；
• 「相對性」：在等速度移動的座標系中的力學法則，看起來與靜止座標系中的力學法則相同。

但是，即使發現了這麼多重大的發現，伽利略卻沒有完成力學體系，其中一個原因，或許是因為伽利略並不知道笛卡兒座標系吧。

在伽利略過世那年出生的牛頓，為了將力學以及重力學的法則用 數學方法表示時所使用的，正好就是笛卡兒座標系。從此以後，科學以及工程學的各式各樣方程式都可以利用笛卡兒座標系表示。

今日，只要是有科學技術的地方，就有笛卡兒座標系。例如，電腦螢幕或是手機畫面上的點的位置，就是轉換成笛卡兒座標系，以數字表示，而能使電腦處理畫面上的圖像。

將思考推往高維度的世界

笛卡兒座標還有另一個重大貢獻，它將人類的思考從平面中解放，前往更高維度。

二維平面的點可以用一組兩個的數字（x,y）表示，三維空間的點也能用一組三個的數字（x,y,z）代表。在三維空間中畫出互相垂直相 交的三條直線，稱之為 x 軸、y 軸、z 軸，在三維空間的點，分別對 這三個軸做垂線，得到 x、y、z 的數值，這個一組三個的數值就是點的座標。

二維平面上兩點（x,y）與（x’,y’）的距離 r 的公式是：

同樣的，三維空間中兩點（x,y,z）與（x’,y’,z’）的距離 r 公式是：

利用座標表示點的位置的話，能夠簡單地表示比三維更高維度的空間。n 維度的空間，就是無數個由一組 n 個數的座標（x₁,……,x_n）所表示的點的集合。三維的世界是眼睛可以看到的世界，但我們還是會懷疑、思考看不到的四維以上的空間到底有沒有意義。然而，我們的日常生活所遭遇的事物之中，就隱藏著高維度世界。

本文選自《用數學的語言看世界：一位博士爸爸送給女兒的數學之書，發現數學真正的趣味、價值與美》，臉譜出版。

作者｜李武炎／曾任教於淡江大學數學系，現為《科學月刊》編輯委員。

今年素有「數學諾貝爾獎」的阿貝爾獎由美國牛津大學皇家協會講座教授懷爾斯（Andrew Wiles）獲得，推薦文中指出，為了表彰他利用半穩定橢圓曲線的模猜想推出「費馬最後定理」的震撼證明，對數論的發展開啟一個新的世代，獎項已於今（2016）年 5 月 24 日在挪威首都奧斯陸頒發。

英年早逝的天才數學家阿貝爾

阿貝爾（Niels Henrik Abel，1802~1829）是挪威歷史上一位非常著名的數學家，他在很年輕的時候就已經研習大數學家歐拉、拉格朗治、拉普拉斯及高斯等人的著作。19 歲時，他解決了困惑數學界 200 年的老問題：一般 5 次方程式根的公式解是不存在的，如此非凡的表現奠定他在歷史上的地位。另外他在超越函數上的研究，對橢圓函數理論起了革命性的影響。阿貝爾生前非常貧困，18 歲時就肩負起照顧家中 6 個弟妹的重責，後來不幸罹患肺結核，因為無法得到良好的調養， 很可惜在 1829 年 4 月 6 日以 26 歲的年紀辭世，實在是英年早逝，死後兩天，數學家克雷勒（August Leopold Crelle） 攜來柏林欲聘請他擔任教授的聘書，但已經來不及了。後來數學界為了紀念他，特別將抽象代數學中的一個結構交換群命名為「阿貝爾群（abelian group）」，以他為名的專有名詞已經被普通化了，是為了更能彰顯他的偉大。

挪威政府一直有設立紀念阿貝爾的獎項的念頭，這是要彌補諾貝爾獎沒有數學項目的遺憾，但這個獎項的成立一直要等到西元 2002 年阿貝爾 200 歲誕辰方才實現。2002 年阿貝爾獎開始頒發，而第一屆的得主便是法國數學家，同時是數學界大老的謝爾（Jean-Pierre Serre）。去年 2015 年的得主是電影《美麗境界》戲中的主人翁約翰納許，但去年 5 月 19 日納許夫婦領取阿貝爾獎返家途中不幸發生車禍遇難，曾造成新聞界一陣報導。觀察阿貝爾獎的歷屆得主，都是當代數學的翹楚， 而且大都是年高德劭著作等身的數學圈耆老，懷爾斯雖屬壯年，但因為他解決「費馬最後定理」這個世紀難題， 名氣實在太大了，因此阿貝爾獎的評審委員會決定頒授 2016 年的獎給他。有人說這是遲來的獎項，因為自從 20 幾年前懷爾斯證出這個劃時代的問題後，已經得獎無數，幾乎全世界所有的數學獎都被他囊括，其中包括著名的沃爾夫數學獎（1995 年）、沃爾夫斯克爾獎（1997 年）以及邵逸夫獎（2005 年）等，今年添上阿貝爾獎無疑是在懷爾斯的功勛簿上貼滿最後一塊拼圖。值得一提的是，當年懷爾斯解決費馬最後定理時已經年過 40， 無緣獲得數學界的費爾茲獎章（Fields Medal）。

 費馬最後定理

「費馬最後定理」是個一般人都可以明瞭的題目， 並不需要具備很深的數學背景才能理解──探討方程式： xⁿ+yⁿ=zⁿ 的正整數解。當 n = 2 時， 讓我們想到熟知的畢氏定理（又稱勾股弦定理），此處 z 代表一個直角三角形的斜邊長，x 與 y 則為此三角形之兩股的長，也就是說一個直角三角形的斜邊長的平方等於它的兩股長之平方和。 這個方程式當然有許多正整數解，例如：x = 3，y = 4，z = 5；x = 6，y = 8，z = 10；x = 5，y = 12， z = 13 ⋯⋯等等。費馬聲稱當 n ≥ 3 為正整數時， 就不存在非零的整數解。

數學業餘王子─費馬

費馬（Pierre de Fermat，1601~1665）是一位留著長髮，穿著中古世紀歐洲袍的法國數學家。他是 17 世紀最卓越的數學家之一，在許多數學領域都有極大的貢獻，例如：他在笛卡兒之前發明解析幾何，也在微積分的發展有所建樹，他與巴斯卡被公認是機率論的先驅， 然而他在數論上的研究成果最為後人所記得。他的本行是專業的律師，數學只是他的愛好，而他所作的數學作品都是第一等的工作，為了表彰他的數學造詣，世人冠以「業餘王子」的美譽。在 1637 年的某一天，費馬正在閱讀一本古希臘時代數學家丟番圖（Diophantus） 的數論書《算術學》（Arithmetica）時，突然心血來潮在書頁的空白處寫下這個看似簡單的定理：當 n ≥ 3 為正整數時， 沒有非零的整數解。

當時費馬並沒有說明原因，不過他留下這一段話：「我已經發現一個非常美妙的證明，只是書頁的空白處太小無法寫下來。」，始作俑者的費馬也因此留下了這個千古的難題，300 多年來無數的數學家嘗試要求解決這個難題都徒勞無功，這個號稱「世紀難題」的「費馬最後定理」也就成了數學界的心頭大患，極欲解之而後快。19 世紀時法國的法蘭西學院曾二度懸賞金質獎章及 300 法郎給任何解決此一難題之人，可惜都沒有人能夠領到獎賞。德國的一位工業家沃爾夫斯克爾（Paul Wolfskehl，1856~1906）對「費馬最後定理」情有獨鍾，他死後，根據其遺囑遺贈 10 萬馬克（約合 5000 萬新臺幣），頒給能夠證明「費馬最後定理」是正確的人。

這個獎在 1908 年設立，有效期間為 100 年，懷爾斯在 1997 年領到這個獎時，獎金只有約 150 萬新臺幣， 原因是這段期間世界曾發生經濟大蕭條，此筆獎額已大幅貶值了。當年沃爾夫斯克爾獎一宣布時，確實吸引不少「數學癡」去從事這個問題，而社會上也掀起了一股瘋「FLT（Fermat’s Last theorem）熱」。20 世紀電腦發展以後，許多數學家利用電腦計算可以證明這個定理當 n 很大時是成立的，1983 年電腦專家斯洛文斯基借助電腦運行 5782 秒證明當 n 為2⁸⁶²⁴³-1 時「費馬最後定理」是正確的，2⁸⁶²⁴³-1是一個天文數字， 大約有 25960 位數。雖然如此，數學家還是沒有找到一個普遍性的證明。不過這個三百多年的數學懸案終於解決了，由當時在美國普林斯頓大學數學系任教的英國數學家懷爾斯教授提出證明，其實他是利用 20 世紀過去 30 年來代數幾何發展的結果加以運用並解決的。

追求數學聖杯的懷爾斯

1993 年的 6 月 21~23 日，懷爾斯在英國劍橋大學所舉辦的研討會發表這個結果，這個報告馬上震驚了數學界甚至於一般社會大眾，懷爾斯證出費馬最後定理的消息在 1993 年的 6 月 24 日登上了《紐約時報》、《美國國家廣播公司》等重要媒體的頭條。一個數學證明能讓新聞媒體如此青睞，可謂空前絕後，原因正如前面所言，這是一個能被一般民眾所能明白的數學問題，並不需具備很強的數學專業知識。其實數論中有很多問題都與費馬最後定理一樣，敘述都很淺顯易懂，內容也很吸引人去思考，可是證明起來都很難。懷爾斯在 1993 年發表的論文報告經過數學界審慎檢查後，卻發現了極大的瑕疵，後來懷爾斯與他的學生嘗試加以補救，終於在 1994 年 9 月修正成功，並且在 1995 年將修正後的論文發表在《數學年刊》（Annals of Mathematics）上。

偉大的集體成就

「費馬最後定理」的最終解決其實要歸功於無數數學家的努力，最早在 1950 年代，日本數學家谷山豐首先提出一個有關橢圓曲線的猜想，即二元三次方程式 y²=x³+ax²+bx+c 定義的圖形，其中 a、b、c 為有理數，它不是橢圓，而是因為當初數學家想計算橢圓的周長而產生的名詞。後來由另一位日本數學家志村五郎加以發揚光大，提出谷山 – 志村猜想：每一個橢圓曲線都具有一種模形式（modularity pattern）， 這個名詞與高等數學複變函數論有關，在此就不擬加以解釋。當時沒有人認為這個猜想與「費馬最後定理」有任何關聯，直到 1980 年代，德國數學家佛列（Gerhard Frey）才將這個猜想與「費馬最後定理」掛勾。若對奇質數p而言， a^p+b^p+c^p 有異於零的整數解，則佛列建議考慮橢圓曲線 y²=x(x+a^p)(x-b^p)，此曲線後來被稱為佛列曲線， 因為他覺得此橢圓曲線的判別式 a^2pb^2p(a^p+b^p)²=(abc)^2p 呈現出一點不太尋常，因此他懷疑這個橢圓曲線不具模形式，所以只要能證明谷山 – 志村猜想就等於證明了「費馬最後定理」。

佛列的猜想後來被法國數學家謝爾加以改良，並且在 1986 年由數學家里貝特（Ken Ribet）證明從 a^p+b^p=c^p 所得的佛列曲線違反模形式。根據里貝特的這個啟發，懷爾斯就全力去從事谷山 志村猜想的證明，至少要證明絕大部分的橢圓曲線都具有模形式。最後他證明了任何半穩定（semistable）橢圓曲線都具有模形式，而佛列曲線就是一個半穩定橢圓曲線，因此證明 a^p+b^p=c^p 之非零整數解是不存在，從而證明了「費馬最後定理」。這裡要提一點，「費馬最後定理」是說對任何大於 2 的整數 n 而言，aⁿ+bⁿ=cⁿ 沒有非零的整數解，其實就是要證明對 n = 4 及任意奇質數（3、5、7⋯）均成立即可，因為對任何大於 2 的整數 n，n 必有 4 或奇質數的因數，而當 n = 4 時，費馬曾經給予證明（用數論的技巧就可以證出），因此只需考慮 而 p 為奇質數即可。

「費馬最後定理」的證明成功並非僅靠一人之力便能解決，雖然懷爾斯完成了封頂之作，但如同前面所提到的谷山豐、志村五郎、佛列及里貝特都是功臣；自古以來，很多數學理論的形成都是從一些猜想或假設開始，激發數學家的興趣，為了尋求問題的解決，不斷努力發展新的數學技巧，也豐富了數學的內涵，而這些建樹都是歷史上的數學家前仆後繼研究所得的成果，我們可以說：數學演進就是團隊合作的結晶。

〈本文選自《科學月刊》2016 年 7月號〉

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