阿基米德與曹沖的交集是？──〈談科論幻話創意〉

根據教育部編《國語辭典》，這成語的解釋是：「比喻人或事物，隨著憑藉者的地位提升而升高。」你覺得拗口是不是？其實這成語是說，水位高了，水裡的船跟著升高，造兩個句你就更明白了。

油價一漲，民生用品水漲船高，人們的生活開支就增加了。

最近老師教得認真，結果水漲船高，段考成績普遍提高了。

如果水位變低了呢？水裡的船當然跟著降低。當水位低於船隻沒入水中的部份（稱為吃水），船隻就會擱淺。談到這裡，就得談談浮力原理了。

這原理的發現還有個小故事呢！相傳某希臘國王，做了一頂純金王冠。有人密報，金冠攙假。然而秤一下重量，又和當初交給金匠的純金一樣重。國王還是不放心，就請科學家阿基米德鑑定。

阿基米德苦思多日，想不出辦法。一天，他在家裡洗澡，當他進入澡盆時，看見水往外溢，突然悟出：「可以用測定固體在水中排水量的辦法，來確定金冠的比重啊！」他興奮地跳出澡盆，大聲喊著：「尤里卡，尤里卡！」（尤里卡，就是「發現了」的意思）。

阿基米德把王冠和同等重量的純金，放在兩個容量相同、盛滿水的盆子裡，發現放王冠的盆子，溢出的水比另一盆多些。說明王冠的體積，比相同重量的純金的體積大，證明了王冠並非純金製的，揭露了金匠欺君之罪。

阿基米德因此發現了浮力原理（又稱阿基米德原理）：物體在水（液體）中所獲得的浮力，等於物體所排出（開）液體的重量。根據浮力原理，只要水夠深，幾萬噸的船都能浮在水上，因為它排開的水，比船還要重啊！

章老師曾搭乘郵輪經過蘇伊士運河。這條運河寬 205-225 公尺，深 23-24 公尺，所以只要船隻吃水的部份不超過 20 公尺，保證可以通行。章老師搭乘的是艘中小型郵輪，只有 3.5 萬噸，加上 1000 名乘客和 400 位工作人員，吃水可能不到 10 公尺。走在我們前面的，是艘 10 萬噸級的貨輪，也行駛得十分順當。查一下資料，這條運河可以浮起 24 萬噸的船呢！

那麼 2021 年 3 月間怎會發生蘇伊士運河事件？發生事故的長賜號，總噸位 220,940 噸，寬 58.8 公尺，都在安全值之下。可是運河水深 23-24 公尺，是指中央的航道，靠近岸邊就沒那麼深了。長賜號被強風吹離航道，在岸邊擱淺。這還不說，長賜號全長 399.94 公尺，擱淺時斜著卡在運河中，把整條運河堵住了。

• 作者／李奕萱

3 月 14 日是什麼節呢？白色情……呸呸呸！身為科學愛好者今天過的是 π day 啦！

2009 年，美國眾議院正式通過麻省理工提出將 3 月 14 日定為國家圓周率日的申請，將 3 月 14 日正式定為圓周率日（pi day)。世界各地的科學家會吃圓周率（派，pie）、喝圓周率（雞尾酒，piña colada）、玩圓周率（皮納塔，piñata）……來紀念這個科學界的重要常數── π。這些人有多喜歡 π 呢？他們甚至發明了 π 語言！

什麼是π語言呢？

π語言（Pilish），是一種特殊的書寫格式，每個單詞中的字母數與π的對應數字匹配。第一個單詞包含三個字母，第二個單詞包含一個字母，第三個單詞包含四個字母，依此類推。舉例來說：How I need a drink, alcoholic in nature, after the heavy lectures involving quantum mechanics! 就是典型的π語言，How 由三個字母組成，I 由一個字母組成，並接續下去。人們利用這個格式創作 π 文章或是 π 詩，其中最有名的是邁克爾·基思（Michael Keith）發表的一首以 π 為主題的詩《piku》：

It’s a moon,

A wheel revolving on golden earth, and lotus blossoms.

Mountains embrace windmills, and it all reflects this number, pi.

這首詩不僅符合每個字母數的規定，甚至每句的音節數也符合規定：第一句 3 個音節，第二句 14 個音節，第三句 15 個音節。π 語言除了是一種創作形式，也衍伸出一種記憶技巧──圓周率文字學（Piphilology），先記憶 π 語言撰寫的故事再回復成數字的形式來背誦 π。你想不想也試著寫看看 π 詩呢？

所以 π 是怎麼來的呢？π 又代表什麼呢？

π 源自於希臘語的 περίμετρος，有「周長」的意思，為一個圓的周長和其直徑的比值，看似很簡單的定義卻讓人類研究了數千年還是對她著迷不已。π 是無理數，用小數來表示的話就會形成一個無限的不循環小數，也就是你無法找出這些數字的規律，現代有超級電腦可以幫忙計算，那麼在沒有電腦甚至沒有計算機的的古代呢？

π 的計算最早要回溯到古埃及時期，以畫圓面積的方式計算出 π ＝3.16，雖然離更正確的 3.14159… 有一段差距，但當時可是公元前 1850 年的石器時代呢！後來曹魏時期的數學家劉徽和希臘化時期的阿基米德相繼提出了以相似多邊形逼近的來估算圓形周長的方式，而這些新方法也讓我們更加接近 π。

那麼 π 這個神秘的常數，在各個學界有什麼不一樣的地位呢？對於一般人來說，課本告訴我們計算π的時候要代近似值 3.14；對於軟體工程師來說，只要輸入指令就能直接從後台計算π；對數學家來說，近似值根本是邪教！！π 就是圓周跟直徑的比值，就是無法被窮盡的無理數。而這時工程師說話了：「那就當作 3 吧！」數學家頓時氣死在路邊……

海浪居然也跟 π 有關？

你知道嗎？海浪、聲音、電、路燈光線強度……這些看似跟圓形沒什麼關聯的事物其實都跟 π 有關係喔！還記得高中物理學過的海浪的簡諧運動嗎？當你把一塊會漂浮的木頭丟到海裡，木頭隨著海浪做上下規律的簡諧運動，當你把那塊浮木的運動軌跡記錄下來你就能得到一福完美的波浪圖，而圓型的秘密其實就藏在這幅圖裡！

想像有一個圓形操場，你沿著跑道等速繞圈圈，並且有一道平行光從北邊打過來，這時你就會發現自己印在南邊牆上的影子軌跡也形成一幅一模一樣的波浪圖。也就是說海浪的起伏可以看作是等速度圓周運動的投影，這就說明了簡諧運動中的週期公式 \( T=2π\sqrt{\frac{m}{k_m}} \)為什麼有π在裡面了！

π 還有一些有意思的故事！

世界上有一群熱愛 π 的人，那就有另一群討厭π的人，他們認為我們在計算圓的時候應該使用的常數是 τ（念 Tau，τ＝2π），也就是圓周和半徑的比值，τ 的擁護者則會在 6/28 慶祝 τ day。除了科學界慶祝圓周率，影劇界也會開π的玩笑，星際爭霸戰影集在某年 3 月 14 日的劇集中將π的最後一位數當作電腦破譯密碼，但我們知道π是一個無理數，所以我們大概也就永遠無法破解那部電腦了。π 就是這麼神秘且令人著迷，甚至法國奢侈品牌紀梵希就曾經推出一款命名為π的男性香水，是專為聰明、有遠見的男人設計的木質調香。

3 月 14 日不僅是 π day 同時是愛因斯坦的生日、史蒂芬霍金的忌日，是不是也為這天蒙上更神秘的色彩呢，那麼何不一起吃個派慶祝 π day 吧！

參考資料：

1. Pi – Wikipedia
2. Larry Shaw (Pi) – Wikipedia
3. Exploratorium – Wikipedia
4. 阿基米德 – 維基百科，自由的百科全書
5. Daniel A. Russell(2016). Longitudinal and Transverse Wave Motion.
6. Longitudinal and Transverse Wave Motion

• 作者／Steven Strogatz，本文摘自《無限的力量》，旗標出版，2020 年 09 月 09 日

崛起於東方的代數學

雖然微積分的確是在歐洲達到頂峰，但這支數學的根基其實是從別的地方開始的。比如說代數學，它起源於亞洲和中東地區。代數的英文名稱來自於阿拉伯文 al-jabr，原意為「修復」或「碎片重聚」，這是在平衡一道方程式並求解時所需的操作。舉例而言，在處理方程式時，我們經常將一個數字從等號的某一邊移除並加到另一邊，這便是一種先將方程式的一部分拆下再重新修復的過程。

另外，如同我們之前提過的，幾何學事實上源自於埃及。據傳，希臘的幾何學之父泰利斯（Thales）便是在埃及學到這門學問的。還有，幾何學中最著名的一個理論——「畢氏定理」實際上也不是畢達哥拉斯首先發現的；早在公元前 1800 年前的美索不達米亞泥板上就已經存在，證明巴比倫人知道這個定理的時間點比畢達哥拉斯早了至少一千年。

同時必須要注意的是，當我們提到古希臘時，其實是指一個遠超過雅典（Athens）和斯巴達（Sparta）的超廣大領土。在面積最遼闊的時候，它的南方邊界延伸到了埃及、西至義大利與西西里島、而東邊更是橫跨了地中海至土耳其、中東、中亞、甚至是部分的巴基斯坦與印度。畢達哥拉斯是在薩摩斯島（Samos）出生的，這是一座位於安納托利亞（Asia Minor；屬於今日的土耳其）西部海岸線之外的島嶼。阿基米德生活於敘拉古，它位在西西里島的東南方。而歐幾里得則在亞歷山大城附近活動，這是一座位於埃及尼羅河口的巨大港口，並且是當時的學術重鎮。

但在羅馬攻佔了希臘，特別是當位於亞歷山大城的圖書館被燒毀，以及西羅馬帝國隕落以後，數學研究的中心就又回到了東方。阿基米德、歐幾里得、托勒密、亞里斯多德和柏拉圖的作品都被翻譯成了阿拉伯文，並且被當時的學者和抄寫員流傳了下來。這些人同時也在過去的理論中添加了許多嶄新的想法。

代數如何興起，幾何又為何衰落?

在代數降臨前的幾個世紀，幾何學的進展就已經陷入了龜速慢爬時期。在阿基米德於公元前 212 年去世以後，似乎就沒有人能在這個領域超越他的成就。喔，抱歉，應該說「幾乎」沒有人可以超越。大約在公元 250 年，中國的幾何學者劉徽對阿基米德計算圓周率的方法做了改良。兩個世紀以後，祖沖之（公元 429 – 500 年，南北朝時代）使用劉徽的方法及一個 24,576 條邊的多邊形做計算，並在經過一段想必非常史詩級的算術處理後，成功將 π 值限制在以下的兩個數字之間：

3.1415926 < π < 3.1415927

又過了五個世紀，進步再度來臨，這一次是由一位名為哈桑‧本‧海什木（Al-Hasan Ibn al-Haytham；在歐洲通常寫作 Alhazen）的人完成。他於約公元 965 年時出生在伊拉克（Iraq）的巴斯拉（Basra），在進入伊斯蘭黃金時代後，他來到開羅（Cairo）從事包括神學、哲學、天文、醫學等各式各樣的研究。在海什木的幾何著作中，他思考一種阿基米德從未想過的立體圖形，並嘗試計算它的面積。與這個發現本身同樣令人吃驚的是，關於幾何學的重大進展也就這些了，且中間竟然花了十二個世紀的時間。

而就在這段時間裡，代數與算術正在經歷快速且重大的發展。來自印度的數學家發明了「零」這個概念，並創造了十進制系統。另外，關於如何解方程式的代數技巧也在埃及、伊拉克、波斯和中國遍地開花。這些進展大多源自於解決真實世界中的問題，例如：遺產繼承規則、納稅評估、商業活動、計帳、利息計算、以及其它可能用到數字與方程式的主題。

代數在當時仍是用文字敘述，也因此這些問題的解決方法都被寫成類似處方箋一樣的東西，上面包含了如何一步步得到答案的文字指引。其中一本著名的教科書是由穆罕默德‧伊本‧穆薩‧花拉子米（Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi；公元 780 – 850 年）所編寫的，因此作者的姓氏被用來泛指所有透過一系列步驟達成目的的程序，也就是演算法（algorithm，即 al-Khwarizmi 的拉丁文譯名）這個字的由來。最終，貿易商和探險家把這種以文字敘述為基礎的代數、以及從印度與阿拉伯發源的十進制帶往了歐洲，與此同時，人們也開始將阿拉伯文的文獻轉譯成拉丁文。

到了文藝復興時期的歐洲，除了應用層面的探索以外，將代數學符號化的研究也開始盛行起來，並且在 1500 年代達到頂峰。於是，方程式的樣貌開始類似於我們現今看到的樣子，也就是用字母來取代數字的形式。1591 年時，法國的弗朗索瓦‧韋達（François Viète）以母音字母（如：A 和 E）來代表未知值，並用子音字母（如：B 和 G）來代表常數。而如今我們用 x、y、z 表示未知值；a、b、c 表示常數的的習慣則源自於約五十年後出現的笛卡兒。這種使用符號與字母來取代文字敘述的作法，使得方程式的推導與求解更為容易。

在算術上也有同樣重大的突破，那就是來自荷蘭的西蒙‧斯蒂文（Simon Stevin）將阿拉伯十進制數字從整數擴大運用到了小數上，並藉此成功消除了亞里斯多德思想中關於數字（即今天的整數，兩相鄰整數間沒有更小的單位存在）與大小（一種連續的數量，可以被分割成無限小的單位）之間的差異。

在斯蒂文以前，十進制只適用於整數上，而任何小於一單位的數就用分數來表示；但在斯蒂文的新方法中，一個單位的整數可被切割成更小的單位，也就是小數。這對於今天的我們來說是理所當然的事，但在那時卻是一項革命性的想法。當整數具有可分割性，則整數、分數或無理數便可以被整合到一個被稱為「實數」的大家庭中，這給了微積分描述連續空間、時間、運動與變化一項強大而必需的工具。

就在幾何學即將與代數合而為一的前夕，阿基米德所用的舊幾何學方法還有最後一次成功的應用：克卜勒將帶有弧度的物體（如：酒桶和甜甜圈形狀的物體）在腦中切成無限多片且無限薄的圓盤，並藉此計算它們的體積；另外，伽利略與他的學生埃萬傑利斯塔‧托里切利（Evangelista Torricelli）、博納文圖拉‧卡瓦列里（Bonaventura Cavalieri）也是透過將物體視為無限多條線或面的堆疊來求得面積、體積或重心。

然而，這些人在對待「無限大」或「無限小」的概念時可以說是漫不經心，因此他們的方法雖然有力且直覺，卻一點兒也不嚴謹。儘管如此，由於這些方法能比窮盡法更容易且更快速地找到答案，所以也不失為一項讓人感到興奮的進步（當然，如今我們已經知道阿基米德早就使用過這種技巧了，他在關於「方法」的論述裡早就提過相同的點子，只不過當時這些敘述被深埋在一本收藏於修道院的祈禱書之中，直到 1899 年才被人發現）。

• 延伸閱讀：【Gene思書齋】無限小如何形塑現代世界？

無論如何，雖然那些新阿基米德派的做法在當時看上去相當有效，但它們卻不足以應付未來的挑戰。而符號代數此時已經蓄勢待發，與之相關的兩支強大分支，即解析幾何與微分，也已如春芽一般呼之欲出。

把阿基米德與曹沖這兩個古人放在一起，你會聯想到什麼呢？想來想去，他倆唯一的交集應該就是浮力原理吧。阿基米德曾經利用浮力原理檢驗出王冠含有雜質，曹沖則是利用同樣的原理測出了大象的重量（雖然可能只是傳說）。但如果從另一個角度，也可以說他們的交集是巧妙地突破了嚴格的限制。阿基米德的限制是絕對不能損壞王冠，否則只需要刮下一些金粉來化驗；曹沖的限制則是不希望傷害大象，否則只要把大象支解，分成幾十次來秤就行了。

非破壞性檢測：侵入式與非侵入式

不論是阿基米德的王冠，或是曹沖的大象，在檢驗或測量過程中都沒有受到絲毫損傷，這就是如今所謂的非破壞性檢測。

在科學界和工業界，檢測樣本的方式大多皆有破壞性和非破壞性兩種。比方說，石頭通常不太值錢，所以地質學的檢測幾乎都是破壞性的。然而，萬一樣本是非常珍貴的隕石，或是月球岩石（甚至若干年後的火星岩石），那就必須使用非破壞性的方法了。

非破壞性檢測大致又能分成兩種：侵入式與非侵入式。阿基米德的方法是標準的非侵入式，因為他僅僅把王冠放到水裡，以便測量它的體積。因此嚴格說來，浮力原理並沒有真正派上用場，它只是阿基米德研究王冠的副產品罷了。至於最簡單的非侵入式檢測，當然就是使用肉眼觀察──這正是所謂的「低科技永不落伍」，不管科技發展到什麼程度，你的五官、雙手、雙腳仍是不可或缺的重要工具。

不過相較之下，如今工程師所用的檢測大多是侵入式，也就是把某種能量射進樣本，等到能量被樣本反射（或透射樣本）之後，就會提供相關的資訊。由於射入的能量相當微弱，所以不會對樣本造成任何損傷。例如以 X 光尋找金屬材料的瑕疵，就是一種典型的侵入式非破壞性檢測。

醫學檢查的限制：減少對病人造成的不適

提到侵入與非侵入，或許會讓你聯想到醫學檢查的分類。不過請注意，醫學界對侵入的定義和工程師很不一樣，用最簡單的方式來說，如果會讓病人感到不舒服，那才算是侵入式。所以醫生會告訴你，X光並不是侵入式的檢查，甚至輕敲腹部也不是，但胃鏡和大腸鏡就是標準的侵入式了。

病人當然希望所有的檢查都不要太難受，這也正是長久以來醫學界努力的目標。比方說，剛才提到的胃鏡和大腸鏡，其實已經有非侵入式的替代品，那就是非常有科幻色彩、讓人聯想到「聯合縮小軍」這部電影的膠囊內視鏡。你只要將它當成藥丸吞下，膠囊內的鏡頭就會把你的消化道一覽無遺。這種膠囊內視鏡早已上市，只是因為價格昂貴，至今沒有非常普遍。但由於非侵入式檢查是大勢所趨，這種膠囊的普及想必是遲早的事。

從阿基米德的王冠，到吞服式的內視鏡，雖然相距兩千多年，但我們只要用心觀察，不難發現兩者之間存在著明顯的脈絡，那就是無論任何嚴苛的限制，都無法框住人類無窮的創意。

• 本文同時刊載於《科普時報》專欄「談科論幻話創意」，原文標題〈阿基米德與曹冲〉