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【科學史上的今天】9/9——要換不要換?蒙地霍爾問題

你參加美國益智電視節目「做個交易吧」(Let’s Make a Deal),幸運地過關斬將,來到最後一關。在你眼前有三扇門,其中一扇門後面是最大獎汽車一部,另外兩扇門後則各是一頭山羊,只有主持人蒙地.霍爾(Monty Hall)知道門後藏了什麼。你憑直覺選了一扇門,只見霍爾走到另外兩扇門中的一扇,緩緩打開──是頭山羊。你鬆了一口氣,此時霍爾卻以神秘的笑容問你:「再給你一次機會,要不要換另一扇門?」

你該堅持原來的選擇,還是該換另一扇門?

莎凡特(Marilyn vos Savant, 1946–)10歲時測得的智商高達 228,是金氏世界紀錄的保持人(但這個項目在 1990 年後就廢除了),她自 1986 年起在《Parade》雜誌開闢「請問瑪莉蓮」專欄,專門回答讀者帶有科學或數學成份的生活問題。1990 年 9 月 9 日,她在此專欄上回答了前面那個問題。

她的回答是:

應該換,因為換了,選到汽車的機率就會從 1/3 提高到 2/3。

她請讀者想像今天如果是一百萬扇門,而主持人一一打開沒有汽車的門,只留下最後一扇門與你原本的選擇,這時你一定會換吧?

沒想到,數以千計抗議的信件蜂擁而來,讀者們不解向來令人信服的瑪莉蓮為何會犯下如此初級的錯誤。不就剩兩扇門沒打開嘛,不論換不換,輸贏的機會都各半,怎麼會一扇門的勝算是另一扇門的兩倍?來信中更不乏博士級的讀者指責她搞砸了,要她先去上機率的課程。

你該堅持原來的選擇,還是該換另一扇門?圖/BY djoanis@Pixabay

莎凡特只好在下一期的專欄中列出所有可能性的樣本空間,以證明自己所言無誤,但還是有不少讀者不肯相信,繼續來信抨擊她:「已經有三位數學家指正你了,你還不承認錯誤?!」莎凡特沒有再花力氣在數學上,而是呼籲學校老師在班上實際做實驗看看。結果超過一千個班級做了實驗,幾乎百分之百證實換比不換好;有許多人用電腦模擬也都證明如此。

當初反對的數學家後來也都承認莎凡特才是對的,不過他們強調是因為題目沒有說清楚主持人一定會故意打開沒有車那扇門;如果是隨機任開一扇門,則換不換還是沒有差別【註】。

有趣的是,大數學家艾狄胥(Paul Erdős)看了同事的證明仍不肯相信,直到幾百次的電腦模擬顯示換的勝算是 2/3 後,他才承認自己的直覺是錯的。

或許正如葛登能(Martin Gardner)在《科學美國人》轉載這個「蒙地霍爾問題」時所下的註解:

「數學中還沒有其它哪個領域,比機率理論更容易令專家出錯。」

  • 註解
  • 有個思考方式或許可以幫你搞清楚。換的結果是好是壞,取決於你一開始的選擇。如果你原本沒選到汽車那扇門(這樣的機率是 2/3),那麼換了就能得到汽車;除非你很幸運一開始就選對(這樣的機率是 1/3),換了才會不好。既然前者發生的機率比較大,當然換的勝率會比較高。
  • 然而,如果主持人也不知道門後是什麼,那麼在前者的狀況下,他在剩下兩扇門中開了山羊那扇門的機率是 1/2,此時選擇換而得到汽車機率就只有 2/3 * 1/2 = 1/3,與你選擇不換而能得到汽車(也就是你一開始就幸運地選到汽車)的機率一樣,所以換不換的勝率都相同。
  • 你可能會覺得奇怪:兩者機率各是 1/3,那還有 1/3 呢?另外這 1/3 的機率就是:主持人隨機打開的剛好是汽車那扇門,當然這時候你就當場傻眼,也沒有換不換的問題了。

關於作者

張瑞棋

1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。自小喜愛科學新知,浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,更成為重度閱讀者。當了中年大叔才成為泛科學專欄作者,著有《科學史上的今天》一書,如今又因翻譯《解事者》,而多了個譯者的身分。