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解開高斯相關性猜想,退休統計學家的靈光一閃

UniMath_96
・2017/04/09 ・3326字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 513 ・六年級

文/陳宏賓|UniMath 主編、逢甲大學應用數學系助理教授

一道靈光射進了羅炎的腦袋,困擾數十年的高斯相關性猜想終於攻破了大門!圖/By edfungus @ pixabay, CC0 Public Domain

2014 年夏天的某一個清晨,陽光如往常一樣穿透白色窗簾照了進來,羅炎起身前往浴室盥洗,一邊刷著牙一邊回想昨晚入睡前那個證明。突然間,一道靈光射進了羅炎的腦袋,困擾數十年的高斯相關性猜想(Gaussian Correlation Inequality Conjecture)終於攻破了大門!

連結機率、統計與幾何的猜想 

高斯相關性不等式(GCI)有許多不同的版本,其中最著名的是 1972 年連結機率、統計以及幾何三大領域的版本:

想像一個射飛鏢遊戲,以正中紅心為目標射許多次,飛鏢落點會以紅心為中心呈現類似鐘形的高斯分佈(或者稱常態分佈),如果以紅心為中心點同時畫一個圓和一個方形,高斯相關性不等式即是說飛鏢落在圓和方形的交集的機率會大於或者等於落在圓形的機率乘以落在方形的機率。

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P(圓 ∩ 方)≥ P(圓)× P(方)

這裡不同於下面這種大家比較熟知的獨立事件機率,若 A 跟 B 是統計獨立的兩事件,則我們會有這個等式:

P(A ∩ B)= P(A)× P(B)

直觀來說,由於圓形和方形有重疊部分區域,射中其中一個的情況下,同時也射中另一個的機率會因此提高。

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事實上,GCI 猜測是針對任意維度 d 都成立,且兩個同中心的形狀只要是具有對稱性的凸集(symmetrical convex set)即可。

高斯相關性不等式(GCI)有許多不同的版本,其中最著名的是 1972 年連結機率、統計以及幾何三大領域的版本,來想像一下丟飛鏢。圖/By 15299 @ pixabay, CC0 Public Domain

GCI 猜想的原始型態是統計學中關於信賴區間的估算,由美國統計學家奧利佛.丹(Olive Dunn)在 1959 年首次提出。

想像我們要針對一群人(已知平均身高是 170 公分,平均體重是 65 公斤),給出一個身高和體重的範圍,使身高體重同時落在此範圍內的人數佔全部的 90% 以上。 這任務可不太容易,因為人的身高和體重是彼此相關,並非獨立的。假設身高和體重分別都呈現高斯分佈(常態分佈)的情況下,依據[68-95-99.7 法則]我們知道

P(平均加減兩個標準差)≥ 95%

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也就是說,如果身高和體重標準差分別是 7 和 8,我們會知道

P(身高介於 156 到 184 的人數)≥ 95%
P(體重介於 49 到 81 的人數)≥ 95%

再由高斯相關性不等式可以推得

P(身高介於 156 到 184 公分且體重介於 49 到 81 公斤的人數)≥ 0.95 × 0.95 = 0.9025

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維度 d=2 的情況早在 1977 年就被維吉尼亞大學的羅倫.彼特(Loren Pitt)教授證明出來。受訪時,羅倫緩緩地閉起眼睛,說起 1973 年某次和同事吃午餐時聽到這道「簡單」的數學問題時的回憶:

「嘿~羅倫,你知道有個有趣的數學問題 GCI 嗎? 就是想像一個射飛鏢遊戲,然後……」
「聽起來蠻有意思的,老墨~不過,你說這個還沒有人解出來?!」語氣顯得有點疑惑。
「恩!還沒有。」
「不太可能吧! 看起來不太難啊,應該很快就可以知道答案了。」我心裡當時這麼想。
「於是,我把自己關進一間房間,打算當我再次走出房門時就已經證明  GCI  是正確的或者錯了。」

說到這裡,羅倫張開眼睛望向窗外不發一語。而時間一轉眼已經過了將近四十年……

湯瑪斯.羅炎

故事回到解開謎底的湯瑪斯.羅炎(Thomas Royen)身上,今年已經 70 歲的他是德國一位退休統計學家,在這次事件之前可能沒甚麼人聽過他,這點倒是和前幾年華裔數學家張益唐有點像,某天突然靈光一現洞悉真理的故事在數學界也不算少數,不過這次倒是有幾點值得特別一提的趣事。

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要解決一道難題不妨先把它變得更難

首先,數學界有件事情是外界的人難以想像的。「經常發生一種情況是,解決一道看起來很困難不會解的問題的方法是把這個問題推廣成一個更難的問題,然後解決它。

聽起來有點荒謬,打個比方,就好像是一個屢次練習中連 10K 都跑不完的跑者,居然去挑戰極地超馬想藉此證明自己可以跑完 10K。羅炎的證明就是走這個套路,把猜想中高斯分佈這個條件推廣到更複雜、更一般的情況。神奇的是,問題居然就這樣解了,證明還只用了 3 頁!!!
(不過,有人覺得羅炎的版本太神了,可能不太好體會其奧妙之處,因此寫了個簡易 GCI 版的。)

在數學界經常發生一種情況是,解決一道看起來很困難不會解的問題的方法是把這個問題推廣成一個更難的問題,然後解決它。圖/By skeeze @ pixabay, CC0 Public Domain

差點沉沒的寶石

第二,這個影響重大的論文羅炎居然把它投稿到一個名不見經傳的印度期刊,因此使得他的論文 2014 年發表之後又過了兩年 才漸漸引起學術界的注意。一顆璀璨的鑽石差點就沉沒汪洋大海之中。一個學術上極重要的成果發表兩年後才傳播開來,在這個通訊發達的年代,幾乎是怎麼想都不太可能發生的事情。

而不太可能發生的事情終究還是發生了。

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峰迴路轉

羅炎不會用數學界編輯論文常用的 LaTeX 軟體,論文初稿是用 word 打的,完成後一份丟上 arXiv,一份寄給一年半以前曾指出他在一篇嘗試證明 GCI 的論文中所犯之錯誤的賓州州立大學丹諾.理查德斯(Donald Richards)教授,當理查德斯收到信件時,一眼他就知道「Bingo!就是你了!」

事後回想起來,理查德斯有幾分懊惱,這個精簡的證明居然自己三十幾年來都沒有想到。這種心情搞數學的人一生中或多或少都會遇上個幾次吧。

不過,他也慶幸能在有生之年看到 GCI 的美妙證明問世。理查德斯興奮之餘還不忘將這個重大發現通知幾個同事,也熱心的幫忙把論文重新用 LaTeX 編輯,讓它看起來專業一點,符合頂尖期刊的水平。

可惜的是,投稿出去還是撞牆,原因是過去數十年來聲稱證明 GCI 猜想的論文每年都有一籮筐,期刊的審稿委員看都看膩了,通常一下子就能指出關鍵性的錯誤所在,要是碰上像羅炎這樣沒沒無聞的傢伙,通常也不會太認真對待。

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羅炎的論文因此被草率忽略了!
羅炎的論文因此被草率忽略了!!
羅炎的論文因此被草率忽略了!!!

雖然有人曾建議羅炎投到最頂尖的期刊,像是統計年鑑(Annals of Statistics),這樣子一來消息很快就會傳到全世界,不過羅炎考量後還是決定投到很快就可以發表的印度期刊 Far East Journal of Theoretical Statistics,這種期刊的壞處就是即使刊出之後也不太有人知道這件事。一直到 2015 年底 Rafał Latała 和他的學生 Dariusz Matlak 重新寫了一個簡易 GCI 版本的論文,2017 年 3 月 28 日知名雜誌 Quanta Magazine 刊出一篇專欄報導,整個事件才得以散播出來。

最後,羅炎教授受訪時表示,他希望這個意外簡單的證明能夠鼓勵年輕的學生,善用自己的創意去尋找新的數學定理,畢竟那並不總是需要具備非常高深的理論基礎才辦得到。

“the surprisingly simple proof … might encourage young students to use their own creativity to find new mathematical theorems, since a very high theoretical level is not always required.”

本文轉載自UniMath,原文為[統計學突破]解開高斯相關性猜想,退休統計學家湯瑪斯羅炎的神來一筆

作者簡介:陳宏賓 - UniMath 主編、逢甲大學應用數學系助理教授。
數學既深且廣,我懂得不多,最喜愛組合數學相關領域,主要研究興趣是群試理論、圖論及最優化分解。2013 年出版「Partitions: Optimality and Clustering, Volume II: Multi-Parameter」一書(與 Uriel Rothblum 和 Frank K. Hwang 教授合著)。對於數學和教育有強烈的熱忱和使命感,積極創立 UniMath 電子數學媒體,致力於推廣數學文化。

關於UniMath:UniMath (You Need Math)是一個 Online 數學媒體,我們的目的是成為一個線上平台,發表數學相關的科普文章及影音,使數學用更柔軟的姿態走入群眾,提升數學素養。歡迎加入 Facebook 粉絲團知道第一手訊息!

參考文獻:

  1. L. D. Pitt, A Gaussian correlation inequality for symmetric convex sets, Ann. Probab. 5 (1977), 470– 474.
  2. T. Royen, A simple proof of the Gaussian correlation conjecture extended to multivariate gamma distributions, Far East J. Theor. Stat. 48 (2014), 139–145.
  3. R. Latala and D. Matlak. Royen’s proof of the Gaussian correlation inequality. ArXiv http://arxiv.org/abs/1512.08776, 2015.
  4. A Long-Sought Proof, Found and Almost Lost, Quanta Magazine, 2017/03/28.
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快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

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連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

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在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

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地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

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地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

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許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

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地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

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此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

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充滿能量的泛科學品牌合作帳號!相關行銷合作請洽:contact@pansci.asia

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小透鏡們的魔術- 由模糊而生的清晰 ! Engraved panel casts image on walls
Scimage
・2011/05/31 ・515字 ・閱讀時間約 1 分鐘 ・SR值 498 ・六年級

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家裡有方格玻璃門的朋友都知道,光通過那種玻璃門會變成像是光斑,如果再離遠一點就變成均勻的光。這樣的設計是為要讓光被打亂,所以外面的人看不到裡面,可是光又進的去。不過這樣的模糊特性不是絕對的,經由數學計算,其實清晰的影像可以從這樣的光斑來產生。

影片中的小板子上有很多非等向性的小透鏡,打上光之後,如果離螢幕很近,就只會產生光斑,不過把這小板子慢慢拿遠以後,照出來的光斑慢慢變成聚合成的美女跟愛因斯坦的影像了( 做影像展示的好像很喜歡用愛因斯坦,像之前介紹過的用細菌照相也是!)。

這樣的技術是透過把影像的深淺強度用橢圓的高斯分布來展開,用很多可控制位置的模糊影像來合成清晰影像,最後將可對應造成光斑的小透鏡做成表面的起伏就完成了。以往這樣的系統常常是在傅立葉轉換平面,利用控制光的波前相位分布來達成,不過那樣的技術需要特殊的調變元件,也會損失光強(發光強度)。這影片提出的方式比較直觀跟容易設計,也有可能大規模利用塑膠材質來達成,或許可以用在一些特定的照明場合上~!

學術文獻

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本文原發表於科學影像Scimage[2011-05-30]

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Scimage
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每日介紹科學新知, 科普知識與實際實驗影片-歡迎每一顆好奇的心 @_@!