1

7
3

文字

分享

1
7
3

永無止境的圓周率追尋之旅──《數學大觀念》

貓頭鷹出版社_96
・2017/03/13 ・4986字 ・閱讀時間約 10 分鐘 ・SR值 503 ・六年級

  • 【科科愛看書】無論何時,只要想到數學就一個頭兩個大?那你肯定還沒看過《數學大觀念:從數字到微積分,全面理解數學的 12 大觀念》!此書從簡單加減到高深微積分,用嶄新的視角連結密碼般的數字和真實人生,循序漸進去探索數學的規律和其中令人讚嘆的美好。讓我們一起將數學砍掉重練,邁向數學偉大的航道吧!

π 數知多少? 真有如滔滔江水,連綿不絕啊~

只要仔細測量,你便可以用實驗的方法確定 π 稍微大於 3。但是自然而然浮現了兩個問題:

  1. 你可否在不用任何實質測量的條件下,證明 π 是一個接近 3 的數?
  2. π 又是否能用一個簡單的分數或是公式來表示?

第一個問題可以經由畫一個半徑為 1 的圓來回答,這個圓的面積是 π12=π。在下圖中,我們畫出一個邊長為 2 的正方形,將這個圓完整的包在裡面。由於這個圓的面積一定小於正方形的面積,這就證明了 π<4。

圖/《數學大觀念

另一方面,這個圓包含了一個六邊形,它的六個角平均分布在圓周上。這個內接六邊形的周長是多少呢?六邊形可以分解成 6 個三角形,每個三角形都有一個 360º/6=60º 的圓心角,而且每個三角形中有兩邊是圓的半徑(長度為 1),所以它們都是等腰三角形。根據等腰三角形定理,另外兩個角有相同的角度,所以一定都是 60º。

因此,這些三角形都是邊長為 1 的等邊三角形。於是這個六邊形的周長是 6,而它一定比圓周 2π 少一點。因此 6<2π,也就是 π>3。將這些結果放在一起,我們就會得到 3<π<4。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

我們可以用具有更多個邊的多邊形來將 π 限縮在更小的區間中。舉例來說,如果我們不用正方形,而是用一個六邊形將單位圓包起來,就能證明 π<2√3=3.46……。


這個六邊形同樣可以被細分成六個等邊三角形,每一個三角形都可以再細分成兩個全等的直角三角形。如果較短的直角邊其長度為 x,那麼斜邊的長度就是 2x。根據畢氏定理,x2+1=(2x)2,我們即可解出 x=1/√3。

由此可知,這個六邊形的周長是 12/√3=4√3。而因為這個數大於這個圓的周長 2π,於是 π<2√3。(有趣的是,如果將這個圓與這個六邊形兩者的面積互相比較,我們也會得到相同的結論。)

根據這個結果,偉大的古希臘數學家阿基米德(西元前 287~212 年)進一步創造出 12、24、48 和 96 邊的內接和外切多邊形,並導出 3.14103<π<3.14271,以及一個更簡單的不等式:3 又 10/71<π<3 又 1/7

分數啊,請為我找到 π 吧!

用分數逼近 π 有很多簡單的方式,比方說:314/100=3.14、22/7=3.142857、355/113=3.14159292……。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

我特別喜歡最後一個逼近式,因為它不只正確產生小數點後的前六位數,也把最初三個奇數各用上兩次:依序是兩個 1、兩個 3 和兩個 5!

當然,若能找出一個剛好等於 π 的分數會很有趣。(其中分子和分母都是整數,否則我們可以直接用 π=x/1。)不過,朗伯(Johann Heinrich Lambert)在 1768 年證明了 π 是一個無理數,也就證明了上述的嘗試徒勞無功。

或許 π 可以用某個簡單數目的平方根或立方根來表示?舉例來說,√10=3.162…已經相當接近了。

但是在 1882年,林德曼(Ferdinand von Lindemann)證明了 π 不只是無理數,還是一個超越數。也就是說,π 不是任何一個整係數多項式的根。舉例來說,√2 是一個無理數,但它並不是一個超越數,因為 √2 是多項式 x2−2 的根。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

雖然 π 並不能用一個分數來表示,卻能表示成無窮多個分數的總和或乘積!舉例來說,我們在第十二章會看到:π=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11…)

這個公式不僅美麗,也相當驚人,但在計算 π 的眾多公式中,它並不算是非常實用的一個。算了 300 項之後,我們仍舊不會得到比 22/7 更逼近 π 的數值。下面是另一個驚人的公式,我們稱之為沃利斯公式,它以一個無窮乘積來計算 π,不過同樣需要花很長的時間來收斂。

π=4(2/3×4/3×4/5×6/5×6/7×8/7×8/9…)=4(1-1/9)(1-1/25)(1-1/49)(1-1/81)…

躺著背、坐著背、趴著背,還是 π 最好背!

由於大家都為 π 所著迷(一部分是為了測試超級電腦的速度和準確性),所以 π 曾經被算到幾兆位數。當然,其實我們並不需要這種精確度,只要知道 π 的前四十位數,你就可以測量出已知宇宙的周長,誤差不超過氫原子的半徑!

π 這個數已經發展到近乎讓人狂熱崇拜的地步了。許多人喜歡在「π 日」(3 月 14 日,用數字來呈現就是 3/14,剛好也是愛因斯坦的生日)讚頌 π。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
It’s Pi Day~~~圖/GIPHY

在這一天,典型的活動可能包含展示和食用以數學為裝飾主題的派、打扮成愛因斯坦的樣子,當然也少不了 π 的記憶大賽。參賽的學生一般都可以記住 π 的幾十位數,但通常贏家都是那些記得超過一百位數的人。

對了,目前記憶 π 的世界紀錄是呂超這位中國人,他曾在 2005 年背誦出了 π 的 67,890 位數!根據《金氏世界紀錄》,呂超花了四年才記住這麼多位數,他也花了整整一天多的時間才將這些位數統統背誦出來。我們來看看 π 的前一百位數:

π = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105
820974944592307816406286208998628034825342117067 …

經過這麼多年,人們早已想出一些背誦圓周率的妙方,其中之一就是創造特殊的英文句子,讓句子裡每個單字所包含的字母數代表 π 的下一位數。一些著名的例子包括:

「How I wish I could calculate pi.」(得到七位數:3.141592)

「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.」(提供了十五位數)

記憶吐…派?圖/GIPHY
  • (譯注:而在中文裡,有人用諧音的方式將圓周率藏在詩句中,其中最著名的是〈山巔〉這首五言絕句:「一寺一壺酒,二柳舞扇舞,把酒棄舊山,惡善百世流。」連題目共得到二十一位數:3.14159265358979323846。)

最令人佩服的例子出現在 1995 年,凱斯(Mike Keith)利用愛倫坡一首鬼斧神工的打油詩〈烏鴉〉創造出記住 740 位數的方法。這首詩的標題和第一節加起來就能產生出 42 位數,其中由十個字母組成的單字對應數字 0。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

Poe, E. Near a Raven(譯注:對應 3.1415,以下依此類推)
Midnights so dreary, tired and weary.
Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore.
During my rather long nap−the weirdest tap!
An ominous vibrating sound disturbing my chamber’s antedoor.
“This,” I whispered quietly, “I ignore.”

凱斯隨後將這首鉅作繼續延伸,寫出一首藏有 3835 位數的詩,題為〈Cadaeic Cadenza〉。(請注意,如果你用數字 3 代替字母 C、用 1 代替 A、用 4 代替 D……,那麼「cadaeic」這個字就會變成 3141593。)這首詩的開頭取材自〈烏鴉〉,但也包含了一些數位作品評論以及模仿其他詩詞的部分,比如說卡羅(Lewis Carroll)的詩作〈無聊〉(Jabberwocky)也在其中。

凱斯在這方面最新的貢獻是出版了一本書,書名是「Not a Wake: A Dream Embodying π’s Digits Fully for 10000 Decimals.」(請注意此書標題中每個單字的字母數!)這種用字母數來記憶 π 的方法有一個很大的問題,那就是即使你能記住這些句子、詩詞和故事,要立刻判斷出每個單字有多少字母也並非一件簡單的事。

關於這點,我喜歡的說法是:「多麼希望能跟大家解釋,其實通常有更好的記憶法可用。」( 「How I wish I could elucidate to others. There are often superior mnemonics!」這句話產生出13位數。)

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
《Not a Wake: A Dream Embodying π’s Digits Fully for 10000 Decimals.》

來點音碼巧思,讓數字成為你朋友

要記住許多數字,我最喜歡用的方法是一種名為主要系統的音碼。在這套音碼中,每個數字都用一個或多個子音來表示。更具體地說:

1=t 或d
2=n
3=m
4=r
5=l
6=j、ch 或 sh
7=k 或硬 g 音
8=f 或 v
9=p 或 b
0=s 或 z

甚至還有人發明了幫你記住這套記憶系統的記憶法呢!我的朋友馬洛斯科維普(Tony Marloshkovips)提供了下列建議:字母 t(或發音相似的 d)中藏有一條直線;n 有兩條;m 有三條;而愛地球就別忘了環保 4R。伸出 5 根手指頭,你就會在拇指和食指之間看到 L;將 6 倒過來,看起來就很像字母 j;而兩個 7 可以組成一個K。(微軟系統)開機時按下 F8 能進入安全模式;將 9 左右或上下翻轉,就能得到 p 或 b。最後,ZO 就是 0 輸出的意思。

或者你也可以將這些子音統統照順序排好,形成TNMRLShKVPS,然後就會得到一個我(想像中的)朋友的名字:

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

Tony Marloshkovips

我們只要在每個相連的子音中插入母音,就能利用這套音碼讓數字變成文字。舉例來說,31 用到的子音有 m 和 t(或是 m 和 d),因此這個數字可以轉化成如下一些單字:

31 = mate, mute, mud, mad, maid, mitt, might, omit, muddy

請注意,像是「muddy」或是「mitt」這樣的單字是可以被接受的,因為 d 和 t 聽起來像是只出現一次,拼法也不會造成任何影響。此外,因為像是 h、w 和 y 這樣的子音並沒有出現在上表中,所以這些字母也能像母音一樣自由使用。因此我們可以將 31 轉化成像是「humid」或是「midway」這樣的單字。請注意,雖然同一個數字通常可以對應許多不同的單字,但是一個單字只能表示唯一的數字。

π 的前三個位數包含子音 m、t 和 r,這三位數可以轉換成如下一些單字:314 = meter, motor, metro, mutter, meteor, midyear, amateur;前五個位數 31415 可以變成「my turtle」這個詞。若再繼續延伸至 π 的前二十四位數,314159265358979323846264 就可以變成:

My turtle Pancho will, my love, pick up my new mover Ginger

然後將接下來的十七位數 33832795028841971 變成:My movie monkey plays in a favorite bucket;我很喜歡接下來的十九位數:6939937510582097494,因為它們可以對應一些較長的單字:Ship my puppy Michael to Sullivan’s backrubber;而下面十八個位數 459230781640628620 可以帶給我們這句話:A really open music video cheers Jenny F. Jones;然後再接下來的二十二位數 8998628034825342117067 則是:Have a baby fish knife so Marvin will marinate the goose chick!

於是,我們就將圓周率的前一百位數悄悄藏在這五個傻裡傻氣的句子中了!音碼對於記憶日期、電話號碼、信用卡號等長串數字都相當有用。試試看,只要稍加練習,你就能大大增強記住許多數字的能力了。

π 還是 τ?今天要算哪一道?請選擇!

π 是數學中最重要的數之一,這一點所有的數學家都會認同。但是如果你看看那些用到 π 的公式,你會發現它們大多會將 π 乘上 2。我們用希臘字母 τ(發音類似「陶」)來代表這個數。

τ = 2π

許多人相信如果我們能回到過去,就能因為用 τ 取代 π,而讓許多數學公式以及三角學中的關鍵概念變得比較簡單。在一些文章中,比如說帕萊(Bob Palais)的〈 π 是錯誤的!〉以及哈特爾(Michael Hartl)的〈 τ 的宣言〉,作者都優雅又饒富趣味地表達過這個想法。

這個論述的「中心點」在於圓都是由半徑來定義的,當我們將圓周和半徑相比的時候,就會得到 C/r=2π = τ。有些教科書現在會標示「兼容 τ」來表示這本書同時用 π 和 τ 來寫出公式。(雖然全面改用 τ 不會是輕鬆的過程,但許多學生和老師都認為使用 τ 會比 π 更輕鬆。)觀察這項行動在未來數十年會演變成什麼樣子是相當有趣的。

τ 的支持者(他們自稱為陶幫)誠摯地相信真理站在他們那邊,但他們也能包容比較傳統的符號。如同他們所說的,陶幫絕非頑固不化。下面是 τ 的前一百位數,其中插入了一些空格,對應我們隨後會提到的記憶法。請注意,τ 的開頭是 6,接著是 28,這兩個數目都是第六章提過的「完全數」。這是個巧合嗎?當然囉!不過還算是個有趣的花絮啦。

τ = 6.283185 30717958 64769252 867665 5900576 839433 8798750
211641949 8891846 15632 812572417 99725606 9650684 234135 ⋯

2012 年,當時才十三歲的布朗(Ethan Brown)締造了一項世界紀錄。為了一個募款計畫,他背出了 τ 的 2012 位數。他也是利用音碼,但並非創造出長句,而是創造出視覺圖像。每個畫面都包括了一個主體、一個動作(結尾永遠是現在進行式的 -ing)和一個當作受詞的物體。例如 τ 的前七位數:62 831 85 就變成「An ocean vomiting a waffle」(大海吐出一塊鬆餅)。下面是他為 τ 的前一百位數所創造出來的畫面:

An ocean vomiting a waffle
A mask tugging on a bailiff
A shark chopping nylon
Fudge coaching a cello
Elbows selling a couch
Foam burying a mummy
Fog paving glass
A handout shredding a prop
FIFA beautifying the Irish
A doll shooing a minnow
A photon looking neurotic
A puppy acknowledging the sewage
A peach losing its chauffeur
Honey marrying oatmeal

為了更容易記住這些畫面,布朗採用記憶宮殿這個方法。他想像自己在學校中遊蕩,當他沿著某條走廊前進並進入一間間的教室,每間教室裡都會有三到五個主體做著一些蠢事。最後,他得到了分布在 60 個地方的 272 個圖像。花了四個月準備之後,他用了 73 分鐘背誦出那 2012 位數。

來首餘韻無窮的 π 之歌吧!

讓我們用一首讚頌 π 的樂曲來結束這一章吧。這是我根據雷斯(Larry Lesser)的模仿歌曲〈美國 π〉(American Pi)所寫的一段新歌詞(譯著:雷斯所模仿的對象是〈American Pie〉這首經典歌曲)。這首歌你應該只唱一次就好,因為 π 是不會自我重複的。

很久,很久以前,
我還記得數學課總是讓我打瞌睡。
因為我們碰上的每一個數,
不是有終點就是一直重複。
但或許這世上其實有更厲害的數

但後來我的老師說:「給你一個挑戰,
試著找出圓的面積。」
雖然我嘗試無數,
我還是找不出一個分數。

我不記得我是不是哭了,
愈是嘗試或限制範圍,
但在我心深處有個東西觸動了我
就在這一天我認識了 π!

π 啊 π,數學上的 π,
兩個十一除以七是個不錯的嘗試。
你或許希望能提出一個美好的分數
但它的小數展開永不止息,
小數展開永不止息。

π 啊 π,數學上的 π,
3.141592653589。
你或許希望能用一個美好的分數來定義它,
但是小數展開永不止息!


本文摘自《數學大觀念:從數字到微積分,全面理解數學的 12 大觀念》,貓頭鷹出版

文章難易度
貓頭鷹出版社_96
62 篇文章 ・ 26 位粉絲
貓頭鷹自 1992 年創立,初期以單卷式主題工具書為出版重心,逐步成為各類知識的展演舞台,尤其著力於科學科技、歷史人文與整理台灣物種等非虛構主題。以下分四項簡介:一、引介國際知名經典作品如西蒙.德.波娃《第二性》(法文譯家邱瑞鑾全文翻譯)、達爾文傳世經典《物種源始》、國際科技趨勢大師KK凱文.凱利《科技想要什麼》《必然》與《釋控》、法國史學大師巴森《從黎明到衰頹》、瑞典漢學家林西莉《漢字的故事》等。二、開發優秀中文創作品如腦科學家謝伯讓《大腦簡史》、羅一鈞《心之谷》、張隆志組織新生代未來史家撰寫《跨越世紀的信號》大系、婦運先驅顧燕翎《女性主義經典選讀》、翁佳音暨曹銘宗合著《吃的台灣史》等。三、也售出版權及翻譯稿至全世界。四、同時長期投入資源整理台灣物種,並以圖鑑形式陸續出版,如《台灣原生植物全圖鑑》計八卷九巨冊、《台灣蛇類圖鑑》、《台灣行道樹圖鑑》等,叫好又叫座。冀望讀者在愉悅中閱讀並感受知識的美好是貓頭鷹永續經營的宗旨。

0

8
2

文字

分享

0
8
2
快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

文章難易度

討論功能關閉中。

鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
196 篇文章 ・ 300 位粉絲
充滿能量的泛科學品牌合作帳號!相關行銷合作請洽:contact@pansci.asia

0

1
0

文字

分享

0
1
0
【科學說文解字】才不是白色情人節!是 π DAY!公式裡常見的符號到底該怎麼寫、怎麼唸?
PanSci_96
・2024/03/14 ・779字 ・閱讀時間約 1 分鐘

各位觀眾~今天是什麼節日呢?

什麼?情人節?

嘖嘖嘖,只知道這個的話就膚淺了。

今天可是圓周率日、愛因斯坦的生日、霍金的忌日……是巧合嗎?我可不這麼認為!總之,對於科學界來說,3 月 14 日不僅僅是白色情人節,而是一個意義非凡的日子!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

那圓周率又有什麼酷酷的地方讓科學家如此著迷,甚至有一個專門的節日呢?快點進影片,一探究竟吧!

除了 π(pi)之外,你還認得哪些希臘字母呢?從國中就認識的朋友——代表波長的 λ(lambda):

還是代表頻率,長得很像 v,常常害小編認錯的 ν(nu)?

在高中認識的 μ(mu),除了用於微米、代表摩擦係數,它還有什麼意思呢?

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

快動動你的指頭搜尋一下吧!

最後這個像蛇的符號是什麼啊?長得有點像 Z 的書寫體?

沒錯!拉丁字母的 Z 就是從 ζ(zeta)來的。

而數學上有許多 ζ 函數,其中,最為知名的便是發現質數規律的黎曼 ζ 函數。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

歡迎訂閱 Pansci Youtube 頻道 獲取更多深入淺出的科學知識!

討論功能關閉中。

PanSci_96
1217 篇文章 ・ 2147 位粉絲
PanSci的編輯部帳號,會發自產內容跟各種消息喔。

0

0
0

文字

分享

0
0
0
民眾黨是未來台灣政治的樞紐?
林澤民_96
・2024/01/30 ・3382字 ・閱讀時間約 7 分鐘

一、前言

選後的立法院三黨不過半,但民眾黨有八席不分區立委,足以與民進黨或國民黨結成多數聯盟,勢將在國會居於樞紐地位。無獨有偶的是:民眾黨主席柯文哲在總統大選得到 26.5% 的選票,屈居第三,但因其獲得部分藍、綠選民的支持,在選民偏好順序組態的基礎上,它卻也同樣地居於樞紐地位。這個地位,將足以讓柯文哲及民眾黨在選後的台灣政壇持續激盪。

二、柯文哲是「孔多塞贏家」?

這次總統大選,誰能脫穎而出並不是一個特別令人殷盼的問題,更值得關心的問題是藍白綠「三跤㧣」在選民偏好順序組態中的消長。台灣總統大選採多數決選制,多數決選制英文叫 first-past-the-post(FPTP),簡單來講就是票多的贏,票少的輸。在 10 月中藍白合破局之後,賴蕭配會贏已經沒有懸念,但這只是選制定規之下的結果,換了另一個選制,同樣的選情可能就會險象環生。

從另一個角度想:選制是人為的,而選情反映的是社會現實。政治學者都知道天下沒有十全十美的選制;既定的選制推出了一位總統,並不代表選情的張力就會成為過眼雲煙。當三股社會勢力在制度的帷幕後繼續激盪,台灣政治將無法因新總統的誕生而趨於穩定。

圖/作者自製

如果在「三跤㧣」選舉之下,選情的激盪從候選人的得票多少看不出來,那要從哪裡看?政治學提供的一個方法是把候選人配對 PK,看是否有一位候選人能在所有的 PK 中取勝。這樣的候選人並不一定存在,如果不存在,那代表有 A 與 B 配對 A 勝,B 與 C 配對 B 勝,C 與 A 配對 C 勝的 A>B>C>A 的情形。這種情形,一般叫做「循環多數」(cyclical majorities),是 18 世紀法國學者孔多塞(Nicolas de Condorcet)首先提出。循環多數的存在意涵選舉結果隱藏了政治動盪。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

另一方面,如果有一位候選人能在配對 PK 時擊敗所有的其他候選人,這樣的候選人稱作「孔多塞贏家」(Condorcet winner),而在配對 PK 時均被擊敗的候選人則稱作「孔多塞輸家」(Condorcet loser)。三角嘟的選舉若無循環多數,則一定會有孔多塞贏家和孔多塞輸家,然而孔多塞贏家不一定即是多數決選制中贏得選舉的候選人,而多數決選制中贏得選舉的候選人卻可能是孔多塞輸家。

如果多數決選制中贏得選舉的候選人不是孔多塞贏家,那與循環多數一樣,意涵選後政治將不會穩定。

那麼,台灣這次總統大選,有沒有孔多塞贏家?如果有,是多數決選制之下當選的賴清德嗎?我根據戴立安先生調查規劃的《美麗島電子報》追蹤民調第 109 波(1 月 11 日至 12 日),也是選前最後民調的估計,得到的結果令人驚訝:得票墊後的柯文哲很可能是孔多塞贏家,而得票最多的賴清德很可能是孔多塞輸家。果然如此,那白色力量將會持續地激盪台灣政治!

我之前根據美麗島封關前第 101 波估計,侯友宜可能是孔多塞贏家,而賴清德是孔多塞輸家。現在得到不同的結果,顯示了封關期間的三股政治力量的消長。本來藍營期望的棄保不但沒有發生,而且柯文哲選前之夜在凱道浩大的造勢活動,還震驚了藍綠陣營。民調樣本估計出的孔多塞贏家本來就不準確,但短期內的改變,很可能反映了選情的激盪,甚至可能反映了循環多數的存在。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

三、如何從民調樣本估計孔多塞贏家

根據這波民調,總樣本 N=1001 位受訪者中,如果當時投票,會支持賴清德的受訪者共 355 人,佔 35.4%;支持侯友宜的受訪者共 247 人,佔 24.7%。支持柯文哲的受訪者共 200 人,佔 19.9%。

美麗島民調續問「最不希望誰當總統,也絕對不會投給他的候選人」,在會投票給三組候選人的 802 位支持者中,一共有 572 位對這個問題給予了明確的回答。《美麗島電子報》在其網站提供了交叉表如圖:

根據這個交叉表,我們可以估計每一位明確回答了續問的受訪者對三組候選人的偏好順序,然後再依這 572 人的偏好順序組態來判定在兩兩 PK 的情形下,候選人之間的輸贏如何。我得到的結果是:

  • 柯文哲 PK 賴清德:311 > 261(54.4% v. 45.6%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:287 > 285(50.2% v. 49.8%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:293 > 279(51.2% v. 48.8%)

所以柯文哲是孔多塞贏家,賴清德是孔多塞輸家。當然我們如果考慮抽樣誤差(4.1%),除了柯文哲勝出賴清德具有統計顯著性之外,其他兩組配對可說難分難解。但在這 N=572 的小樣本中,三位候選人的得票率分別是:賴清德 40%,侯友宜 33%,柯文哲 27%,與選舉實際結果幾乎一模一樣。至少在這個反映了選舉結果的樣本中,柯文哲是孔多塞贏家。依多數決選制,孔多塞輸家賴清德當選。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

不過以上的分析有一個問題:各陣營的支持者中,有不少人無法明確回答「最不希望看到誰當總統,也絕對不會投給他做總統」的候選人。最嚴重的是賴清德的支持者,其「無反應率」(nonresponse rate)高達 34.5%。相對而言,侯友宜、柯文哲的支持者則分別只有 24.1%、23.8% 無法明確回答。為什麼賴的支持者有較多人無法指認最討厭的候選人?一個假設是因為藍、白性質相近,對許多綠營選民而言,其候選人的討厭程度可能難分軒輊。反過來說,藍、白陣營的選民大多數會最討厭綠營候選人,因此指認較無困難。無論如何,把無法明確回答偏好順序的受訪者歸為「遺失值」(missing value)而棄置不用總不是很恰當的做法,在這裡尤其可能會造成賴清德支持者數目的低估。

補救的辦法之一是在「無法明確回答等於無法區別」的假設下,把「遺失值」平分給投票對象之外的其他兩位候選人,也就是假設他們各有 1/2 的機會是無反應受訪者最討厭的候選人。這樣處理的結果,得到

  • 柯文哲 PK 賴清德:389 > 413(48.5% v. 51.5%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:396 > 406(49.4% v. 50.6%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:376 > 426(46.9% v. 53.1%)

此時賴清德是孔多塞贏家,而柯文哲是孔多塞輸家。在這 N=802 的樣本中,三位候選人的得票率分別是:賴清德 44%,侯友宜 31%,柯文哲 25%。雖然依多數決選制,孔多塞贏家賴清德當選,但賴的得票率超過實際選舉結果(40%)。用無實證的假設來填補遺失值,反而造成賴清德支持者數目的高估。

如果擔心「無法明確回答等於無法區別」的假設太勉強,補救的辦法之二是把「遺失值」依有反應受訪者選擇最討厭對象的同樣比例,分給投票對象之外的其他兩位候選人。這樣處理的結果,得到

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
  • 柯文哲 PK 賴清德:409 > 393(51.0% v. 49.0%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:407 > 395(50.8% v. 49.2%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:417 > 385(52.0% v. 48.0%)

此時柯文哲又是孔多塞贏家,而賴清德又是孔多塞輸家了。這個樣本也是 N=802,三位候選人的得票率分別是:賴清德 44%,侯友宜 31%,柯文哲 25%,與上面的結果一樣。

以上三種無反應處理方法都不盡完美。第一種把無反應直接當遺失值丟棄,看似最不可取。然而縮小的樣本裡,三位候選人的支持度與實際選舉結果幾乎完全一致。後兩種以不同的假設補足了遺失值,但卻過度膨脹了賴清德的支持度。如果以樣本中候選人支持度與實際結果的比較來判斷遺失值處理方法的效度,我們不能排斥第一種方法及其結果。

無論如何,在缺乏完全資訊的情況下,我們發現的確有可能多數決輸家柯文哲是孔多塞贏家,而多數決贏家賴清德是孔多塞輸家。因為配對 PK 結果缺乏統計顯著性,我們甚至不能排除循環多數的存在。此後四年,多數決選制產生的總統能否在三角嘟力量的激盪下有效維持政治穩定,值得我們持續觀察。

四、結語

柯文哲之所以可以是孔多塞贏家,是因為藍綠選民傾向於最不希望對方的候選人當總統。而白營的中間偏藍位置,讓柯文哲與賴清德 PK 時,能夠得到大多數藍營選民的奧援而勝出。同樣的,當他與侯友宜 PK 時,他也能夠得到一部份綠營選民的奧援。只要他的支持者足夠,他也能夠勝出。反過來看,當賴清德與侯友宜 PK 時,除非他的基本盤夠大,否則從白營得到的奧援不一定足夠讓他勝出。民調 N=572 的樣本中,賴清德得 40%,侯友宜得 33%,柯文哲得 27%。由於柯的支持者討厭賴清德(52.5%)遠遠超過討厭侯友宜(23.7%),賴雖然基本盤較大,能夠從白營得到的奧援卻不多。而侯雖基本盤較小,卻有足夠的奧援。柯文哲之所以成為孔多塞贏家,賴清德之所以成為孔多塞輸家,都是這些因素的數學結果。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

資料來源

討論功能關閉中。

林澤民_96
37 篇文章 ・ 239 位粉絲
台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士, 現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。 林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心 「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作, 並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。 林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。