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如何測量蘇格蘭的海岸線與科羅拉多河?—《股價、棉花與尼羅河密碼》

碎形幾何理論中最引人注目的,恐怕是對空間的獨特看法

自歐幾里得以來,數學家一直認為「點」是零度空間,「線」屬於一度空間,「平面」屬於二度空間,而我們所熟悉的環境則是三度空間。愛因斯坦則提出了第四度空間,也就是「時間」。數學上可以繼續以此類推,舉出假想的五度、六度,甚至七度空間,雖然只是假想的理論,但是對於解決工程、經濟或物理方面的問題很有幫助。

拓樸學是數學領域裡研究「表面」的一支,提供了相當有趣的新發現。就拓樸學的觀點而言,黃瓜和橘子是一樣的,因為不需要切割黃瓜的表面就可以將它重新塑造成橘子的形狀,反之亦然。一個圓的圓周跟曲曲折折的海岸線一樣,同屬一度空間。圓周和鋸齒線都是連續的線,將鋸齒線展開、攤平再彎曲,可以形成一個圓;同樣的,將圓周拉直再加以曲折,可以形成鋸齒線——都不需要切割。

拓樸學中的莫比烏斯帶。圖 / By David Benbennick @ Wiki

拓樸學中的莫比烏斯帶。圖 / By David Benbennick @ Wiki

然而,所謂的空間,真的就如此而已嗎?

拿一顆線球當例子。首先,以歐幾里得的觀點來看:假設這個線球的直徑是五英寸,而線的粗細遠不及一英寸。若站在很遠的地方,幾乎看不到球;根據古典幾何學,可以說它是個零度空間的點。若握在手中,這個線球則確實是三度空間中的立體物件。近一點看,會發現它其實是由一團一度空間的線所纏成的。再更近一點看,會發現這線其實也是立體的,屬於三度空間。這麼追根究柢下去,一直到在電子顯微鏡下觀察到原子,才又回到零度空間的點。那麼,這線球到底是零度空間、一度空間,還是三度空間?答案依個人觀點而異。

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線球到底是零度空間、一度空間,還是三度空間?圖 / By Anadem Chung @ flickr

就自然界中複雜的形狀而言,空間是相對的。空間的定義隨著觀察者的角度而改變。同一個物體可隸屬於不同維度的空間,看你觀測的角度與用途為何。維度不必然是整數,也可以是分數。這樣的觀點賦予古老的空間觀念一個嶄新的定義。

維度不該是死板而一成不變的,而是應測量的需求而有所改變。那麼,你要怎麼測量某個東西呢?要量一條直線的長度,你可以用尺;要測量曲線,你可以用稍短的尺,順著曲線弧度一小段一小段地測量,然後將結果加總。用的尺越短,測量的結果就越準確,測得的長度也比較長(參見下面關於「碎形維度」的解說),當然過程較為繁瑣費時。隨著量尺越來越短,最後得到的結果最接近實際,我們就將此結果當做曲線的長度。

如果遇到曲折的鋸齒線或不規則曲線,該怎麼辦?蘇格蘭的海岸線又如何測量?可以用測量員的測量鏡,測量岬角與岬角間的距離,這是較粗略的方法。也可以用極長的軟尺測量點與點之間的距離,或者用碼尺、彎腳規或顯微鏡。但這都是白費工夫。嶙峋的海岸線跟圓滑曲線不同,測量結果往往因用途而異,並沒有一個「最好」的答案。隨著地圖比例尺的大小或政治動機的不同,測量結果也不一樣。

蘇格蘭海岸線到底有多長?圖 / By Jonathan Stonehouse @ flickr

蘇格蘭海岸線到底有多長?圖 / By Jonathan Stonehouse @ flickr

將近一個世紀之前,英國心理、物理學家路易斯.理查森(Lewis Fry Richardson)就曾針對這個問題加以研究。他根據官方資料上的國界長度測量結果進行研究,發現西班牙政府測量該國與葡萄牙的邊界長度是 987 公里,而葡萄牙政府的測量結果卻多達 1214 公里。至於荷蘭跟它那面積較小、經濟能力較差的鄰居比利時,荷蘭政府測得的邊界是 380 公里,而比利時政府則聲稱有 449 公里。

那麼,東西有多長?由上述例子可以看出,這個問題沒有多大意義。解決方法之一,是將不同長度的尺所測得的結果畫成圖表。當然了,測量的結果會隨著尺的長度縮短而增加。可喜的是,測量結果幾乎是以一定的比例增加。以一條直線為例:假設用來測量的第一把尺剛好跟該直線等長,第二次用的尺比較短,正好是直線的一半,因此測量結果是尺長的兩倍,第三把尺是上一把尺的一半長,因此測量結果直線是尺的四倍長,依此類推。

接著,測量前面提到的鋸齒狀海岸線。隨著使用的尺越來越短,我們可以觀察到不尋常的現象:

測量結果增加的幅度,要高過尺縮小的幅度。用來測量這個現象的度量衡,就叫做碎形維度(fractal dimension)。

從簡單的例子講起:一條直線的碎形維度是一,而直線正好屬於一度空間。然而,英國海岸線的碎形維度卻是 1.25。這講得通嗎?那當然!崎嶇的海岸線比一度空間的直線來得複雜,但不論海岸線多麼曲折,還不至於複雜如二度空間。

不只這樣。澳洲的海岸線沒有英格蘭西南部康瓦爾地區的那麼曲折,所以它的碎形維度只有 1.13。相形之下,平滑的南非海岸線碎形維度更低,只有 1.02,只比直線高一些。

河流是另一個很好的例子。美國地質調查局(U.S. Geological Survey)研究美國境內大型河流的路徑,發現東部的河流碎形維度大約是 1.2,西部曠野的河流則是 1.4。這項調查結果恰好符合大眾的認知——西部的科羅拉多河(Colorado River)蜿蜒曲折,而東部的查爾斯河(Charles River)較為平順。

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西部的科羅拉多河蜿蜒曲折。圖 / By K.Oliver @ flickr

再舉一例:觀察肺臟內部支氣管錯綜複雜的表面,這些表面的面積加起來足足有一個網球場那麼大,這些錯綜複雜表面的碎形維度將近三。這層薄膜非常彎曲、有很多皺褶,因此幾乎有如三度空間。

以上種種說明了什麼呢?一個新的度量工具誕生了,不是測量長度、重量、溫度或分貝,而是測量物體曲折或不規則的程度。終於,科學界有了第一個測量「不規則」形狀的工具。


書封:股價、棉花與尼羅河密碼

 

本文摘自《股價、棉花與尼羅河密碼》,早安財經出版社。

 

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